2024届辽宁省庄河高级中学数学高二下期末经典试题含解析

2024届辽宁省庄河高级中学数学高二下期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知随机变量服从正态分布，若，则()A． B． C． D．2．设，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知曲线在处的切线与直线平行，则的值为（）A．-3 B．-1 C．1 D．34．已知函数，若存在，使得有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．设a=e1eA．a>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．a>b>c6．已知m∈R，若函数f(x)=1x+1-mx-m-3(-1<x⩽0)A．-94,-2 B．（-97．设fx=sinxcosA．12 B．32 C．-8．设数列的前项和为，若，且，则（）A．2019 B． C．2020 D．9．某产品的销售收入（万元）关于产量（千台）的函数为；生产成本（万元）关于产量（千台）的函数为，为使利润最大，应生产产品()A．9千台 B．8千台 C．7千台 D．6千台10．已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，若的最小值为2，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．11．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．12．函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域有公共边的颜色不同，则不同的染色方法有______种14．__________.15．在平面凸四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，，则的值为________.16．在区间上随机取一个数，若使直线与圆有交点的概率为，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f（x）＝x＋，且此函数的图象过点（1，5）．（1）求实数m的值并判断f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）在[2，＋∞）上的单调性，证明你的结论．18．（12分）在平面直角坐标系中，已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程;（2）若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.19．（12分）已知函数.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)若存在两个极值点,,证明:.20．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若存在，使不等式成立，求的最小值.21．（12分）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（1）证明：∠D=∠E；（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．22．（10分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

随机变量服从正态分布,则,利用概率和为1得到答案.【题目详解】随机变量X服从正态分布,

,

答案为D.【题目点拨】本题考查了正态分布,利用正态分布的对称性是解决问题的关键.2、C【解题分析】

分别求解出集合和，根据交集的结果可确定的范围.【题目详解】，本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据交集的结果求解参数范围的问题，属于基础题.3、C【解题分析】

由导数的几何意义求出曲线在处的切线的斜率，根据两直线平行斜率相等即可得到的值。【题目详解】因为，所以线在处的切线的斜率为，由于曲线在处的切线与直线平行，故，即，故选C．【题目点拨】本题考查导数的几何意义，属于基础题4、B【解题分析】

先将化为,再令,则问题转化为:,然后通过导数求得的最大值代入可得.【题目详解】若存在，使得有解,即存在,使得,令,则问题转化为:,因为,当时,;当时,,所以函数在上递增,在上递减,所以,所以.故选B.【题目点拨】本题考查了不等式能成立问题,属中档题.5、B【解题分析】

依据y=lnx的单调性即可得出【题目详解】∵b=ln而a=e1e>0,c=又lna=lne1所以lnc>lna，即有c>a，因此c>a>b【题目点拨】本题主要考查利用函数的单调性比较大小。6、B【解题分析】

通过参变分离、换元法，把函数f(x)的零点个数转化成直线y=m与抛物线的交点个数.【题目详解】∵-1<x≤0,∴0<x+1≤1，∵函数f(x)在-1<x≤0有两个不同零点⇔方程m=(1x+1)2∴m=t2-3t在t≥1有且仅有两个不同的根⇔y=m∴-【题目点拨】通过换元把复杂的分式函数转化为熟知的二次函数，但要注意换元后新元的取值范围.7、A【解题分析】

曲线在点π6,fπ【题目详解】∵f∴f【题目点拨】本题考查函数求导及导数的几何意义，属于基础题.8、D【解题分析】

用，代入已知等式，得，可以变形为：，说明是等差数列，故可以求出等差数列的通项公式，最后求出的值.【题目详解】因为，所以，所以数列是以为公差的等差数列，，所以等差数列的通项公式为，故本题选D.【题目点拨】本题考查了公式的应用，考查了等差数列的判定义、以及等差数列的通项公式.9、B【解题分析】

根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案。【题目详解】设利润为万元，则，，令，得，令，得，∴当时，取最大值，故为使利润最大，应生产8千台．选B.【题目点拨】本题主要考查了利用导数的性质求函数的最值来解决实际问题。10、A【解题分析】

先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用的最小值为2，即可求得双曲线的离心率．【题目详解】由题意，可设点，，．，且．两式相减得．再由斜率公式得：．根据的最小值为2，可知，所以a=b.所以，故选：A【题目点拨】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点的对称性，利用点差法进行化简是解决本题的关键．11、D【解题分析】令,则，设，令，，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D。点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式中的参数分离出来，得到，然后构造函数，分别研究函数，的单调性，从而确定函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点等价于，即．使得问题获解。12、D【解题分析】

