云南省大理州2021届高三二模数学（理）试卷及答案

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云南省大理州2021届高三二模数学（理）试题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案

正确填写在答题卡上

一、单选题

1.已知集合A=kM«2},8={x|y=lg（x-1）},则A|JB=（）

A.1x|l<x<2jB.{疝<xV2}C.{x|x>-2jD.{dxN2}

2.设复数z=2+3i,则z在复平面中对应的点为（）

1-1

A.（1,4）B.（2,5）C.（4,1）D.（5,2）

3.•”是“tan8=2cos（5+e）”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.在区间［」一］上任取一个数k，使直线y=/+3）与圆f+y2=l相交的概

22

率为

A.1B.交C.也D.交

2432

5.已知a=202,b=log20.2,c=log022,则a,）,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.h<a<cC.c<b<aD,b<c<a

22

6.已知双曲线C：二—二=l（a>0,b>0）的离心率为Q，则点（4,0）到C的渐近

CTb

线的距离为

A.V2B.2C.D.272

2

、„s

7.记S”为等比数列{""）的刖N项和.右。5-43=12,46-44=24,则n一=（）

an

A.2«-1B.2-2C.2-2"-'D.

8.执行如图的程序框图，若输入k的值为3,则输出S的值为

CW)

J

J

S=1

A.10B.15C.18D.21

9.已知四面体4一BCD所有顶点都在球。的球面上，且AB，平面BCD，若AB=2,

ZBCD=120°,BC=CD=1,则球。的表面积为()

A.44B.67rC.87rD.124

10.已知函数/(x)=sinox+bCOSGX(G>0)的零点依次构成一个公差为3的等差

数列，把函数/(%)的图象沿x轴向右平移四个单位，得到函数g(x)的图象，则函数

6

g(x)()

7T

A.是偶函数B.其图象关于直线x=g对称

2

7171

C.在上是增函数D.在区间—上的值域为[-6,2]

[42J

11.设抛物线>2=8x的焦点为凡过尸的直线/与抛物线交于点A,B,与圆

/+,2一叙+3=0交于点匕Q,其中点A,P在第一象限，则2|AH+|QB|的最小值

为()

A.272+3B.272+5C.472+5D.472+3

12.已知函数/(X)=—父+。，g(x)=x2",若对于任意的存在唯一的

x,e[-p2],使得/(M)=g(X2)，则实数〃的取值范围是()

A.(e,4)B.(eH—,4]C.(eH—,4)D.(一,4]

444

二、填空题

13.已知同=1,石=(0,2),且7B=1，则向量7与B夹角的大小为

14.中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》

《孙子算经》等，有3名中学生计划去图书馆阅读这四种古典数学著作(这四种著作每

种各一本)，要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作只有一人阅读，

则不同的阅读方案的总数有种.(请用数字作答)

15.如图，在正方体ABC。一A4G2中，点尸在线段A1上移动，有下列判断：①

平面8DP〃平面8℃；②平面PA&_L平面g2。；③三棱锥P-片0c的体积不

变；④PG，平面目已。.其中，正确的是.(把所有正确的判断的序号都填上)

16.我们把6=2"+1(〃=0,1,2•-)叫“费马数”(费马是十七世纪法国数学家)，设

勺=log2(/;,-1),S.表示数列｛4｝的前〃项之和，则使不等式

2223〈孚成立的最大正整数〃的值是

-----------1--------------!-•••+

监S2s3S£+】127

三、解答题

17.ZkABC中，角A,B,C对边的边长分别是mb,c,且Q(cosB+cosC)=h+c.

71

(1)求证：A=—；

2

(2)若△ABC外接圆半径为1,求△A5C周长的取值范围.

18.如图甲，在口45。中，ABA.BC,AB=6,BC=3,D，E分别在AC,AB

ArAn

上，且满足一=——=2,将口4)£沿OE折到2DE位置，得到四棱锥P—BCDE，

如图乙.

甲乙

(1)已知Af,N为PB，PE上的动点，求证：MNJ.DE；

(2)在翻折过程中，当二面角P—匹一8为60。时，求直线CE与平面PCD所成角的

正弦值.

