浙江省湖州市2018-2022中考数学真题汇编-05解答题中档题

浙江省湖州市2018-2022中考数学真题汇编-05解答题中档题

一.解答题

1.（2022•湖州）已知在RtZXABC中，ZACB=90°,a,%分别表示NA,N8的对边，a

>b.记aABC的面积为S.

（1）如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC.记正方形ACDE

的面积为Si,正方形BGFC的面积为S2.

①若Si=9,52=16,求S的值；

②延长E4交GB的延长线于点N,连结FM交BC于点M,交AB于点、H.若

（如图2所示），求证：52-Si=2S.

（2）如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形ACC和等边三角形CBE,记等

边三角形ACD的面积为Si,等边三角形CBE的面积为52.以AB为边向上作等边三角

形AB尸（点C在AAB尸内），连结ERCF.若试探索S2-51与S之间的等量

关系，并说明理由.

2.（2021•湖州）为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部

组建了：A.党史宣讲；B.歌曲演唱；C.校刊编撰；D.诗歌创作等四个小组，团支

部将各组人数情况制成了统计图表（不完整）.

各组参加人数情况统计表

小组类别ABCD

人数（人）10a155

根据统计图表中的信息，解答下列问题：

（1）求”和M7的值；

（2）求扇形统计图中。所对应的圆心角度数；

（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示:

小组类别4BCD

平均用时(小时)2.5323

求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间.

各组参加人数情况的扇形统计图

3.(2021•湖州)如图，已知4B是。。的直径，NAC。是众所对的圆周角，NACO=30°.

(1)求ND48的度数；

(2)过点。作垂足为E,OE的延长线交。。于点尸.若AB=4,求。尸的长.

4.(2021•湖州)已知在△ACD中，尸是CD的中点，8是AO延长线上的一点，连结BC,

AP.

ADBADBADB

图1图2图3

(1)如图1,若NAC8=90°,ZCAD=60c,BD=AC,AP=M，求BC的长.

(2)过点。作£>E〃AC,交AP延长线于点E,如图2所示，若NCAZ)=60°,BD=AC,

求证：BC=2AP.

(3)如图3,若NCA£>=45°,是否存在实数朋，当8£>=mAC时，BC=2AP?若存在,

请直接写出力的值；若不存在，请说明理由.

5.(2021•湖州)已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=L(x>0)图象

X

上的一个动点，连结A。，AO的延长线交反比例函数丁=区(攵>0,x<0)的图象于点

B,过点A作村七,丁轴于点及

（1）如图1,过点B作BFLx轴，于点F,连接EF.

①若々=1,求证：四边形AEF。是平行四边形；

②连结BE,若k=4,求△BOE的面积.

（2）如图2,过点E作EP〃AB,交反比例函数）Ck>0,x<0）的图象于点P,连

x

结OP.试探究：对于确定的实数k,动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变

化？请说明理由.

6.（2020•湖州）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度

数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图.A3和C。是两根相同

长度的活动支撑杆，点。是它们的连接点，OA=OC,h（cm）表示熨烫台的高度.

(1)如图2-1.若AB=CO=110a〃，ZAOC=120°,求〃的值;

（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120c小时，两根支撑杆的夹

角/AOC是74°（如图2-2）.求该熨烫台支撑杆A8的长度（结果精确到

7.（2020•湖州）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共

50名工人，合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率

为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件.

（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？

（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：

方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%,乙车间维持不变.

方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变.

设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.

①求乙车间需临时招聘的工人数；

②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；

乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用考虑，应选择哪种

方案能更节省开支？请说明理由.

8.（2019•湖州）化简：（a+b）2-b（24+b）.

9.（2019•湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小

区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行

若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快

5米.设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线8-C-。分别表示甲、乙离

开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人

之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）.

根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：

（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；

（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；

（3）在图2中，画出当25WxW30时s关于x的函数的大致图象.（温馨提示：请画在

10.（2018•湖州）计算：（-6）2X（A-A）.

23

11.（2018•湖州）解不等式迎Zw2,并把它的解表示在数轴上.

2

12.（2018•湖州）已知抛物线了;小+云-3（。#0）经过点（-1,0）,（3,0）,求a,8

的值.

参考答案与试题解析

1.（2022•湖州）已知在RtZVLBC中，ZACB=90°,a,I分别表示NA,NB的对边,a

>b.记△ABC的面积为5.

（1）如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形8GFC.记正方形ACDE

的面积为Si,正方形8GFC的面积为S2.

①若Si=9,52=16,求5的值；

②延长E4交GB的延长线于点N,连结FN,交BC于点M,交AB于点H.若

（如图2所示），求证：S2-5i=2S.

（2）如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形ACC和等边三角形CBE,记等

边三角形ACD的面积为Si,等边三角形CBE的面积为52.以为边向上作等边三角

形AB尸（点C在△AB尸内），连结£尸，CF.若EFLCF,试探索S2-5i与S之间的等量

关系，并说明理由.

