陕西卷01-2021年中考数学（陕西专用）（解析版）

陕西卷01—2021年《三步冲刺中考数学》之第3步中考热身卷

选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)

1.下列四个数中，是负数的是()

A.|-2|B.(-2)2C.-(-2)D.--2：

【分析】先化简，再利用负数的意义判定.

【解析】解：A、|-2|=2,是正数；

B、(-2)-4,是正数；

C、-(-2)=2,是正数；

D、--2|=-2,是负数.

故选：I).

【点评】此题考查绝对值、相反数以、乘方以及负数的意义等基础知识.

2.如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是()

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

【解析】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意,

故选：D.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图.

3.下列各运算中，计算正确的是()

A.ai2+a3=a"B.(3a2)3=9a6

C.(a-b)'=a2-ab+b2D.2a•3a=6a，

【分析】各项计算得到结果，即可作出判断.

【解析】解：A、原式=a“，不符合题意；

1

B、原式=27a‘，不符合题意；

C、原式=a2-2ab+b上,不符合题意;

D、原式=6a「，符合题意.

故选：D.

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

4.如图，若13〃1”则图中与N1互补的角有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】直接利用平行线的性质得出相等的角以及互补的角进而得出答案.

【解析】解：..T/k,h〃L,

.•.Nl+N2=180°,2=N4,

VZ4=Z5,Z2=Z3,

图中与/I互补的角有：Z2,Z3,Z4,N5共4个.

故选：D.

【点评】此题主要考查了平行线的性质，注意不要漏角是解题关键.

5.已知点M(n,-n)在第二象限，过点M的直线y=kx+b(0<k<l)分别交x轴、y轴于点A,B,过

点M作MNJ_x轴于点N,则下列点在线段AN的是()

3

A.((k-1)n,0)B.((k+—)n,0))

2

C.(-k+2—,0)D.((k+1)n,0)

k

【分析】过M作MC，y轴于C,依据过点M的直线y=kx+b(OVkVl)分别交x轴、y轴于点A,B,求得B

2

(0,-n(1+k)),A(n(—+1),0),最后根据n(—+1)<n(1+k)<n,即可得到点((k+1)

kk

n,0)在线段AN上.

【解析】解：如图所示，过M作MCJ_y轴于C,

VM(n,-n),MN，x轴于点N,

AC(0,-n),N(n,0),

把M(n,-n)代入直线丫=1^+>可得b=-n-kn,

.\y=kx-n(1+k),

令x=0,则y=-n(1+k),即B(0,-n(1+k)),

-n(1+k)>-n,

.'.n(1+k)<n,

令y=0,贝！J0=kx・n(1+k),

解得x=n(l+k)=n(1+1),即A(n(g+1),0),

kkk

V0<k<l,n<0,

.*.n(/+1)<n(1+k)<n,

...点((k+1)n,0)在线段AN上.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题时注意：次

函数y=kx+b,（kWO,且k,b为常数）的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-?，0）；与y轴

k

的交点坐标是（0,b）.

6.如图，在AABC中，ZABC=ZACB=60°,NABC与NACB的平分线交于点0,过点0且平行于BC的直

线交AB于点M,交AC于N,连接A0,则图中等腰三角形的个数为（）

3

7?*-----------------------f

A.5B.6C.7D.8

【分析】先由已知运用角平分线、平行线的性质以及三角形全等找出相等的角，再根据等角对等边找出等

腰三角形.

【解析】解：:△ABC为等边三角形，/ABC、NACB的平分线相交于点0,

/.ZAB0=Z0BC=ZBC0=Z0CA=30°,

...△OBC是等腰三角形，

VMN//BC,

/.ZB0M=Z0BC=30o,ZN0C=ZBC0=30°,ZAMN=ZABC=60°,ZANM=ZACB=60°,

.♦.△BOM、△CON是等腰三角形，Z\AMN

在aAOB和△AOC中

'AB=AC

'0A=0A，

OB=OC

.,.△AOB^AAOC(SSS),

.".Z0AM=Z0AN=30°,

...△AOB、△AOC是等腰三角形，

所以共有△(»(：、△BOM、△CON、△AOB、AAOC,AABC,ZkAMN共7个等腰三角形.

