浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案：第二章概率论习题-偶数

第二章随机变量及其概率分布

注意：这是第一稿(存在一些错误)

第二章概率论习题—偶数.doc

2、解(1)由题意知，此二年得分数X可取值有0、1、2、4,有

p(x=0)=1—0.2=0.8

p(x=l)=02x(1—0.2)=0.16

p(x=2)=0.2X0.2X(1—0.2)=0.032

p(x=4)=0.2X0.2X0.2=0.008

从而此人得分数X的概率分布律为：

X0124

P0.80.160.0320.008

(2)此人得分数大于2的概率可表示为：

P(X>2)=P(X=4)=0.008.

(3)已知此人得分不低于2,即XN2,此人得分4的概率可表示为:

尸(X=4)_0.008

P(X=4|X>2)==0.2o

P(X>2)-0.032+0.008

4、解(1)用x表示男婴的个数，则X可取值有0、1、2、3,至少有1名男婴的概率可

表示为：

P(X>1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-<1-O.51)3=0.8824；

(2)恰有1名男婴的概率可表示为：

p(X=1)=C；0.51x(1-0.51)2=0.3674；

(3)用a表示第1,第2名是男婴，第3名是女婴的概率，则

«=0.512X(1-0.51)=0.127；

(4)用夕表示第1,第2名是男婴的概率，则

/?=0.512=0.260o

6、解由题意可判断各次抽样结果是相互独立的，停止时已检查了X件产品，说明第X次

抽样才有可能抽到不合格品。X的取值有1、2、3、4、5,有

p(X=k)=p(l-p)i/=l,2,3,4,

P(X=5)=(1-，儿

(2)P(X<2.5)=P(X=1)+P(X=2)=〃+〃(1—〃)=〃(2-。

7、解(1)用X表示诊断此人有病的专家的人数，X的取值有1、2、3、4、5。在此人有

病的条件下，诊断此人有病的概率为：

a=P(XN3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

=C5(1-0.1)3-0.12+C5(1-0.1)4-0.1+C5(1-0.1)5

=0.991

在此人无病的条件下，诊断此人无病的概率为：

/?=P(X<3)=P(X=0)+P(X=l)+P(X=2)

=Cj(l-0.2)5+C,(1-0.2)4.0.2+C；(1-(Up.0.22

=0.942

(2)用/表示诊断正确的概率，诊断正确可分为两种情况：有病条件下诊断为有病、无病

条件下诊断为无病，于是：

y=0.7a+0.34=0.977；

(3)用〃表示诊断为有病的概率，诊断为有病可分为两种情况：有病条件下诊断此人为有

病、无病条件下诊断此人为有病，于是：

〃=0.7a+0.3x(l-4)=0.711；

8、解用A表示恰有3名专家意见一致，B表示诊断正确的事件，则

P(AB)=0.7XP(X=3)+0.3XP(X=2)=0.112

P(A)=0.7xP(X=3或X=2)+0.3xP(X=2或X=3)=0.1335

所求的概率可表示为：

P(8|A)=^^=0.842

P(A)

10、解有题意知，X〜亚力)，其中％=」-

20

(1)10：00至12：00期间，即£=120,恰好收到6条短信的概率为:

e"(以y时(一6『3244

r(X=o)=--------=----------=----e=0.lol；

6!6!5

(2)在10：00至12：00期间至少收到5条短信的概率为：

4

P(XN5)=1-P(X<5)=1-ZP(X=A:)

A=0

=i-i15g-6

占k!

于是，所求的概率为：

324

P(X=6|XN5)=^^ro

12、解(1)由于P{0<XW1)+P(2WX<3)='+L=1,因此X的概率分布函数为:

22

0x<0

X

0<x<l

2

1

F(x)=P(X<x)-一1<x<2

2

x-1

2<x<3

2

1x>3

2.5-1_3

(2)P[X<2.5]=

2~4

14、解(I)该学生在7:20过X分钟到站，X~0(0,25),由题意知，只有当该学生在

7：20~7：30期间或者7：40~7：45期间到达时，等车小时10分钟，长度一共15分钟，所

以：

P{该学生等车时间小于10分钟}=P{X<10}=1^5=|3；

(2)由题意知，当该学生在7：20~7：25和7：35~7：45到达时，等车时间大于5分钟又

小于15分钟，长度为15分钟，所以：

P{该学生等车时间大于5分钟又小于15分钟}=P{5<X<15}=1^5=j3；

(3)已知其候车时间大于5分钟的条件下，其能乘上7：30的班车的概率为：

P{该学生乘上7:30的班车|X>5}=小/学生乘彳;黑班乍目-X汐

其中尸{该学生乘上7:30的班车且*>5}=』='，P{X>5}='竺=3,于是

255255

]_

P{该学生乘上7:30的班车|X>5}=?=L

44

5

16、解(1)

P(X〉2.5)=尸(>二^>252.)=p(土上>-2.5)

acrcr

=1-<-2.5)=1-①(-2.5)

a

=0(2.5)=0.9938

(2)

