复习篇第1讲立体几何专题1线面位置关系的证明2024年高二寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

第1讲立体几何专题1：线面位置关系的证明本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！1线面位置关系的判定定理和性质定理（1）线面平行①判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.②性质一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.（2）面面平行①判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.②性质a⊂αα//β⇒a//β(α//βα∩γ=aβ∩γ=b⇒a//b(面面平行夹在两个平行平面间的平行线段相等.（3）线面垂直①判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.②性质(i)l⊥α,a⊂α⇒l⊥a(线面垂直⇒线线垂直)(ii)垂直同一平面的两直线平行a⊥α,b⊥α⇒a//b（4）面面垂直①判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.②性质两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.2空间向量的应用(1)线面平行设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是n，则要证明只需证明a⊥n(2)面面平行若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2,要证α||β，只需证n(3)线面垂直①(法一)设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是n，则要证明l⊥α，只需证明a②(法二)设直线l的方向向量是a，平面α内的两个相交向量分别为m,若a(4)面面垂直若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为只需证n1⊥n【题型1】非向量法证明线面位置关系【典题1】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．(1)求证：平面PAB∥平面EFG；(2)证明：平面EFG⊥平面PAD．解析证明：(1)因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为ABCD为正方形，则AB∥CD，所以EF∥AB，因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB，因为E，G分别是PC，BC的中点，所以EG∥PB，因为EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以EG∥平面PAB，且EF⋂EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PAB．(2)因为PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，则PD⊥CD，又因为ABCD是正方形，则CD⊥AD，且AD⋂PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又因为EF∥CD，所以EF⊥平面PAD，且EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAD．【巩固练习】1.(★★)如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，点F在棱PA上．(1)求证：PA∥平面CDE；(2)求证：平面PAB∥平面CDE；(3)求证：BF⊥AD．解析证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以PA∥DE，而PA⊈平面CDE，DE⊂平面CDE，所以PA∥平面CDE；(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，由(1)可得PA∥DE，AB∩PA＝A，DE∩CD＝D，所以平面PAB∥平面CDE；(3)因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD，又因为平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PAB，而BF⊂平面PAB，可证得：AD⊥BF．即BF⊥AD．2.(★★)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：面OQG∥平面PBC．解析(1)∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA．∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC；(2)取延长OG，交AC于M，连结GM、QM，∵G为△AOC的重心，∴OM是△AOC的中线，∵Q为PA的中点，M为AC的中点，∴QM∥PC，∵QM⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴QM∥平面PBC，同理可得QO∥平面PBC，∵QM、QO是平面OQG内的相交直线，∴平面OQG∥平面PBC．3.(★★★)如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC=12AD，(1)求证：CE∥平面PAB；(2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由．答案(1)略；(2)存在解析(1)证明：如下图，设F为AP中点，连接EF、BF，因为E是PD的中点，F为AP中点，所以EF∥AD且BC=因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD，且BC=所以EF∥BC，且EF＝BC，可得四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF，因为CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE∥平面PAB；(2)取AD中点N，连接CN、EN，∵E，N分别为PD，AD的中点，∴EN∥PA，∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EN∥平面PAB，线段AD存在点N，使得MN∥平面PAB，理由如下：由(1)知：CE∥平面PAB，又CE⋂EN＝E，∴平面CEN∥平面PAB，又M是CE上的动点，MN⊂平面CEN，∴MN∥平面PAB，∴线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB．