黑龙江省鸡西市第一中学2024届高二数学第二学期期末质量检测试题含解析

黑龙江省鸡西市第一中学2024届高二数学第二学期期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点（）A． B． C． D．2．设随机变量服从正态分布，，则（）A． B． C． D．3．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A．变量之间呈现负相关关系B．的值等于5C．变量之间的相关系数D．由表格数据知，该回归直线必过点4．若直线的倾斜角为，则（）A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在5．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩，已知，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）A．0.15 B．0.50 C．0.70 D．0.856．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．7．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，则阅读过《西游记》的学生人数为（）A． B． C． D．8．二项式的展开式中，常数项为（）A．64 B．30 C．15 D．169．已知展开式的常数项为15，则（）A． B．0 C．1 D．-110．函数有极值的充要条件是（）A． B． C． D．11．已知函数，若存在，使得有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．的展开式中的常数项为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．江湖传说，蜀中唐门配置的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由种藏红花，种南海毒蛇和种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花添加顺序不能相邻，同时南海毒蛇的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行__________此实验．14．已知函数是定义在上的奇函数，且函数的图象关于直线对称，当时，，则__________．15．已知点在直线（为参数）上，点为曲线（为参数）上的动点，则的最小值为________________.16．在二项式展开式中，第五项为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示：几何题代数题合计男同学22830女同学81220合计302050（1）能否据此判断有的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？（2）用以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校所有女生（该校女生超过1200人）中随机选5名女生，记5名女生选做几何题的人数为，求的数学期望和方差.附表：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：，其中.18．（12分）已知函数.（1）求函数的极值；（2）若函数有两个零点，且，证明：.19．（12分）已知.（1）讨论的单调性；（2）若，求实数的取值范围.20．（12分）有甲、乙两个游戏项目，要参与游戏，均需每次先付费元（不返还），游戏甲有种结果：可能获得元，可能获得元，可能获得元，这三种情况的概率分别为，，；游戏乙有种结果：可能获得元，可能获得元，这两种情况的概率均为.（1）某人花元参与游戏甲两次，用表示该人参加游戏甲的收益（收益=参与游戏获得钱数-付费钱数），求的概率分布及期望；（2）用表示某人参加次游戏乙的收益，为任意正整数，求证：的期望为.21．（12分）设函数，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若函数没有零点，求的取值范围.22．（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

计算出和，即可得出回归直线必过的点的坐标.【题目详解】由题意可得，，因此，回归直线必过点，故选：C.【题目点拨】本题考查回归直线必过的点的坐标，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查结论的应用，属于基础题.2、D【解题分析】分析：由题可知，正态曲线关于对称，根据，即可求出详解：随机变量服从正态分布正态曲线关于对称故选D.点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是正态曲线的对称性.3、C【解题分析】分析：根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可．详解：对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为，b=﹣0.7＜0，负相关．对于B：根据表中数据：=1．可得=2．即，解得：m=3．对于C：相关系数和斜率不是一回事，只有当样本点都落在直线上是才满足两者相等，这个题目显然不满足，故不正确.对于D：由线性回归方程一定过（，），即（1，2）．故选：C．点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题，对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计.4、C【解题分析】分析:根据画出的直线得直线的倾斜角.详解：直线x=1的倾斜角为故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查特殊直线的倾斜角，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)任意一条直线都有倾斜角，但是不是每一条直线都有斜率.5、D【解题分析】

根据正态密度曲线的对称性得出，于是可计算出，于此可得出结果．【题目详解】由于，由正态密度曲线的对称性可得，因此，，故选D.【题目点拨】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，解题的关键在于利用正态密度曲线的对称性将所求概率转化为已知区间概率进行计算，属于基础题．6、B【解题分析】

根据三视图可确定几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果.【题目详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱几何体表面积：本题正确选项：【题目点拨】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况.7、B【解题分析】

根据题意画出韦恩图即可得到答案．【题目详解】根据题意阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，得到的韦恩图如图，所以阅读过《西游记》的学生人数为人故选B.【题目点拨】本题考查利用韦恩图解决实际问题，属于简单题．8、C【解题分析】