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形；找出相等的角是解析本题

的关键.

7.当k<0时，一次函数丫=1«+1<的图象经过()

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限

【分析】根据一次函数的性质即可判断；

【解析】解：*.*y=kx+k,k<0,

直线从左到右是下降的，交y轴于负半轴,

.•.直线经过第二、三、四象限，

4

故选：D.

【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是记住：k>0,y随x的增大而增大，函数从左到右上升；

k<0,y随x的增大而减小，函数从左到右下降.由于y=kx+b与y轴交于（0,b）,当b>0时，（0,b）

在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，（0,b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半

轴.

8.已知。ABCD的周长是22,ZXABC的周长是17,则AC的长为（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】由DABCD的周长是22,AABC的周长是17,根据平行四边形的性质，可得AB+BC=11,AB+BC+AC

=17,继而求得答案.

【解析】解：•••□ABCD的周长是22,ZsABC的周长是17,

...AB+BC=11,AB+BC+AC=17,

.*.AC=17-11=6,

故选：B.

【点评】此题考查了平行四边形的性质.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用.

9.如图，B、C是。A上的两点，AB的垂直平分线与。A交于E、F两点，与线段AC交于D点.若/BFC=

20°,则NDBC=（）

A.30°B.29°C.28°D.20°

【分析】利用圆周角定理得到NBAC=40°,根据线段垂直平分线的性质推知AD=BD,然后结合等腰三角形

的性质来求/ABD、/ABC的度数，从而得到/DBC.

【解析】解：VZBFC=20°,

.,.ZBAC=2ZBFC=40°,

VAB=AC,

5

又EF是线段AB的垂直平分线，

；.AD=BD,

.•.ZA=ZABD=40°,

ZDBC=ZABC-ZABD=70°-40°=30°.

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质.注意掌握数形结合思想的应用.

10.抛物线y=-3x2-1是由抛物线y=-3(x+1)2+1怎样平移得到的()

A.左移1个单位上移2个单位

B.右移1个单位上移2个单位

C.左移1个单位下移2个单位

D.右移1个单位下移2个单位

【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可.

【解析】解：由抛物线y=-3(x+1)右移1个单位下移2个单位得到抛物线y=-3x「-1.

故选：D.

【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减.

二.填空题(共4小题，满分12分，每小题3分)

11.因式分解：a*-a『=.

【分析】观察原式a-ab?,找到公因式a,提出公因式后发现b?是平方差公式，利用平方差公式继续分

解可得.

【解析】解：a-ab2=a(a~-b")—a(a+b)(a-b).

【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式.

本题考点：因式分解(提取公因式法、应用公式法).

12.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分.

A：如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则NBAD=.

6

B：用科学计算器计算：板+3tan56°-.（结果精确到0.01）

【分析】A、利用正五边形的性质计算得出NEAD的度数，进而得出NBAD的度数；

B、直接利用计算器输入计算即可.

【解析】解：A、正五边形每个内角的度数=-（5-2）I?。二=108。，

5

VAE=DE,

.\ZEAD=ZEDA=i（1800-ZE）=—（180°-108°）=36°,

22

...NBAD=108°-36°=72°,

故答案为：72。.

B、J^+3tan56°—10.02.

故答案为：10.02.

【点评】此题主要考查了正多边形的性质以及计算器用法，正确掌握计算器使用方法是解题关键.

13.在反比例函数丫=型工（xVO）中，函数值y随着x的增大而减小，则m的取值范围是.

X

【分析】根据反比例函数的性质，构建不等式即可解决问题.

【解析】解：•.•反比例函数y=空支（x<0）中，函数值y随着x的增大而减小，

x

-1>0,

故答案为m>l.

【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属

于中考常考题型.

14.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落

在矩形ABCD的边CD上，连接CF,则CF的长是.