【题型2】向量法证明线面位置关系【典题1】在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60∘(1)求证：AC⊥平面FBC；(2)线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．解析(1)证明：∵AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理可得AC∴AC2+B∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，FB∩BC=B，∴AC⊥平面FBC．(2)线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．证明如下：因为AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．因为CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．所以CA,CF,CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C－在等腰梯形ABCD中，可得CB=CD．设BC=1，所以C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0)，所以CE=(32设平面EAC的法向量为n=(x,y,z)，则&所以32x-12y+z=0假设线段ED上存在点Q，设Q(32,-设平面QBC的法向量为m=(a,b,c)，则所以b=032a-12要使平面EAC⊥平面QBC，只需m⋅即-2所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．【巩固练习】1.(★★★)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，(1)证明：A1B∥平面(2)证明：平面ADC1⊥解析(1)证明：∵在直三棱柱ABC－A1B∴以A1为原点，A1C1为x轴，A1B1建立空间直角坐标系，设AB=AC=AAA1(0,0,0)，B(0,2,2)，C(2,0,2)，D(1,1,2)，C1A1B=(0,2,2)，AD设平面ADC1的法向量则&n⋅AD=x+y=0&∵n⋅A1B∴A1B∥(2)证明：∵DC=(1,－设平面BB1C则&m⋅DC=a-b=0&又平面ADC1的法向量∴n∴平面ADC1⊥【题型3】线面位置关系中存在性问题【典题1】如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB＝3，BC＝4，AA1′分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1中(Ⅰ)求证：AB⊥PQ；(Ⅱ)在底边AC上是否存在一点M，满足BM∥平面APQ，若存在试确定点M的位置，若不存在请说明理由．解析(Ⅰ)证明：因为AB＝3，BC＝4，所以AC＝5，从而AC2＝AB2+BC2，即AB⊥BC．(3分)又因为AB⊥BB1，而BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面BC1，又PQ⊂平面BC1所以AB⊥PQ(6分)(Ⅱ)在底边AC上存在一点M，使得AM：MC＝3：4，满足BM∥平面APQ，证明：过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，∵AM：MC＝3：4，∴AM：AC＝MN：CQ＝3：7∴MN＝PB＝3，∵PB∥CQ，∴MN∥PB，∴四边形PBMN为平行四边形，∴BM∥PN，∴BM∥平面APQ，∴BM∥平面APQ，此时有AMMC=【典题2】如图，四棱锥S－ABCD中．ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=3．E为CD(1)求证：AE⊥平面SBD；(2)M、N分别在线段SB、CD上的点，是否存在M、N，使解析(1)方法一证明：∵SD⊥AD，且SD⊥AB，∴SD⊥平面ABCD．又∵AD⊥CD可建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知D0,0,0,E0,1∴AE∴∴AE⊥DB,AE⊥DS又DB∩DS=D∴AE⊥平面SBD；方法二∵SD⊥AD，且SD⊥AB，∴SD⊥平面ABCD∴SD⊥AE如图：∵tan∠DAE=DE∴∴∠∴AE⊥BD；∴AE⊥平面SBD；(2)假设存在MN满足MN⊥CD且MN⊥SB．在空间直角坐标系中，BS=(-1,-2,∵M在线段CD上可设BM∵∴M的坐标(1∵N在线段SB上可设N(0,y,0),y∈[0,2]则NM=(1要使MN⊥CD且MN⊥SB，则NM→可得2(2-2λ-y)=0-(1-λ)-2(2-2λ-y)+3λ=0解得λ=1故存在MN使MN⊥CD且MN⊥SB，其中M是线段SB靠近B的四等分点，N是线段CD靠近C的四等分点.【巩固练习】1.(★★)在三棱锥P－ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=23，E、G分别为(I)求证：平面BCG⊥平面PAC；(II)在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥BE？证明你的结论．答案(1)略；(2)存在解析(Ⅰ)∵PB⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PB，又AB⊥BC，AB∩BP=B，∴BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA．①又AB=PB=2，△PAB为等腰直角三角形，G为斜边PA的中点，∴BG⊥PA，②又BG∩BC=B，∴PA⊥平面BCG，PA⊂平面PAC，∴平面BCG⊥平面PAC；(Ⅱ)以点B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,23设存在点N∈AC，使PN⊥BE，点N的坐标设为N则：得BE由相似三角形得：2-x0|AB|∴y0又PN⊥BE，∴BE∴0×x∴x0=432.(★★★)如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，侧面PAB是正三角形，M是PD上一动点，N是CD中点．(Ⅰ)当M是PD中点时，求证：PC∥平面BMN；(Ⅱ)若∠ABC＝60°，求证：PC⊥AB；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在点M，使得PC⊥BM？