19.随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力

度.中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到

科技升级投入x(亿元与科技升级直接收益y(亿元)的数据统计如下：

序号i23456789101112

2346810132122232425

y1322314250565868.56867.56666

当0<xW17时，建立了y与尤的两个回归模型：模型①：9=4.*+11.8；模型②：

»=21.34—14.4；当x>17时，确定y与x满足的线性回归方程为e=-0.7x+a.

(1)根据下列表格中的数据，比较当0<xW17时模型①、②的相关指数收的大小,

并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿

元时的直接收益.

回归模型模型①模型②

回归方程9=4.5+11.8y-21.3石-14.4

7

E(^-x)2

182.479.2

1=1

E(^-x-)2

(附：刻画回归效果的相关指数火2=1-々---------，J万。4.1)

E(X-7)2

i=1

(2)为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，

以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.

(附：用最小二乘法求线性回归方程$=晟+&的系数：

Z%/一欣•y了)

A_Jzl____________i=i______________aa=—y-b£x—)、

za•-元)

/=1

(3)科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布

N(0.52,0.012).公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%,不

予奖励：若芯片的效率超过50%,但不超过53%,每部芯片奖励2元；若芯片的效率超

过53%,每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求£(丫)(精确到0.01).

(附：若随机变量X~N(〃,cr2/b>0),则尸(〃—cr<X«〃+b)=0.6827,

P("-2cr<X<//4-2a)=0.9545)

22

20.已知椭圆C：1+斗=1(。>力>0)的两个焦点为£,居，焦距为2a，直线/：

3

^=%-1与椭圆。相交于人，5两点，P4，-4为弦A3的中点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线/：丫=履+机与椭圆C相交于不同的两点M，N,2(0,m),若

OM+AON=3OQ(。为坐标原点)，求加的取值范围.

1,

21.已知函数/(x)=xsinx+cosx+5ax,xG[-71,7r].

(1)当a=0时，求/(x)的单调区间；

(2)当a>0,讨论f(x)的零点个数；

22.以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴.已知曲线G的

极坐标方程为夕=4cos8+8sin。，p是G上一动点，而=2而，点。的轨迹为。2・

(1)求曲线。2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；

(2)若点M(o,l),直线/的参数方程1.a为参数)，直线/与曲线的

y=l+/sina

交点为AB,当取最小值时，求直线/的普通方程.

23.已知函数f(x)=|2x+4|-|2x-2|.

(1)求不等式，(x)|V4的解集；

1113

(2)记/(k)的最大值为加，设〃"，c>0,且〃+2/?+3C=M,证明：—H----1--->—.

a2b3c2

参考答案

1.c

先分别求出集合A,B,再求两集合的并集

解：

解：由凶<2,M-2<x<2,所以A={x|-2«x«2},

由x—l>0,得x>l,所以B={x|x>l},

所以A|JB={x\x>-2],

故选：C

2.A

利用复数的运算法则进行求解即可

解：

z=2+3i=2("p+3i=l+4i,对应的点为(1,4)

1-i1-i-

故选：A.

点评：

本题考查复数的运算，属于基础题

3.A

解：

27tI—2TC

由已知tan0=-2sin仇tan——=一=-2sin——,充分性成立；

33

由tane=2cos[]+。)不能得出。=等，如8=0也满足.

故选:A.

4.D

求出直线与圆相交的我的取值范围，求出区间的长度后可得概率.

解：

直线与圆相交，则<1,解得一正<左〈也,

yjl+k244

交交、

所求概率为p=J（4J=72

卜-；）2

故选：D.

5.D

根据指数函数、对数函数的单调性判断即可；

解：

解：因为函数y=2、在定义域上单调递增，所以2°-2>2°=1，所以。>1；y=log2%在定

义域上单调递增，所以log2（）.2<log20.5=T,所以人<一1,y=log（）.2X在定义域上单

调递减，所以-l=logo.25<logo.22<logo,21=0,即一l<c<0

所以a>c>b

故选：D

6.D

解：

b

分析：由离心率计算出一，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可.

a

详解：ve=-=^l+（1）2=V2

.心=1

a

所以双曲线的渐近线方程为x±y=O

4

所以点（4,0）到渐近线的距离d=2后

V1+T

故选D

点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题.

7.B

根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列

的通项公式和前n项和公式进行求解即可.