7

【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得BG=AB=5,GF=AD=3,由勾股定理可求CG-4,由余角的性质

可得NGBC=NCGF,由锐角三角函数可求GM=2,由勾股定理可求FM和CF的值.

5

【解析】解：如图，设点A落在矩形ABCD的边CD上于点G,过点F作FM_LCD于点M,

•.•四边形ABCD是矩形

.*.AB=CD=5,ZC=90°,AD=BC=3,

:旋转

.•.BG=AB=5,GF=AD=3,

在RtZXBCG中，CG=^BG2_BC2=4

VZBCG+ZFGC=90°,ZGBC+ZBCG=90°,

.\ZGBC=ZCGF

.•.cosZGBC=cosZFGC=BC

CGGF

.3_GM

'后行

9

5

•,.CM=CG-611=当MF=7GF2-CM2=^

OD

CF=VCM2+CF2=2^W

D

8

故答案为：返医

5

【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

三.解析题（共11小题，满分78分）

15.计算：-2,（n-3.14）°+y-|1-我|

【分析】原式利用零指数累，乘方的意义，平方根、立方根，以及绝对值的代数意义计算即可求出值.

【解析】解：原式=-4+1+3-1=-1.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，并利用除法法则变形，约分即可得到结

X2-2X+1,x-1

【解析】解：原式=

3(x-2)x-23(x-2)(x-1)23(x-l)

【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

17.如图，已知00,用尺规作00的内接正四边形ABCD.（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作

图痕迹用黑色签字笔描黑）

【分析】画圆的一条直径AC,作这条直径的中垂线交③。于点BD,连结ABCD就是圆内接正四边形ABCD.

【解析】解：如图所示，四边形ABCD即为所求：

【点评】本题考查的是复杂作图和正多边形和圆的知识，掌握中心角相等且都相等90。的四边形是正四边

形以及线段垂直平分线的作法是解题的关键.

18.某校为了调查八年级学生参加“乒乓”、“篮球”、“足球”、“排球”四项体育活动的人数，学校

从八年级随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如下不完整的统计表、统计图：

9

类别频数（人数）频率

乒乓a0.3

篮球20

足球15b

排球

合计C1

请你根据以上信息解析下列各题：

（1）a=；b=；c=；

（2）在扇形统计图中，排球所对应的圆心角是度；

（3）若该校八年级共有600名学生，试估计该校八年级喜欢足球的人数？.

【分析】（1）先根据篮球的人数及其所占百分比求得总人数，即c的值，再根据频率=频数+总人数分别

求得a,b的值；

（2）用360。乘以排球所对应的频率即可得；

（3）用总人数乘以样本中喜欢足球对应的频率即可得.

【解析】解：（1）•.•被调查的总人数c=20+20%=100（人），

.*.a=100X0.3=30,b=154-100=0.15,

故答案为:30,0.15,100；

（2）在扇形统计图中，排球所对应的圆心角是360°X（1-0.3-0.2-0.15）=126°,

故答案为：126；

（3）估计该校八年级喜欢足球的人数为600X0.15=90（人）.

【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表、样本估计总体等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型

10

19.如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF.连接AF、CE交于点G.求证：点

G在BD上.

【分析】欲证明点G在BD上.只要证明/ABG=NCBG即可.

【解析】证明：♦・•四边形ABCD是菱形，

，DA=DC=AB=BC

VAE=CF,

/.DE=DF,

ZADF=ZCDE,

AAADF^ACDE(SAS),

,ZDAF=ZDCG,ZAFD=ZCED,

AZAEG=ZCFG,

VAE=CF,ZEAG=ZFCG,

/.△EAG^AFCG(ASA),

AAG=CG,

VBA=BC,BG-=BG,AG=CG,

/.△BGA^ABGC(SSS),

AZABG=ZCBG,

・••点G在对角线BD上.

【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决

问题，属于中考常考题型.

20.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD,BC=20cm,BC、EF平行于

地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm.为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm,那么横梁EF

应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计).

