专题10等比数列（知识梳理精讲）原卷版

专题10等比数列知识点一等比数列的概念定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．例1．（1）、（2023上·山东潍坊·高三校考期中）在等比数列中，已知，，则该等比数列的公比是（

）A． B． C． D．（2）、（2016上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知数列是等比数列，若，，则.（3）、（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件1．（2023下·高二课时练习）两个数4和9的等比中项是（

）A．6 B．C． D．2．（2024上·北京大兴·高三统考期末）设是等比数列，，，则.3．（2023下·高二课时练习）在等比数列中，，，则.例2．（2023上·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知数列满足，.(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由.1．（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和为，是n、的等差中项，．(1)证明：是等比数列；(2)设，数列的前n项和，证明：．知识点二等比数列的通项公式（1）、设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．（2）、推广形式：例4．（1）、（2023上·湖南岳阳·高二校考竞赛）在数列中，，，则为（

）．A． B． C． D．（2）、（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知为等比数列，公比，，且成等差数列，则通项公式．（3）、（2023上·上海虹口·高三校考期中）已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式．（4）、（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）等比数列中，，，则.1．（2017上·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期中）已知等比数列中，，，则该数列的通项（

）A． B． C． D．2．（2023上·广东汕头·高三汕头市潮阳黄图盛中学校考阶段练习）在正项等比数列中，，，则的通项公式.3．（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列的前项和为，若，则．4．（2022上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知数列的首项，前n项和为，若，则．例4．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前1012项和．1．（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）已知各项均不相同的等差数列的前四项和，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前n项和，求知识点三等比中项（1）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒．（2）若时，则，特别地，当时，．例5．（1）、（2024上·河北保定·高二保定一中校考阶段练习）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为．（2）、（2023上·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（

）A． B． C． D．（3）、（2023下·黑龙江大庆·高二大庆中学校考开学考试）在正项等比数列中，，则.1．（2023·四川成都·统考一模）记为公差不为零的等差数列的前n项和.若，且，，成等比数列，则的值为.2．（2023上·湖北·高二期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，则（

）A． B． C． D．3．（2022下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考阶段练习）设，若3是与的等比中项，则的最大值是.知识点四等比数列的综合性质等比数列的公比为，其前项和为例6．（1）、（2024·安徽淮北·统考一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为.（2）、（2017上·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期中）若等比数列满足，则等于（

）A．6 B．±6 C．5 D．±5（3）、（2024上·河北邢台·高二河北省博野中学校联考期末）现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（

）A．5 B．6 C．7 D．81．（2024上·吉林白山·高二统考期末）等比数列的各项均为正数，其前项和为，已知，则.2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则（

）A． B． C． D．3．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，则取得最大值时n的值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9例7．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n