解:

设等比数列的公比为夕,

42

a}q-a}q=121q=2

由%-%=12,%-。=24可得:

4ad-ad=241q=l

所以…0”—.=管=吕=2」,

n

因此q'=-?^=2—2i.

an2

故选：B.

点评：

本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前〃项和公式的应用，考查

了数学运算能力.

8.B

解：

由题意可得,〃=2,S=3;

〃=3,S=6;

〃=4,S=10;

n—5,S=15

程序结束，故选B.

9.C

由已知可得30、△BCD的外接圆半径乙又AB，面BCD，由四面体外接球半径R与

AB,，的几何关系求R,进而求球的表面积.

解：

由NBC£>=120°,BC=CD=1,即可知：BD=

设球。的半径为R，△38的外接圆半径为乙则2。=BD2,即厂=1,

sml20

又・・・AB_L平面BCD,AB=2,

=^/T+T=V2,

球。的表面积为s=4%R2=8万.

故选：C.

点评：

关键点点睛：由四面体中一条棱垂直于一个面，根据四面体外接球半径与该棱、及面的外接

圆半径的关系求球体半径，进而求球体表面积.

10.D

利用辅助角公式得出/(x)=2sin[/x+|J,由已知条件求得切的值，再利用函数图象变

换求得函数>=g(x)的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.

解：

Q/(x)=sina)x+-j3cos=2sin<yx+y,

由于函数y=/(x)的零点构成一个公差为'的等差数列，则该函数的最小正周期为万，

•.-6>>0,则刃=@=2,所以/(x)=2sin[2x+q),

将函数y=/(x)的图象沿％轴向右平移2个单位，

得到函数g(x)=2sin2卜一奈)+?=2sin2x的图象.

对于A选项，函数y=g(x)的定义域为R,g(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-g(x),

函数y=g(x)为奇函数，A选项错误；

对于B选项，=2sin)=0。±2,所以，函数y=g(x)的图象不关于直线x对

称，B选项错误;

对于C选项，当XC时，-<2X<7V,则函数y=g(x)在上是减函数，C

选项错误；

jr2乃jrA■TJ/&f—

对于D选项，当一WxW——时，一<2x«——，则一处«sin2x4l，...—G«g(x)W2.

63332

所以，函数y=g(x)在区间PY上的值域为[-瓜2],D选项正确.

故选：D.

II.D

根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将2|AP|+|QB|表示为焦半径与半

径的关系，然后根据坐标乙,4的特点结合基本不等式求解出2\AP\+\QB\的最小值.

解：

如图所示:

因为圆的方程为T2+y2—4x+3=0即为(X—2)2+y2=1,所以圆心为(2,0)即为抛物线

V=8x的焦点且半径R=1

因为2|AP|+|QB|=2（|A月—/?）+（忸尸|-R）,所以2|朋+|。却=2|窃|+|防|一3,

又因为|4尸|=4+y=xx+2,\BF\=XB+-^=XB+2,

所以21Api+|。即=2%+3,

X；+2,所以x?一（4+8加2）%+4=0,所以％A%B=4,

设/:%=冲+2,所以<2

所以2|A”+|Q8|=24+无B+322+3=40+3,取等号时

=\/2,XB=2A/2.

综上可知：(2|AP|+|Q6|%=40+3.

故选：D.

点评：

本题考查抛物线与圆的综合应用，着重考查了抛物线的焦半径公式的运用，难度较难.(1)已

知抛物线y2=2px(〃>0)上任意一点以及焦点尸，则有|叱|=/+日；⑵

当过焦点的直线I与抛物线J/=2Px(p>0)相交于A&,y),y),则有

B(X2,2

P'2

\x2=-,yly2=-p-

12.B

结合导数和二次函数的性质可求出/(X)和g(X)的值域，结合已知条件可得［0,可三［。-4,

“-J,从而可求出实数”的取值范围.

解：

解：g(x)=/e'的导函数为((x)=2xe'+x2e'=x(x+2)eS当x=0时，g'(x)=0,

由xe［T0)时,g'(x)<0,xe(0,l］时,g'(x)>0,可得g(x)在［-1,0］上单调递减,

在(0,1］上单调递增，故g(x)在［-1,1］上的最小值为g(0)=0,最大值为g(1)=e,

所以对于任意的々€［一1，11，^U2)e［0,e］.因为y=-F+a开口向下，对称轴为>轴，

又一:一0<|2—0］,所以当％=0时，/(x)max=a,当尤=2时，/U)min=«-4,

则函数/(xh-Y+a在2］上的值域为［a-4,a］,且函数/(x)在［一(；］,

图象关于>轴对称，在(g,2］上，函数/(x)单调递减.由题意，得［0,e］C-4,a-；),

可得a-4<0<e<a-■-,解得e+—<a<4.