11

BC

【分析】根据等腰梯形的性质，可得AH=DG,EM=NF,先求出AH、GD的长度，再由△BEMs^BAH,可得出

EM,继而得出EF的长度.

【解析】解：过点B作BH_LAD于点H,交EF于点M,过点C作CG_LAD于点G,交EF于点N,

由题意得，MH=8cm,BH=40cm,则BM=32cm,

,四边形ABCD是等腰梯形，AD=50cm,BC=20cm,

.\AH=—（AD-BC）=15cm.

2

；EF〃AD,

AABEM^ABAH,

.EM_BM即EM32

AHBH1540

解得：EM=12,

故EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm.

【点评】本题考查了相似三角形的应用及等腰梯形的性质，解析本题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质，

这些是需要我们熟练记忆的内容.

21.“震灾无情人有情“，玉树地震牵动了全国人民的心，武警某部队接到命令，运送一批救灾物资到灾

区，货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶,前往与A处相距360千米的灾区B处.下

表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间关系：

行驶时间X01234

（小时）

余油量y150120906030

12

（升）

（1）请你用学过的函数中的一种建立X与y之间的函数关系式，说明选择这种函数的理由；（不要求写

出自变量的取值范围）

（2）如果货车的行驶速度和每小时的耗油量不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D

处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达灾区B处卸去货物后能顺利返回D处加油？

（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内余油量应随时不少于10升）

【分析】（1）设x与y之间的函数关系式为y=kx+b,将点（0,150）和（1,120）代入求k和b值；

（2）利用路程关系建立在D处加油的一元一次不等式，求在D处至少加油量.

【解析】解：（1）把5组数据在直角坐标系中描出来，这5个点在一条直线上，所以y与x满足一次函数

关系（2分）

设y=kx+b,（kWO）

则［150=b（］分）

ll20=k+b

解得：产150

lk=-30

，y=-30x+150（1分）

（2）设在D处至少加W升油，根据题意得:

⑸7X3。者X30+陵笆甯/

X30X2+10

即：150-120-6+W>118

解得W294（2分）

答：D处至少加94升油，才能使货车到达灾区B地卸物后能顺利返回D处加油（1分）

【点评】解析一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义.

13

22.袋中有一个红球和两个自球，它们除颜色外其余都相同，任意摸出一球，记下球的颜色，放回袋中,

搅匀后再任意摸出一球，记下它的颜色.

（1）请把树状图填写完整.

（2）根据树状图求出两次都摸到白球的概率.

开始

红白白

【分析】（1）利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，

（2）找出两次都是白球的结果数，然后根据概率公式求解.

【解析】解：（1）画树状图为：

红白白

<^白白

（2）由树状图知，共有9种等可能的结果数，其中两次都摸到白球的结果数为4,

所以两次都摸到白球的概率=£

9

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合

事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.

23.如图，AB为。0直径，C为。0上一点，点D是标的中点，DEJ_AC于EDF±AB于F.

（1）判断DE与。0的位置关系，并证明你的结论；

（2）若0F=4,求AC的长度.

二

【分析】（1）先连接0D、AD,根据点D是黄的中点，得出NDA0=NDAC,进而根据内错角相等，判定0D

〃AE,最后根据DEJ_OD,得出DE与。0相切;

14

(2)先连接BC交0D于H,延长DF交。。于G,根据垂径定理推导可得0H=0F=4,再根据AB是直径，

推出0H是AABC的中位线，进而得到AC的长是0H长的2倍.本题也可以过0作OM_LAC于M,根据全等

三角形的性质以及垂径定理进行求解.

【解析】解：(1)DE与。0相切.

证明：连接OD、AD,

•・•点I)是前的中点，

・・BD=CD^

AZDAO=ZDAC,

VOA=OD,

AZDA0=Z0DA,

.'.ZDAC=Z0DA,

AOD//AE,

VDEIAC,

ADE1OD,

・・・DE与。0相切.