求出二项展开式的通项公式，由此求得常数项.【题目详解】依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故常数项为，故选C.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.9、A【解题分析】

先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项，再根据常数项为15，求得的值．【题目详解】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，由此求得，故选：．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．10、C【解题分析】因为，所以，即，应选答案C．11、B【解题分析】

先将化为,再令,则问题转化为:,然后通过导数求得的最大值代入可得.【题目详解】若存在，使得有解,即存在,使得,令,则问题转化为:,因为,当时,;当时,,所以函数在上递增,在上递减,所以,所以.故选B.【题目点拨】本题考查了不等式能成立问题,属中档题.12、C【解题分析】

化简二项式的展开式，令的指数为零，求得常数项.【题目详解】二项式展开式的通项为，令，故常数项为，故选C.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】分析：先不考虑蛇共有种排法，再减去蛇相邻的情况，即可得出结论．详解：先不考虑蛇，先排蛇与毒草有种，再排藏红花有种，共有种，其中蛇相邻的排法共有种，，故答案为.点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.14、【解题分析】分析：详解：函数是定义在上的奇函数，故函数)关于(2,0)中心对称，函数的图象关于直线对称，得到函数的周期为：4，故答案为：0.点睛：这个题目考查了函数的对称性和周期性，对于抽象函数，且要求函数值的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为已知表达式的区间上，将转化后的自变量代入解析式即可.15、【解题分析】

先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值.【题目详解】由题得直线方程为，由题意，点到直线的距离，∴.故答案为：【题目点拨】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16、60【解题分析】

根据二项式的通项公式求解.【题目详解】二项式的展开式的通项公式为：，令，则，故第五项为60.【题目点拨】本题考查二项式定理的通项公式，注意是第项.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）有；（2）.【解题分析】

(1)计算与5.024比较，即可判断是否有的把握认为选代数题还是几何题与性别有关.（2）显然，可直接利用公式计算数学期望和方差.【题目详解】(1)由列联表知故有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关(2)由表知20位女生选几何题的频率为，故；.【题目点拨】本题主要考查独立性检验统计思想，二项分布的数学期望和方差的计算.意在考查学生的计算能力，阅读理解能力和分析能力，难度不大.18、(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解题分析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；（2），为函数零点，可得，要证，只需证，，令，在上是增函数，∴，∴，从而可得结论.详解：（1）函数的定义域为..当时，，在上是减函数，所以在上无极值；当时，若，，在上是减函数.当，，在上是增函数，故当时，在上的极小值为.（2）证明：当时，，可证明由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，又，为函数零点，所以，要证，只需证.∵，又∵，∴，令，则，∴在上是增函数，∴，∴，∴，即得证.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.19、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解题分析】试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式可得，当时，，在上单调递增；当时，由导函数的符号可知在单调递减；在单调递增.（Ⅱ）构造函数，问题转化为在上恒成立，求导有，注意到.分类讨论：当时，不满足题意.当时，，在上单调递增；所以，满足题意.则实数的取值范围是.试题解析：（Ⅰ），当时，，.∴在上单调递增；当时，由，得.当时，；当时，.所以在单调递减；在单调递增.（Ⅱ）令，问题转化为在上恒成立，，注意到.当时，，，因为，所以，，所以存在，使，当时，，递减，所以，不满足题意.当时，，当时，，，所以，在上单调递增；所以，满足题意.综上所述：.20、（1）分布列见解析，期望为；（2）见解析．【解题分析】分析：（1）表示该人参加游戏甲的收益，可能取值为，，，，分布列为：（2）用表示某人参加次游戏乙的收益可能取值为，，，…，，…（且），每次独立，获奖的概率为.满足二项分布。详解：（1）则的所有可能取值为，，，，，，，，，，；（2）证明：的所有可能取值为，，，…，，…（且），（且），，，两式相加即得，所以.点睛：（1）离散型随机变量的