P(X<3.52)=P(土上<3-52-^)=P(土上<-1.48)

crcra

=中(—1.48)=1—①(1.48)

=1-0.9306=0.0694

(3)

,.八A—jj.X—/.i6—//,X-R

Pn(4<Xv<6)=P(———<......—<———)=P(-l<---—<1)

aaaa

=0)⑴一①(—1)=2①(1)—1

=1.6826-1=0.6826

18、解(1)X~7V(17O,5.O2),有题意知，该青年男子身高大于170cm的概率为:

P(X>170)=P^—^->I7"")

(J(J

=P(AZ2£〉。)

(T

=1-0>(0)=0.5

(2)该青年男子身高大于165cm且小于175cm的概率为：

P(165<X<175)=pJ65-〃<<175-^)=p(-l<<1)

aaaa

=①⑴一①(一1)=2①⑴-1

=1.6826—1=0.6826

(3)该青年男子身高小于172cm的概率为：

P(X<172)=P(土上<'72当=p(土上<0.4)

(T(T<7

=0)(0.4)=0.6554

20、解(1)有题意知：

P(|Z|<a)=P(—a<Z<a)=1—2P(Z>a)=a

于是P(Z2a)=^\—,(x

从而得到侧分位点。="_a)/2；

(2)

P(\Z\>b)=P(Z>或Z<b)=P(Z>b)+P(Z<b)=2P(Z>b)=a,

于是P(Z〉勿=区，

结合概率密度函数是连续的，可得到侧分点为b=za/2；

(3)

P(Z<c)=l—P(Z>c)=a

于是P(Z>c)=\-a,从而得到侧分位点为c=Zf。

22、解(1)由密度函数的性质得:

1=ff(x)dx-fa-e~x2dx-aG

J-<X>J-O0

所以a=；

V兀

(2)

p(x>；)=1-P(X<1)=1-J：'a-e^dx

令*=为,上式可写为:

114=—1

p(X>/)=l-/=fJ-2dx==1-0.761=0.2390

24、解用x,y分别表示甲、乙两厂生产的同类型产品的寿命，用z表示从这批混合产品

中随机取一件产品的寿命，则该产品寿命大于6年的概率为：

P(Z>6)=P(X>6)-P(取到甲厂的产品)+P(Y>6)-P(取到乙厂的产品)

=0.46-2+0.6/=0.2749

(2)该产品寿命大于8年的概率为：

P(Z>8)=P(X>8)•P(取到甲厂的产品)+P(Y>8)-P(取到乙厂的产品)

1一XfCO1-X

=0.4(—e3</x+0.6|—e6d

人3J86x

8_4

=0.4—+0.6”=0.1860

所求的概率为:

P(Z>8)

P(Z>8[Z>6)==0.6772。

P(Z>6)

26、解(1)这3只元件中恰好有2只寿命大于150小时的概率a为：

a=C1[P(X>150)]2P(X<150)=C^[l-P(X<150)]2P(X<150),

其中P(X<150)=f'，('0.01e-001AJx=0.7769

JO

于是«=3-ll-P(X<15O)]2P(X<150)=0.1160；

(2)这个人会再买，说明这3只元件中至少有2只寿命大于150小时，这时所求的概率夕

为：

£=C；[P(X>150)『P(X4150)+C；[P(X>150)『=0.1271。

28、解(1)由密度函数的性质可得:

1=1f(x')dx=Jc(4-x2)dx=9c

2

于是

9

(2)设x,丫的分布函数分别为：&(*),弓a),y的概率密度为人(X),有

4(x)=尸(丫Wx)=P(3X<x)=P(XWgx)=弓(；x)

那么，加元)=；吗幻/.4-/》,-3。<6

''0,其他

(3)设Z的分布函数为：E(x)»当xWO,显然£(x)=O。当x>0,有

E(x)=P(Z<x)=P(|X区x)=P(-x<X<x)=Fx(x)-Fx(-x),

—(4-X2),0<X<1

9

于是有=/(%)+/(-%)=<§(4-x)l<x<2

0,x>2

1(4-X2),0<X<1

1,

从而，Z的概率密度为：心(x)=,-(4-X2),1<X<2,

9

0,其他

Z的分布函数为:

0

2(12X-X3)/27,0<X<1

B(x)=<

(12x-?+ll)/27,l<x<2

1,x>2

30、解由题意知，X~(7(0,1))即X的概率密度为:

l,xe(O,l)

fx(x)=<

0,其他

设X,y的分布函数分别为：G(x),FY(y),其中y=X"。有

0,x<0

Fx(X)=P(X<x)=<X,XG[0,1)

l,x>1

当yKO,显然有鸟")=0。当y>0

nn

FY(y)=P(Y<y)=P(X<y)=P(,0<X<y)=P(0<X<4y)=Fx^)

1--1

那么"丫)=清"'°

o,其他

32、解由题意知，X~N(〃Q2),即X的概率密度为：

fx(x)=-j=-e，，国<+8

设X,y的分布函数分别为：Fx(x),耳(>),其中