44

故选:B.

点评：

本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是

/(Xi)=g(Z)这一条件的转化.

先求出W，再利用平面向量的夹角公式求解即可

解：

解：因为石=(0,2),所以忖=2,

因为卜|=1，ab-\'

所以以^“)=雨=宙=/,

因为伍可引。/],所以

兀

故答案为：—

3

14.36

根据题意，分2步进行分析：先将4本著作分为3组，再将分好的三组全排列，分配给3

人，由分步计数原理计算可得答案.

解：

根据题意，分2步进行分析：

①将4本著作分为3组，有C“2=6种分法，

②将分好的三组全排列，分配给3人，有43=6种情况，

则有6x6=36种不同的阅读方案,

故答案为：36.

点评：

本题考查排列与组合，先分组后排列，属于基础题.

15.①②③

①在正方体中可证平面BDP//平面BRC,又点尸在线段AtB上移动，所以平面BDPH

平面片所以①正确；

②先证AC,1平面BRC，再根据面面垂直的判定定理可证平面PA&1平面B,D,C,所

以②正确；

③根据48//平面可得三棱锥的体积不变，所以③正确：

④由AG，平面6Q。，而PC与AG交于4,可得④不正确.

解：

①因为在正方体中有A8//2C,,且Afz平面g£)c，〃Cu平面5RC，所以48//

平面,同理得30//平面B}DtC,

又48门8。=民所以平面48。//平面片。。，

又点P在线段AB上移动，所以平面89P//平面片"C,所以①正确；

②因为AB_L平面BB£C,所以Aq在平面BB©C内的射影为BC,,

因为5,C±BC,,根据三垂线定理可得ACt15,C,

同理可得AG人BR,

因为B]CcB[D[=B],

所以AG_L平面片RC,

因为AGu平面PACi所以平面PAG，平面片。C,所以②正确；

③由①知AB”平面BRC,所以点尸到平面BRC的距离为定值，所以三棱锥P-BRC

的体积不变，所以③正确；

④由②知AG，平面4。。，而PG与AG交于G，所以PG与平面不垂直，所

以④不正确。

故答案为:①②③

点评：

本题考查了直线与平面，平面与平面平行的判定定理，考查了直线与平面垂直的判定定理,

考查了平面与平面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题.

16.5

由对数的运算性质求得%,由等比数列的求和公式可得S,，再由数列的裂项相消求和，解

不等式可得所求最大值.

解：

2

解：由题意得,an=log2(/^—1)=log22=2"，

2'用2,1+111

所以"三=2人2,则------=------------------=-----------------

n+ln+2n+1+2

SnSn+](2-2)(2-2)2-22"-2

2"+i

所以H----------

S"S"+]

63

2~2"+2-2而

可得一—>------,解得〃<6,

2n+2-22x127

所以最大正整数〃的值为5,

故答案为：5

点评：

关键点点睛：此题考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和法，解题

2

的关键是由已知条件求出an=log2(/;,-1)=log22"=2%从而可得

2(1-2")2”+i2/1।।

进而可求出-(2,,+l-2)(2n+2-2)-2n+l-2-2"+2-2

考查转化思想和计算能力，属于中档题.

17.(1)见解析(2)(4,2+20]

(1)根据余弦定理求得cosB,和cosC代入题设等式中，整理得(。+。)(a2-b2-c2)=0

rr

进而求得〃2=〃+c2.判断出A=—.

2

(2)根据直角三角形外接圆的性质可求得〃，进而求得从的表达式，进而根据5的范围

确定加"C的范围，进而求得三角形周长的范围.

解：

解：(1)证明：,:a(cosB+cosC)=b+c

・u-,人才…pe/日+c2—b~cr+b~—c~.

..由余弦定理得Q.------------------F----------------=b+c.

2ac2ah

：.整理得(b+c)(屏-b2-c2)=0.

71

VZ?+c>0,・・・。2=按+。2.故4=一.