若存在，求PMMD答案(1)略；(2)略；(3)1.解析(Ⅰ)证明：因为点M是PD中点，点N是CD中点，所以MN∥PC，因为PC⊄平面BMN，MN⊂平面BMN，所以PC∥平面BMN．(Ⅱ)证明：如图，取AB中点F，连接AC，PF，CF，因为侧面PAB是正三角形，所以PF⊥AB，因为底面BCD是菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB，因为PF⊥AB，CF⊥AB，PF∩CF＝F，PF，CF⊂平面PFC，所以AB⊥平面PFC，因为PC⊂平面PFC，所以PC⊥AB．(Ⅲ)解：如图，取PC中点E，连接BE，AE．因为四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，侧面PAB是正三角形，所以PB＝AB＝BC，所以BE⊥PC，又因为PC⊥AB，AB∩BE＝B，所以PC⊥平面ABE，过E作EM∥CD交PD于点M，因为EM∥CD∥AB，所以点M∈平面ABE，所以PC⊥平面BEM，因为E为PC的中点，EM∥CD，所以PM＝MD，所以PMMD3.(★★★★)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2．(1)求证：AC⊥BF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出|PE|答案(1)略；(2)32解析(1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD．∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC．过A作AH⊥BC于H，则BH＝1，AH=3,，CH∴AC=23，AB2+AC2＝BC2∴AC⊥AB，∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面FAB，∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF．(2)解：存在满足条件的点P，且|PE由(1)可知，AF、AB、AC两两垂直，以A为坐标原点，AB,AC,AF的方向分别为x轴、建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0,2假设在线段BE上存在一点P满足题意，则点P不与点B、E重合，设|BP||PE|=λ，则λ＞0，由AP=可得&m令x＝1，则z=λ-22λ，所以m=同理，可求得n=1,3当m⋅n=0时，即1+0+λ-22λ=0时，平面PAC因此，存在满足题意的点P，此时|PE1.(★★)如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC，AA1，D1C1的中点，连接CD1，EM，MN，EN，NF，EF．(1)证明：D1C∥平面EMN；(2)证明：E，F，N，M四点共面．解析根据题意，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2a，DC＝2b，DD1＝2c，如图建立空间直角坐标系：则D(0，0，0)，A(2a，0，0)，C(0，2b，0)，B(2a，2b，0)，D1(0，0，2c)，A1(2a，0，2c)，C1(0，2b，2c)，B1(2a，2b，2c)，则M(2a，b，0)，N(a，2b，0)，E(2a，0，c)，F(0，b，2c)(1)证明：D1则有D1C=-2ME，故D1则有D1C∥平面EMN；(2)证明：EF=(-2a,b,c),则有EF=-3EM+2必有E，F，N，M四点共面．2.(★★)在边长是2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求EF的长；(2)证明：EF∥平面AA1D1D；(3)解析(1)如图建立空间直角坐标系，则A12,0,2D1∵E,F分别为AB,A1C的中点，∴E(2,1,0)，F(1,1,1)∴|EF(2)∵AD1=(-2,0,2)=2又AD1⊂平面AA1∴EF∥平面AA(3)CD=&0,    &&-2,    &&0，∵CD⋅EF=0，EF⋅A1∴EF⊥平面A13.(★★★)如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为4的等边三角形，BC＝2，∠ABC＝60°，M是PC上一点．(1)若M是PC的中点，证明：PA∥平面BDM；(2)若平面MAB⊥平面PCD，求PMPC答案(1)略；(2)45解析证明：(1)连接BD∩AC＝O，连接DM，BM，OM，如图，因为底面ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，又M是PC的中点，所以OM∥PA，因为OM⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，所以PA∥平面BDM．(2)记AB的中点为Q，连接PQ，则PQ⊥AB，在平面ABCD过Q作QE⊥AB，交CD于E，连接PE，如图，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PQ⊂平面PAB，所以PQ⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，则PQ⊥CD，易得QE⊥CD，又PQ⋂QE＝Q，PQ，QE⊂面PQE，所以CD⊥面PQE，因为PE⊂面PQE，所以CD⊥PE，过M作MN∥CD交PE于N，连接NQ，则PE⊥MN，因为MN∥CD，AB∥CD，所以MN∥AB，则M，N，A，B四点共面，所以平面MAB与平面PCD交线一部分为MN，又平面MAB⊥平面PCD，PE⊂平面PCD，所以PE⊥平面MAB，因为NQ⊂平面MAB，所以PE⊥NQ，因为△PAB是边长为4的等边三角形，所以PQ⊥AB，PQ=23因为平行四边形ABCD中，BC＝2，∠ABC＝60°，AB＝4，则BQ＝2，EQ=故在Rt△PQE中，PE=易得∠PQE＝∠PNQ＝90°，∠EPQ＝∠QPN，则△EPQ≅所以PQPN=PE因为MN∥CD，所以PMPC4.(★★★)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F(1)求异面直线AG与BF所成角的余弦值；(2)求证：AG∥平面BEF；(3)试在棱BB1上找一点M，使DM⊥平面答案(1)255；(2)略；(3)M为棱BB1的中点时，解析(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴，y轴和则A(1,0,0)，B(1,1,0)，E(1,12,1)，F(∴AG=-1,∴cos＜故异面直线AG与BF所成角的余弦值为25(2)∵EF=-而AG=(-1,12故AG与平面BEF共面，又因为AG不在平面BEF内，∴AG∥平面BEF．(3)设M(1,1,m)，则DM=(1,1,m)由DM⋅∴-1所以M为棱BB1