2024届北京市石景山区高三上学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024届北京市石景山区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解不等式求得集合，进而求得.【详解】，解得，所以，所以.故选：A2．已知复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，再根据复数乘法法则计算即可.【详解】由题意得在复平面内所对应的点为，则所对应的点为，所以，则，故选：B.3．展开式中含的项的系数为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由二项展开式的通项公式直接求解即可.【详解】由展开式的通项公式=,,令即,∴展开式中含的项的系数为.故选:B.【点睛】本题考查了利用二项展开式的通项公式来解决二项展开式中指定项的系数,属于基础题.4．已知向量，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，利用即可得出的值.【详解】由题意，，∴，∵，∴，解得：，故选：B.5．已知为等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据由求和公式得，再结合等差数列通项性质即可求解．【详解】由题意，所以，故选：C．6．直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据直线和圆的位置关系、充分不必要条件等知识确定正确答案.【详解】圆，即，所以圆心为，半径为，若直线与圆有两个不同交点，则，，符合题意的只有.故选：A7．设函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分段函数解析、对数运算、指数运算求得正确答案.【详解】，由于，所以，所以.故选：C8．在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理和三角恒等变换等知识求得正确答案.【详解】依题意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，所以是锐角，且.故选：B9．设函数，则是（

）A．偶函数，且在区间单调递增B．奇函数，且在区间单调递减C．偶函数，且在区间单调递增D．奇函数，且在区间单调递减【答案】D【分析】根据函数的奇偶性和单调性求得正确答案.【详解】的定义域为，，所以是奇函数，AC选项错误.当时，，在上单调递增，在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递增，B选项错误.当时，，在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递减，D选项正确.故选：D10．在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（

）

A． B．C．平面 D．平面平面【答案】A【分析】作出截面后可作，从而判断A，利用线面垂直的性质判断BC，根据面面平行的性质判断D．【详解】选项A，正方体中，显然有，连接延长，如果直线交棱于点（图1），则作交于，连接，则是梯形，作交于，则平面，如果直线交棱于点（图2），则直接连接，在三角形内作交于，也有平面，因此A正确；

选项B，正方体中易知平面，因此与垂直的直线都可能平移到平面内，而当平面，平面时，直线与平面相交，不可能平移到平面内，B错；选项C，由选项B知与不可能垂直，因此与平面也不可能垂直，C错；选项D，过的平面只有平面与平面平行，因此要使得平面平面，则平面与平面重合，从而点只能在棱上，与已知不符，D错．故选：A．二、填空题11．函数的定义域为．【答案】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意，，解得，所以的定义域为.故答案为：12．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．【答案】/【分析】根据与的关系求得双曲线的离心率.【详解】由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以双曲线的离心率.故答案为：13．某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的值为，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为（每组成绩用中间值代替）.【答案】【分析】由频率分布直方图中总面积为可计算出，由频率分布直方图中平均数的计算方式计算平均数即可估计全校学生的平均成绩.【详解】由频率分布直方图中总面积为，即，解得，，故可估计全校学生的平均成绩为.故答案为：；.14．已知命题：若，则．能说明为假命题的一组的值为，．【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）【分析】根据立方和公式以及基本不等式求得正确答案.【详解】，当且仅当时等号成立.所以，若，则，所以为假命题.所以一组的值为（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）15．在数列中，，给出下列四个结论：①若，则一定是递减数列；②若，则一定是递增数列；③若，，则对任意，都存在，使得；④若，，且对任意，都有，则的最大值是．其中所有正确结论的序号是．【答案】②③④【分析】根据数列的单调性、最值、不等式、差比较法、导数等知识对结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，，①若，则，如，则是摆动数列，所以①错误.②若，则，，构造函数，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以，所以，所以一定是递增数列，②正确.③若，，则，，，，当时，，所以是单调递增数列，且每次递增都超过，所以对任意，都存在，使得，③正确.④若，，则，对任意，都有，，，恒成立，所以，所以的最大值是，④正确.故答案为：②③④【点睛】要判断数列的单调性，可以考虑利用差比较法，由的符号来进行判断，当时，可以利用与的关系来判断.利用导数来求最值，求导之后关键是求得函数的单调区间，再根据单调区间来求最值.三、解答题16．如图，在三棱锥中，平面平面，，，．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直结合条件得到线线垂直；（2）建系，由边长关系得到点的坐标即，，，再求出平面的法向量和平面的法向量，代入二面角的向量公式求解即可.【详解】（1）证明：取中点，连结，因为，所以；因为，所以；因为平面，所以平面；因为平面，所以．