2

IT

(2)•:△ABC外接圆半径为1,A=—,・・・〃=2.

2

/?+c=2(sinB+cosB)=2&sin(B+—).

…，冗.4J式,3万

・0V8V—，・・一<BT—V,：.2<b+c<2y/2.

2444

.*•4<Ctz+Z?+c<2+2-y/2，

故△ABC周长的取值范围是(4,2+272J.

点评：

本题主要考查了余弦定理的应用.解题的关键是利用余弦定理把关于角的问题转化为关于边

的问题.

18.(1)证明见解析；(2)叵.

13

(1)通过DE±BE和DE_L尸£证明，平面PBE即可得出MNJ_；

(2)以点B为坐标原点，分别以BE,BC,BP为x,y,z轴正方向建立坐标系，利用

向量法求解.

解：

（1）证明：在图甲中,

..AEAD

'~BE~~DC二DEIIBC,

又：AB，BC,，_L且DE，AE,

即在图乙中，DEA.BE，DE工PE，又BEcPE=E，

故有£>E_L平面尸BE,

而MNu平面PBE,故有MN上DE；

（2）解：:DE工BE,DEYPE,

所以NPEB为二面角2一£。一8的平面角，则NP£3=60°,

在中，BE=2,PE=4,NPEB=60°,

由余弦定理，可知PB=2百，满足依2+8£2=依2,则有尸

由（1）知，BC_L平面P8E,则

如图，以点3为坐标原点，分别以BE,BC,BP为x,y,z轴正方向建立坐标系,

则£（2,0,0）,尸（0,0,26）,C（0,3,0）,D（2,2,0）,

则定=（0,3,—26）,CD=（2,-l,0）,CE=（2,-3,0）,

设平面PCD的法向量为。=（x,y,z）,

定•乃=3y—20z=0

取为=（1,2,⑹,

CDn=2x-y=

|CE-n|4V26

所以直线CE与平面PCO所成角。满足sin。

|cE|-|n|-V13-2V27T

点评:

本题考查线线垂直的证明，考查向量法求线面角，属于中档题.

19.(1)见解析(2)技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大.(3)2.27元

182.479.2

(1)由表格中的数据，182.4>79.2,所以_了y苗，

/=!；=1

182.4179.2

--------------<1---------------

Z(x--y)2Z(x--y)2利用相关指数的定义即得解;

r=l/=1

(2)当x>17时，由已知可得元可得。=歹+0.7元，可得y与x满足的线性回归方程,

代入计算即得结论；

(3)由〃-2cr=0.50,〃+cr=0.53,所以P(0.50<X40.53)

=P(〃-2cr<X<//+cr)=P(〃-2b<X<〃-cr)+P(〃一X<//+a),即得解.

解：

182.479.2

解：(1)由表格中的数据，182.4>79.2,所以£(),_了『£(),_,『，

1=11=1

182.4।79.2

1t----------------<1-----------------

所以i(y,-y)2i(y,-y)2-

f=lf=l

可见模型①的相关指数用小于模型②的相关指数周.

所以回归模型②的拟合效果更好.

所以当尤=17亿元时，科技升级直接收益的预测值为

y=21.3xV17-14.4«21.3x4.1-14.4=72.93(亿元).

21+22+23+24+25

(2)当尤>17时，由已知可得了=23.

5

_68.5+68+67.5+66+66_

y=------------------------------=67.2.

-5

所以a=9+0.7元=67.2+0.7x23=83.3.

所以当x>17时，y与x满足的线性回归方程为£=-0.7X+83.3.

当％=20时，科技升级直接收益的预测值为夕=-0.7x20+83.3=69.3亿元.

当》=2()亿元时，实际收益的预测值为69.3+5=74.3亿元>72.93亿元，

所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大.

(3)因为〃-2b=0.50,〃+cr=().53,所以

P(0.50<X<0.53)=—2b<XV〃+b)

=P卬-2<y<X<cr)+P(〃一CT<X<//+cr)

0.9545-0.6827

+0.6827=0.8186；

2

1—0.6827

P(X>0.53)=P(X>〃+cr)=-----------

1_MZSOQ,y

所以£(Y)=0+2x0.8186+4x二^一=2.2718®2.27(元).