>•b=3f。=4,

VZACB=90°,

•••S=y=/x3X4=6;

②证明：由题意得：NFAN=/ANB=90°,

：.ZFAH+ZNAB=90°,

；FHLAB,

：.ZFAH+ZAFN=90a,

ZAFN^ZNAB,

：.XAFNsXNAB,

>FNANgpb+a__a

ANNBab

11

：.ah+l9=af

♦・2S+S1=S2f

:・S2-51=25；

(2)解：52-51=As,

4

理由：「△ABF和ACBE都是等边三角形，

：.AB=FB,CB=EB,ZABF=ZCBE=60°,

ZABF-NCBF=NCBE-NCBF,

：.NABC=NFBE,

在△ABC和△FBE中，

，AB=FB

,ZABC=ZFBE-

CB=EB

:.AABC必FBE(SAS),

：.AC=FE=b,/FE8=NAC8=90°,

ZFEC=90°-60°=30°,

,JEFICF,CE=BC=a,

；.sin/尸EC=毁，即sin30°=旦

CEa

."./>=asin30°g,

_2

S=Lb=,

24

,/AACD和△C8E都是等边三角形，

•cMcV32

•♦SlFb，S2—a，

n=M2M,2=M2-VSZV3、2=a2=1*百2

TaTaT(Ta)京a/丁a，

S2~S\—.

4

2.(2021•湖州)为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部

组建了：大党史宣讲；B.歌曲演唱；C.校刊编撰；D.诗歌创作等四个小组，团支

部将各组人数情况制成了统计图表（不完整）.

各组参加人数情况统计表

小组类别ABCD

人数(人)10a155

根据统计图表中的信息，解答下列问题:

(1)求a和机的值；

(2)求扇形统计图中。所对应的圆心角度数；

(3)若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示:

小组类别ABCD

平均用时(小时)2.5323

求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间.

各组参加人数情况的扇形统计图

【解答】解：(1)由题意可知：四个小组所有成员总人数是15・30%=50(人)，

：.a=50-10-15-5=20,

:机％=10+50X100%=20%,

tn—2.0i

(2)V54-50X360°=36°,

扇形统计图中。所对应的圆心角度数为36°：

(3)Vx=—X(10X2.5+20X3+15X2+5X3)=2.6(小时)，

50

这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6小时.

3.(2021•湖州)如图，已知48是。。的直径，是众所对的圆周角，/ACC=30°.

(1)求ND48的度数；

(2)过点。作。E_L4B,垂足为E,OE的延长线交于点凡若AB=4,求。尸的长.

【解答】解：(1)如图，连接8。,

VZACD=30°,

.•.NB=/ACD=30°,

是。。的直径,

:.NADB=90°，

...NQAB=90°-ZB=60°；

(2)•.,NADB=90°,ZB=30°,AB=4,

：.AD=^AB=2,

2

VZDAB=60°,OE_LAB,且48是直径，

：.EF=DE=ADsin60°=愿，

：.DF=2DE=2y/3.

4.(2021•湖州)已知在△AC。中，P是CD的中点，8是A。延长线上的一点，连结8C,

AP.

(1)如图1,若NAC8=90°,NCAO=60°,BD=AC,AP=43,求BC的长.

(2)过点。作QE〃AC,交AP延长线于点E,如图2所示，若NCA£>=60°,BD=AC,

求证：BC—2AP.

(3)如图3,若/C4£>=45°,是否存在实数m,当80=%4c时，BC=2AP2若存在,

请直接写出，〃的值；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)；NACB=90°,ZCAD=60°,

小丸轩=2AC>

9：BD=AC,

：.AD=AC,

.•.△A£>C是等边三角形，

AZACD=60°,

是CD的中点，

：.AP1CD,

在RtZ\APC中，AP=M，

ABC=ACXtan60°=273.

(2)证明：连接BE,

图2

,JDE//AC,

：.4CAP=ZDEP,

在AC必和△£)2£■中

rZCAP=ZDEP

<ZCPA=ZEPD>

CP=DP

：./\CPA^/\DPE(A4S),

：.AP=EP=^Lp£,DE=AC,

"：BD=AC,

：.BD=DE,

又，：DE"AC,

：.NBDE=NCAD=60°,

.♦.△BOE是等边三角形，

：.BD=BE,NEBD=60°,

\'BD=AC,

：.AC=BE,

在△CAB和△EBA中

"AC=BE

<ZCAB=ZEBA>

AB=BA

：./\CAB^/\EBA(SAS),

：.AE=BC,

：.BC=2AP,

(3)存在这样的，"，，"=&.