根据函数的单调性判断出导函数函数值的符号，然后结合所给的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论．【题目详解】由图象可知，函数在时是增函数，因此其导函数在时，有（即函数的图象在轴上方），因此排除A、C．从原函数图象上可以看出在区间上原函数是增函数，所以，在区间上原函数是减函数，所以；在区间上原函数是增函数，所以．所以可排除C．故选D．【题目点拨】解题时注意导函数的符号与函数单调性之间的关系，即函数递增（减）时导函数的符号大（小）于零，由此可判断出导函数图象与x轴的相对位置，从而得到导函数图象的大体形状．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、30【解题分析】

由题意按照分类分步计数原理，可逐个安排，注意相邻不同即可.【题目详解】对于1，有三种颜色可以安排；若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，此时共有；若2和3颜色不同，则2有两种，3有一种.当5和2相同时，4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时共有，综上可知，共有种染色方法.故答案为：.【题目点拨】本题考查了排列组合问题的综合应用，分类分步计数原理的应用，染色问题的应用，属于中档题.14、1【解题分析】

由即可求得【题目详解】【题目点拨】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。15、【解题分析】

通过表示，再利用可计算出，再计算出可得答案.【题目详解】由于M，N分别是边AD，BC的中点，故，，所以，所以，所以，而，所以，即，故，故答案为【题目点拨】本题主要考查向量的基底表示，数量积运算，意在考查学生的空间想象能力，运算能力，逻辑分析能力，难度较大.16、【解题分析】

分析：先根据直线与圆相交的关系得出不等式得b的取值范围，然后由概率为建立等式求解即可.详解：圆心到直线的距离：故答案为：点睛：考查直线与圆的位置关系，然后再结合几何概型求解即可.属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）m＝1，奇函数；（2）f（x）在[2，＋∞）上单调递增，证明见解析．【解题分析】

试题分析：（1）函数图象过点（1，5）将此点代入函数关系式求出m的值即可，因为函数定义域关于原点对称，需要判断函数是否满足关系式或者．满足前者为偶函数，满足后者为奇函数，否则不具有奇偶性．此题也可以将看做与两个函数的和，由的奇偶性判断出的奇偶性．（2）利用函数单调性的定义式：区间上的时，的正负来确定函数在区间上的单调性．试题解析：（1）（1）∵f（x）过点（1，5），∴1＋m＝5⇒m＝1．对于f（x）＝x＋，∵x≠2，∴f（x）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞），关于原点对称．∴f（－x）＝－x＋＝－f（x）．∴f（x）为奇函数．另解：，，定义域均与定义域相同，因为为奇函数，因此可以得出也为奇函数．（2）证明：设x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－＝（x1－x2）＋＝．∵x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，∴x1－x2<2，x1x2>1，x1x2>2．∴f（x1）－f（x2）<2．∴f（x）在[2，＋∞）上单调递增．考点：1、求函数表达式；2、证明函数的奇偶性；3、证明函数的单调性．18、(1).(2).【解题分析】分析：(1)利用极坐标与直角坐标互化的公式可得曲线的普通方程为.(2)联立直线的参数方程与C的二次方程可得.结合直线参数的几何意义有.利用三角函数的性质可知的取值范围是.详解：(1)由得.将，代入上式中,得曲线的普通方程为.(2)将的参数方程(为参数)代入的方程,整理得.因为直线与曲线有两个不同的交点，所以,化简得.又,所以，且.设方程的两根为,则，，所以,所以.由，得，所以,从而，即的取值范围是.点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、(Ⅰ)切线方程为y=0；(Ⅱ)证明见解析【解题分析】

（Ⅰ）求出当k=2时的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线方程；（Ⅱ）由题意存在两个极值点,,求导令导函数得0可得,，将之代入转化成证明，再由函数的单调性即可证明.【题目详解】(Ⅰ)当k=2时,,即有f(1)=0，所以,f′(1)=0.所以切线方程为y=0；(Ⅱ)因为，存在两个极值点,,所以,是的根，设>，,所以,，，解得，因为，因为，，，即证，即证又，则转化为，即证，由(Ⅰ)可知,当k=2时,,在（0，+∞）单调递减，而，因为，，即恒成立，故得证.【题目点拨】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数证明不等式恒成立，证明不等式恒成立通常运用转化思想，本题将不等式转化为已知函数求单调性，在利用导数单调性进行证明，属于难题.20、（1）见解析；（2）2【解题分析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）问题等价于，令，问题转化为求出，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求出的最小值，从而求出的最小值即可.详解：（1）解：∵∴∴当即时，对恒成立此时，的单调递增区间为，无单调递减区间当，即时，由，得，由，得此时，的单调递减区间为，单调递增区间为综上所述，当时，的单调递增区间为,无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为（2）解：由，得：当时，上式等价于令据题意，存在，使成立，则只需，令，显然在上单调递增而，∴存在，使，即又当时，，单调递减，当时，，单调递增∴当时，有极小值（也是最小值）∴∵，即，∴，∴又，且，∴的最小值为2.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是