点评：

本题考查了线性回归方程、回归系数，正态分布等知识点，考查了学生综合分析，转化划归,

数学运算能力，属于中档题.

v-2J]

20.(1)—+y2=1；(2)一</〃<1或一1<加<——.

333

(1)0(；,一£|为弦A3的中点，设A(玉,凹)，8(々,为)，代入椭圆方程利用点差法可求

解.

_.12―►12

(2)由M,Q,N三点共线，0Q=—0M+―0N,根据三点共线性质可得：一+—=1,

3333

则％=2,将直线/的方程和椭圆。方程联立，利用韦达定理即可求得答案.

解：

(1)；焦距为2&，则c=VL设A(x，x),3(乙,%)，

丁尸为弦A3的中点，根据中点坐标公式可得：王+%=]，凶+必=-5，

22

又•.•将4(%,y),代入椭圆°：*+方=1

9a29oj2

.心-芍+Q-y1=a-b

"考+爪=//

，将两式作差可得：+%)(西一%2)+/(%+%)(%—>2)=°，

所以怎

a(*+%)a

所以/=3〃.①.

Va2-b2=c2②

a1-3

由①②得：，

b2=\

2

所以椭圆的标准方程为r二+y2=1.

3

―.1____4―►

(2)'：M,。，N三点共线，OQ^-OM+-ON

1J

・・・根据三点共线性质可得：一+—=1,则2=2

33

12

设M(X，X),N8,yj,则§%+§工2=0，

/.%=-2X2.

y=kx+m,

将直线/和椭圆。联立方程〈°,.消掉九

x2+3y2=3

可得：［1+3k2^x2+6kmx+3m2-3=0.

A>0^3A:2-W2+1>0.③,

6kmQa

根据韦达定理：玉+z=-不为=也二

-1+3&21-1+322

小、加6km2

代入*=—C，-可r得：*K，c,3m-3

c36k2m23m2-3

--2x-------=------GP（9nr-1）-3左2=l-m2.

1,（1+3公）71+3公

,21

•9〃广一IHO，m~

9

12

•♦•女3。............④,

[2[2

代入③式得上?一一/«2+1>0,即:"+(1-病)>0,

W-l9/n2-1、7

m2(〃?？-1乂9机2-I)<0,器<n?<1满足④式，

；.1<加<1或一1<m<――.

33

点评：

本题考查椭圆的中点弦问题，考查直线与椭圆的综合问题，联立方程，韦达定理的应用，属

于中档题.

77H

21.(1).f(x)单调递减区间为一式,0,-,71.单调递增区间为一肛一彳，°，不；

12」[2」L2JL2J

(2)答案见解析.

⑴根据函数奇偶性，只研究/(x)在[0,可上单调性，利用导数根据其函数值的正负，即

可求得函数的单调区间；

(2)对参数。进行分类讨论，根据函数的单调性以及最值，即可求得函数的零点个数.

解：

••,/(一X)=f(X).\f(x)为偶函数,

只需先研究xe[0,%],

/(x)=xsinx+cosx,

f'(x)=sin%+xcosx-sinx=xcosx,

冗JI

当xeQ,~,f'(x)>0,当xe—,n,f\x)<0,

nJI

所以/(x)在XG0,5单调递增，在XG-,71,单调递减，

所以根据偶函数图象关于>轴对称，

7T~\「7T

得f(x)在无G一匹一,单调递增，在XG-万，0单调递减,

7TTTTTTT

故“X)单调递减区间为：一二,0,乃；单调递增区间为：一兀「三,0,-

2222

(2)f\x)=xcosx+ax=x(cosx+a),

①aN1时，/'(x)=x(cosx+a)20在xG［0,%］恒成立，

二/(x)在xe［0,%］单调递增

又/(0)=1,所以/&)在XG［一肛幻上无零点

②0<a<l时，训G(0㈤,

使得毛(cos/+a)=0,upcosxa=-a.

又cos尤在(0,乃)单调递减，

所以xe(O,Xo)，f\x)>0,XG(X0,^-),/'(x)<0

所以XG(O,Xo)，/(X)单调递增，xe(xo,7r),/(幻单调递减,

又/(0)=1，/(乃)=ga/T

1,2

(i)—Q7T-—1>0,即——<Q<1时

2711

/(X)在［0,兀］上无零点，

又/(©为偶函数，所以/(X)在