理由如下：作£>E〃AC交A尸延长线于E,连接BE,

由(2)同理可得£)E=4C,NEDB=NCAD=45°,AE=2AP,

当BD=&AC时，

.-.BD=V2DE-

作BFLDE于F,

VZEDB=45°,

.,.BD=V2DF)

：.DE=DF,

.,.点E,尸重合,

；.NBED=90°,

：.ZEBD=ZEDB=45°,

：.BE=DE=AC,

同(2)可证：△CAB丝/XEBA(SAS),

：.BC=AE=2AP,

存在机=&,使得BC=2AP,

图3

5.（2021•湖州）已知在平面直角坐标系x。），中，点A是反比例函数>=工（x>0）图象

X

上的一个动点，连结AO,AO的延长线交反比例函数丫=区（k>0,x<0）的图象于点

B,过点A作AELy轴于点E.

①若％=1,求证：四边形AEF。是平行四边形；

②连结BE,若k=4,求△BOE的面积.

（2）如图2,过点E作EP〃AB,交反比例函数y=K（k>0,x<0）的图象于点P,连

x

结OP.试探究：对于确定的实数%,动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变

化？请说明理由.

【解答】（1）①证明：设点4的坐标为（。，1）,则当点火=1时，点B的坐标为（-a,

a

-1）,

a

：.AE=OF=a,

•.,AE_Ly轴，

：.AE//OF,

四边形AEFO是平行四边形；

②解：过点8作BOLy轴于点O,如图1,

图1

；AE_Ly轴，

：.AE//BD,

：.△AEOsABDO,

.SAAEOA0、2

••--------IZ---j,

^ABDOBO

2

当左=4时,2=（也）2,

即也」，

BO2

:•S&BOE=2SMOE=1；

（2）不改变.

理由如下：

过点P作轴于点从PE与x轴交于点G,

图2

设点4的坐标为(a,1)，点尸的坐标为(b,K),

ab

则AE=a,OE=JL,PH=-K,

ab

・・•四边形AEGO是平行四边形，

:・/EAO=/EGO,AE=OG,

■:/EGO=/PGH,

：.ZEAO=ZPGHf

又•：NPHG=NAEO,

：.XAEOsAGHP,

・AEEO

**GH=PH，

■:GH=OH-OG=-b-a,

工

.aa

••—■,

-b-a上

T

A（A）2+b__A;=0）

aa

解得且「1士行猿,

a2

•：a,b异号,k>Of

•b-171+4k

,•---=-----------------，

a2____

x4k

，S*OE=LXOEX（-6）=J^x—（-b）=_Lx/=lWl+，

22a2a4

,对于确定的实数4,动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化.

6.（2020•湖州）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度

数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图.AB和CO是两根相同

长度的活动支撑杆，点。是它们的连接点，OA=OC,〃（cm）表示熨烫台的高度.

（1）如图2-1.若A8=CD=110“"，NAOC=120°,求〃的值；

（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120c7〃时，两根支撑杆的夹

角NAOC是74°（如图2-2）.求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）.

（参考数据：sin37°弋0.6,cos370弋0.8,sin53°弋0.8,cos53°弋0.6）

DB

图2-1图2-2

图1图2

【解答】解：(1)过点8作BELAC于E,

'：OA=OC,/AOC=120°,

.•.NOAC=NCCA=」8。二"Ci二=30。,

2

，/7=BE=AB・sin3O°=110xA=55(c/n)；

2

(2)过点B作8E_LAC于E,

'：OA=OC,NAOC=74°,

NO4C=NOC4=侬■_114_=53°,

2

.,.AB=BE+sin53°«1204-0.8=150(cm),

即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150c九

图2

7.(2020•湖州)某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共

50名工人，合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率

为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件.

(1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？

(2)为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：

方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%,乙车间维持不变.

方案二乙车间再临时招聘若干名工人(工作效率与原工人相同)，甲车间维持不变.

设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.

①求乙车间需临时招聘的工人数；

②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；

乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用考虑，应选择哪种

方案能更节省开支？请说明理由.

【解答】解：(1)设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，由题意

得：

(x+y=50

I20(25x+30y)=27000)

解得卜=30.

ly=20

.•.甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产.

(2)①设方案二中乙车间需临时招聘机名工人，由题意得：

_________27000_________27000

30X25X(1+20%)+20X3030X25+(20+m)X30'

解得m=5.

经检验，，"=5是原方程的解，且符合题意.

，乙车间需临时招聘5名工人.

②企业完成生产任务所需的时间为：

__________27000=18(天).

30X25X(1+20%)+20X30

选择方案一需增加的费用为900X18+1500=17700（元）.

选择方案二需增加的费用为5X18X200=18000（元）.

V17700<18000,

二选择方案一能更节省开支.

8.（2019•湖州）化简:（a+b）2-b（2a+i>）.

【解答】解：原式/

—a1.

9.（2019•湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小

区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行

若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快

5米.设甲步行的时间为x（分），图1中线段04和折线B-C-O分别表示甲、乙离

开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人

之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）.

根据