人教版九年级下册第26章反比例函数的图象和性质

人教版九年级下册第26章反比例函数的图象和性质汇报人：XXX2024-01-22反比例函数基本概念反比例函数图像绘制反比例函数性质分析反比例函数在实际问题中应用拓展延伸：综合题型解析contents目录01反比例函数基本概念形如$y=frac{k}{x}$（$k$为常数，$kneq0$）的函数称为反比例函数。反比例函数定义在反比例函数中，$x$是自变量，$y$是因变量，$k$是比例系数。当$x$取值不为零时，$y$的值与$x$成反比。表达式解析定义与表达式自变量$x$的取值范围01在反比例函数中，自变量$x$可以取任何实数，除了使分母为零的值，即$xneq0$。因变量$y$的性质02当$k>0$时，随着$x$的增大，$y$的值逐渐减小，且$y$始终为正；当$k<0$时，随着$x$的增大，$y$的值逐渐增大，且$y$始终为负。比例系数$k$的意义03比例系数$k$决定了反比例函数的图像位置和形状。当$k>0$时，图像位于第一、三象限；当$k<0$时，图像位于第二、四象限。自变量与因变量关系

函数图像特征图像形状反比例函数的图像是由两支双曲线组成的，分别位于第一、三象限或第二、四象限。图像位置图像的位置由比例系数$k$决定。当$k>0$时，两支双曲线分别位于第一、三象限；当$k<0$时，两支双曲线分别位于第二、四象限。图像对称性反比例函数的图像关于原点对称。即如果点$(x,y)$在图像上，那么点$(-x,-y)$也在图像上。02反比例函数图像绘制首先确定反比例函数的表达式y=k/x(k≠0)。确定函数表达式在自变量x的取值范围内，选取一些具有代表性的点，计算对应的函数值y，列出表格。列表取值在平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出各点。描点用平滑的曲线连接各点，得到反比例函数的图像。连线列表法绘制图像步骤合理选择自变量x的取值范围，以便更好地展示函数的性质。在描点时，注意保持坐标轴的比例，避免图像失真。连接各点时，要用平滑的曲线，不要画成折线。描点法绘制图像技巧当k>0时，反比例函数的图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限。在每个象限内，随着x的增大，y的值逐渐减小，但永远不会等于0。反比例函数的图像关于原点对称，即如果点(x,y)在图像上，那么点(-x,-y)也在图像上。图像变换规律探究03反比例函数性质分析观察法通过观察反比例函数的图象，可以直接判断出函数在各自象限内的增减性。解析法利用反比例函数的解析式，可以推导出函数在各自象限内的增减性。具体地，当$k>0$时，在每一象限内，随着$x$的增大，$y$值逐渐减小；当$k<0$时，在每一象限内，随着$x$的增大，$y$值逐渐增大。增减性判断方法反比例函数的图象关于原点对称，即如果点$(x,y)$在函数图象上，那么点$(-x,-y)$也在函数图象上。对称性表现设点$(x_1,y_1)$和点$(x_2,y_2)$是反比例函数图象上的任意两点，且$x_1=-x_2$，$y_1=-y_2$。根据反比例函数的定义，我们有$frac{y_1}{x_1}=frac{y_2}{x_2}$。将$x_1=-x_2$，$y_1=-y_2$代入上式，得到$frac{-y_2}{-x_2}=frac{y_2}{x_2}$，即$frac{y_1}{x_1}=frac{y_2}{x_2}$成立。因此，反比例函数的图象关于原点对称。对称性证明对称性表现及证明反比例函数在其定义域内没有最大值或最小值。这是因为随着$x$的无限趋近于$0$或无限远离$0$，$y$值会无限增大或无限减小。在实际应用中，我们通常会根据问题的具体背景和条件来设定自变量的取值范围，并在这个范围内讨论函数的最值问题。例如，当自变量$x$的取值范围限定在某个区间内时，我们可以通过比较函数在该区间端点处的函数值来确定函数在该区间内的最大值或最小值。最值问题讨论04反比例函数在实际问题中应用03平行四边形面积问题通过给定平行四边形的面积和一组对边的长度，利用反比例函数求解另一组对边的长度。01矩形面积问题通过给定矩形的面积和一边的长度，利用反比例函数求解另一边的长度。02三角形面积问题通过给定三角形的面积和底边长度，利用反比例函数求解高。面积问题建模与求解通过给定物体的速度和运动时间，利用反比例函数求解物体运动的路程。匀速直线运动问题变速直线运动问题曲线运动问题通过给定物体的加速度和运动时间，利用反比例函数求解物体运动的速度和路程。通过给定物体的速度和运动轨迹的曲率半径，利用反比例函数求解物体运动的向心加速度。030201行程问题建模与求解通过给定工作总量和工作时间，利用反比例函数求解工作效率。工作效率问题通过给定工程总造价和工程规模或工程量，利用反比例函数求解单位造价。工程造价问题通过给定工程总量和已完成的工作量，利用反比例函数求解剩余工作量和预计完成时间。工程进度问题工程问题建模与求解05拓展延伸：综合题型解析解题技巧首先分别确定两个函数的表达式，通过联立方程求解交点坐标，进而分析图象位置关系，最终解决相关不等式问题。题目类型主要考察反比例函数与一次函数的交点、图象位置关系以及由此产生的不等式（组）问题。经典例题已知反比例函数$y=frac{k}{x}$和一次函数$y=ax+b$的图象交于点$A(1,2)$和$B(-2,-1)$，求不等式$ax+b>frac{k}{x}$的解集。与一次函数综合题解析题目类型主要考察反比例函数与二次函数的交点、图象位置关系以及由此产生的方程（组）或不等式（组）问题。解题技巧首先分别确定两个函数的表达式，通过联立方程求解交点坐标，进而分析图象位置关系，最终解决相关方程或不等式问题。经典例题已知反比例函数$y=frac{k}{x}$和二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象交于点$A(1,3)$和$B(3,1)$，且二次函数的对称轴为直线$x=2$，求方程$ax^2+bx+c=frac{k}{x}$的解。与二次函数综合题解析创新题型挑战解题技巧需要具备扎实的反比例函数基础知识，同时结合实际问题背景或新函数特点进行分析和求解。题目类型主要考察反比例函数的创新应用，如与实际问题相结合、构造新函数等