2024届湖南省洞口二中高二数学第二学期期末经典试题含解析

2024届湖南省洞口二中高二数学第二学期期末经典试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（）A． B．C．且 D．或2．若（为虚数单位），则复数（）A． B． C． D．3．已知则的最小值是()A． B．4 C． D．54．设是定义在上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A．∪B．∪C．∪D．∪5．已知二次函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．45° D．90°7．某学校为解决教师的停车问题，在校内规划了一块场地，划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有()A．种 B．种 C．种 D．种8．供电部门对某社区位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是A．月份人均用电量人数最多的一组有人B．月份人均用电量不低于度的有人C．月份人均用电量为度D．在这位居民中任选位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为9．用数学归纳法证明过程中，假设时，不等式成立，则需证当时，也成立，则（）A． B．C． D．10．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（）A． B． C． D．11．已知函数，若只有一个极值点，则实数的取值范围是A． B． C． D．12．给出下列四个说法：①命题“都有”的否定是“使得”；②已知，命题“若，则”的逆命题是真命题；③是的必要不充分条件;④若为函数的零点，则，其中正确的个数为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．参数方程所表示的曲线与轴的交点坐标是______．14．一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为______．15．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(－x－2)＋f(x)＝0；③当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1).则f()＋lg14＝________.16．已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为__．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在正四棱锥P-BCD中，正方形ABCD的边长为32，高OP=6，E是侧棱PD上的点且PE=13PD，F是侧棱PA上的点且PF=12(1)求平面EFG的一个法向量n；(2)求直线AG与平面EFG所成角θ的大小；(3)求点A到平面EFG的距离d．18．（12分）如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为中点.求证：平面平面；若，求二面角的余弦值.19．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：．20．（12分）已知数列{}满足，且.（I）证明：数列{}是等差数列；（II）求数列{}的前项和.21．（12分）如图，平面，在中，，，交于点，，，，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．22．（10分）已知．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明对于任意的成立．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】解：因为用反证法证明“如果a>b，那么>”假设的内容应是＝或<，选D2、B【解题分析】由可得：，故选B.3、C【解题分析】

由题意结合均值不等式的结论即可求得的最小值，注意等号成立的条件.【题目详解】由题意可得：，当且仅当时等号成立.即的最小值是.故选：C.【题目点拨】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．4、B【解题分析】试题分析：因为当时，有恒成立，所以恒成立，所以在内单调递减．因为,所以在内恒有；在内恒有．又因为是定义在上的奇函数，所以在内恒有；在内恒有．又因为不等式的解集，即不等式的解集，由上分析可得，其解集为∪，故应选．考点：1、函数的基本性质；2、导数在研究函数的单调性中的应用．【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质和导数在研究函数的单调性中的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据商函数求导法则可知化为；然后利用导数的正负性可判断函数在内的单调性；再由可得函数在内的正负性；最后结合奇函数的图像特征可得，函数在内的正负性，即可得出所求的解集．5、A【解题分析】

先求出二次函数在区间内有两个零点，所需要的条件，然后再平面直角坐标系内，画出可行解域，然后分析得出的取值范围.【题目详解】因为二次函数在区间内有两个零点，所以有：，对应的平面区域为下图所示：则令，则的取值范围为，故本题选A.【题目点拨】本题考查了一元二次方程零点分布问题，正确画出可行解域是解题的关键.6、B【解题分析】分析：由题意可得，，进而得到与，再由，可得结论.详解：，，，并且，，与的夹角为，故选B.点睛：本题主要考查空间向量夹角余弦公式，属于中档题.解决此类问题的关键是熟练掌握由空间点的坐标写出向量的坐标与向量求模.7、A【解题分析】根据题意，要求有4个空车位连在一起，则将4个空车位看成一个整体，将这个整体与8辆不同的车全排列,有种不同的排法，即有种不同的停车方法；故选A.点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．8、C【解题分析】根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；在这1000位居民中任选1位协助收费,用电量在[30,40)一组的频率为0.1，估计所求的概率为，∴D正确.故选C.9、C【解题分析】故选10、C【解题分析】分析：设表示“第一次抛出的是奇数点”，表示“第二次抛出的是奇数点”，利用古典概型概率公式求出的值，由条件概率公式可得结果.详解：设表示“第一次抛出的是奇数点”，表示“第二次抛出的是奇数点”，，，在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为，故选C.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的合理运用，同时注意区分独立事件同时发生的概率与条件概率的区别与联系.11、C【解题分析】

由，令，解得或，令，利用导数研究其单调性、极值，得出结论.【题目详解】，令，解得或，令，可得，当时，函数取得极小值，，所以当时，令，解得，此时函数只有一个极值点，当时，此时函数只有一个极值点1，满足题意，当时不满足条件，舍去.综上可得实数的取值范围是，故选C.【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.12、C【解题分析】