（2）由（Ⅰ）知，平面，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，，，如图建立空间直角坐标系．由已知，易得，，在中，，所以得，，，所以设平面的法向量为，则即令，则，，于是．又因为平面的法向量为，所以．由题知二面角为锐角，所以其余弦值为．17．设函数．(1)若，求的值；(2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：函数的图象经过点；条件②：时，的值域是；条件③：是的一条对称轴．【答案】(1)(2)选②或③，【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；（2）选①，由可判断；选②，由题意，，由三角函数的性质可得周期，即可得；选③，由题意，得，又是的一条对称轴，所以，由此可解得.【详解】（1）因为，所以．因为，所以．（2）选①，∵，∴函数的图象不可能经过点，不合题意；选②，因为在区间上单调递减，且当时，的值域是，所以，.此时，由三角函数的性质可得，故．

因为，所以.选③，因为在区间上单调递减，所以，即，解得．

因为是的一条对称轴，所以.所以，即，解得.由，可知.18．某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在，两区的投篮练习情况统计如下表：甲区区投篮次数得分假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．(1)试分别估计甲在区，区投篮命中的概率；(2)若甲在区投个球，在区投个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率；(3)若甲在区，区一共投篮次，投篮得分的期望值不低于分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明）【答案】(1)，(2)(3)次【分析】（1）根据频率和概率的知识求得正确答案.（2）根据“甲在区投篮得分高于在区投篮得分”进行分类讨论，根据相互独立事件乘法公式求得正确答案.（3）根据数学期望类不等式，由此求得正确答案.【详解】（1）甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为，甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为.（2）据题意，甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为.设事件为“甲在区投篮得分高于在区投篮得分”甲在区投个球，得分可能是，在区投个球，得分可能是.则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率估计为.（3）甲在区投篮一次得分的期望估计是，甲在区投篮一次得分的期望估计是，设甲在区投篮次，则甲在区投篮次，则总的期望值估计为，解得，则甲选择在区投篮的次数最多是次．19．已知椭圆，离心率为，短轴长为.(1)求椭圆的方程；(2)过坐标原点且不与坐标轴重合的直线交椭圆于，两点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为．求证：为直角三角形．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意可计算出、、，即可得方程；（2）设出直线的斜率、、的坐标，由轴，可得点坐标，从而得到直线的方程，联立曲线，即可得、两点的横坐标的关系，作出的中点，由，从而得到，可得，即可得证.【详解】（1）由题意知，解得,所以椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，交椭圆于，，由题意知，所以，直线的方程为，联立，消去得，，所以，设的中点为，则，，所以，因为在中，，所以．所以，即，所以为直角三角形.20．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：当时，；(3)设实数使得对恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）由导数的几何意义计算即可得；（2）构造函数，求导研究单调性即可得；（3）分类讨论，当时，由（2）可得此时符合要求，当时，构造函数，结合导数研究单调性可得不符，当时，结合导数单调性可得亦不符.【详解】（1），故，又，故有，即，故切线方程为；（2）令，则，由，故，故在上单调递减，所以，即当时，；（3）当时，，由（2）知，当时，，所以当时，对恒成立；当时，令，，当时，因为，所以，在上单调递增，，不合题意，当时，得，当时，，时，，所以在上单调递增，则时，，不合题意，综上，的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题最后一问关键点在于根据的范围分类讨论，从而结合单调性研究函数最值得到结果.21．对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列.(1)若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列；(2)证明：若数列中存在使得，则存在使得成立；(3)数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列．【答案】(1)，，，(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据数列的数列相关条件即可得出所有的数列；（2）利用反证法，假设不存在使得成立，得出与假设不成立，即可得出结论；（3）通过证明得出为单调递增，再通过为单调递增数列证明为单调递增数列，即可得出结论.【详解】（1）由题意，各项均为正整数的数列