对于①②③④分别依次判断真假可得答案.【题目详解】对于①，命题“都有”的否定是“使得”，故①错误；对于②，命题“若，则”的逆命题为“若，则”正确；对于③，若则，若则或，因此是的充分不必要条件，故③错误；对于④，若为函数，则，即，可令，则，故为增函数，令，显然为减函数，所以方程至多一解，又因为时，所以，则④正确，故选C.【题目点拨】本题主要考查真假命题的判断，难度中等.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据消参,将化为直角坐标系下曲线方程,即可求轴的交点坐标.【题目详解】可化为可得:当时,曲线与轴的交点坐标是.故答案为:.【题目点拨】本题考查圆锥曲线的参数方程和普通方程的转化,消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法.本题采用了三角恒等式消元法.14、18【解题分析】

画出满足题意的三棱锥P-ABC图形，根据题意，画出高，利用直角三角形，求出此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积．【题目详解】由题意画出图形，如图所示：因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，在三角形PDF中：因为三角形PDF三边长PD=1，DF=3所以PF=2，则这个棱锥的侧面积S=3×故答案为：18。【题目点拨】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积和棱锥的结构特征，考查数形结合思想，还考查计算能力，是基础题，棱锥的侧面积是每一个侧面的面积之和。15、1.【解题分析】分析：由①②知函数f(x)是周期为2的奇函数，由此即可求出答案.详解：由①②知函数f(x)是周期为2的奇函数，于是f()＝f＝f＝－f，又当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，f()＝－f＝－lg＝lg，故f()＋lg14＝lg＋lg14＝lg10＝1.故答案为：1.点睛：本题考查函数周期性的使用，函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．16、36π【解题分析】

由题意，为等腰直角三角形，高为球O的半径时，四面体ABCD的体积最大，利用四面体ABCD体积的最大值为9，求出R，即可求出球O的表面积.【题目详解】由题意，为等腰直角三角形，高为球O的半径时，四面体ABCD的体积最大，最大值为，，球O的表面积为.故答案为：36π.【题目点拨】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）n=(0,1，2)（2）直线AG与平面EFG所成角θ=arcsin（3）6【解题分析】

(1)建立空间直角坐标系，求出EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，-2)，设平面EFG的一个法向量n=(x,y，z)，由n⋅EF(2)求出AG=(-8,2，2)，由sinθ=|cos<AG,n(3)求出EA=(6,2，-4)，由点A到平面EFG的距离d=【题目详解】(1)∵在正四棱锥P-BCD中，正方形ABCD的边长为32，高OP=6E是侧棱PD上的点且PE=13PD，F是侧棱PAG是△PBC的重心.如图建立空间直角坐标系．∴D(0,-6,0)，P(0,0，6)，E(0,-2,4)，A(6,0，0)，B(0,6，0)，C(-6,0，0)，G(-2,2，2)，EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，设平面EFG的一个法向量n=(x,y，z)则n⋅EF=3x+2y-z=0平面EFG的一个法向量n=(0,1，2)(2)AG=(-8,2，则sinθ=|∴直线AG与平面EFG所成角θ=arcsin(3)EA=(6,2，∴点A到平面EFG的距离d=|【题目点拨】本题主要考查了平面的法向量、线面角、点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系及数形结合思想，属于中档题．18、证明见解析；.【解题分析】

推出，从而平面，进而得出，再得出，从而平面，由此能证明平面平面；以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【题目详解】解：证明：平面平面，，平面平面.平面，.在菱形中，，可知为等边三角形，为中点，.，平面.平面，平面平面.由知，平面，，，，两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系.设，则，，，，.设为平面的法向量，由可得，取，同理可求平面的法向量，，即二面角的余弦值等于.【题目点拨】本题考查面面垂直的证明，线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，属于中档题.19、（1）；（2）见解析【解题分析】

(1)根据前n项和与通项间的关系得到，，，两式做差即可得到数列，数列为常数列，，即；（2）根据第一问得到，裂项求和即可.【题目详解】（1）当时，，即，当时，①，②，得，即，所以，且，所以数列为常数列，，即．（2）由（1）得，所以，所以，．【题目点拨】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．20、（I）见解析（II）【解题分析】

（I）根据题意，对于，变形可得，根据等差数列的定义分析可得结论；（II）由（1）中的结论，结合等差数列的通项公式可得，即可得出，再根据错位相减法即可求解出结果。【题目详解】解：（I）由，可得所以得为等差数列，公差为1；（II），①②①-②得【题目点拨】本题主要考查了构利用定义法证明等差数列以及错位相减法求数列的前项和，证明时采用了构造的方法，错位相减法主要用于数列的形式为等差乘等比。21、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

过D作平行线DH，则可得两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标，求出长，写出的坐标．求出相应向量，（1）由，证得垂直；（2）求出平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值等于向量和夹角余弦值的绝对值．由向量的数量积运算易求．【题目详解】（1）过D作平行线DH，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，为轴，建立空间坐标系，如图，在中，，，，，交于点，，；,，，；（2）由（1）可知