(2)解法1：连接BC交OD于H,延长DF交。。于G,

由垂径定理可得：OI1±BC,BG—DC,

・・DG=BG

ADG=BC,

・•・弦心距0H=0F=4,

■AB是直径,

ABC±AC,

又,.,OH〃AC,

・・・0H是AABC的中位线，

AAC=2OH=8.

解法2：如图，过0作OMLAC于M,则四边形DOME是矩形，

AZD0M=90°,

XVDFXAB,

AZFD0+ZF0D=ZM0A+ZF0D=90°,

.,.ZFD0=ZM0A,

15

在△FDO和AMOA中，

'NDFO=NOMA=90°

<ZFDO=ZMOA，

DO=OA

.,.△FDO^AMOA(AAS),

；.AM=OF=4,

XVOM1AC,

.*.AC=2AM=8.

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系以及垂径定理的运用，在判定一条直线为圆的切线时，当已

知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线.本题

也可以根据aODF与aABC相似，求得AC的长.

24.如图所示，已知抛物线y=ax?(aWO)与一次函数y=kx+b的图象相交于A(-1,-1),B(2,-4)

两点，点P是抛物线上不与A,B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点.

(1)请直接写出a,k,b的值及关于x的不等式ax2<kx-2的解集；

(2)当点P在直线AB上方时，请求出4PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；

(3)是否存在以P,Q,A,B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P,Q的坐标；若不存

在，请说明理由.

16

【分析】(1)根据待定系数法得出a,k,b的值，进而得出不等式的解集即可；

(2)过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C,连接PC.根据三角形的面积公式

解析即可；

(3)根据平行四边形的性质和坐标特点解析即可.

【解析】解：(1)把A(-l,-1),代入y=ax?中，可得：a=-1,

f-k+b=-l

把A(-l,-1),B(2,-4)代入y=kx+b中，可得

l2k+b=-4，

fk=-l

解得：，，

b=-2

所以a=-l,k=-1,b=-2,

关于x的不等式ax2<kx-2的解集是xV-1或x>2,

(2)过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点c.

'.'A(-1,-1),B(2,-4),

AC(-1,-4),AC=BC=3,

设点P的横坐标为m,则点P的纵坐标为-mt

过点P作PDJ_AC于D,作PEJ_BC于E.则D(-L-m-),E(m,-4),

.\PD=m+l,PE=-m2+4.

S./SAPB=SAAI>C+SZSBPC-SAABC

=yAC-PD+yBC'PE^-AC-BC

17

=_^X3(nH-l)+-^-X3(-in2+4)-^-X3X3

-32q

一丁3.

2

3V1

V-4<0,nfz------l<m<2,

22X(-1)2

...当S&WB的值最大.

•••当-24-s-fw2

m3=3率O

即APAB面积的最大值为3-1(此时点P的坐标为十

(3)存在三组符合条件的点,

当以P,Q,A,B为顶点的四边形是平行四边形时,

VAP=BQ,AQ=BP,A(-1,-1),B(2,-4),

可得坐标如下：

①P'的横坐标为-3,代入二次函数表达式，

解得：P'(-3,-9),Q'(0,-12)；

②P"的横坐标为3,代入二次函数表达式，

解得：P"(3,-9),Q”(0,-6)；

③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，

解得：P(1,-1),Q(0,-4).

故：P的坐标为(-3,-9)或(3,-9)或(1,-1),

18

Q的坐标为：Q（0,-12）或（0,-6）或（0,-4）.

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的

思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

25.【提出问题】

（1）如图（1）AABC是等边三角形，AB=12.若点0是AABC的内心，则0A的长为；

【问题探究】

（2）如图（2）在矩形ABCD中，AB=12,AD=18,如果点P是AD上的一点，且AP=3,那么在BC边上

是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在求出PQ的长，若不存在，请说明理由；

【解决问题】

（3）东胜区铁西街角有一块如图（3）的草坪，草坪是由aABM和弦AB与其所对的劣弧组成，管理员王

师傅在M处的水管上安装一个喷灌水龙头（水龙头及水柱高度忽略不计），以后只用水龙头浇灌草坪，

于是他想让水龙头的转角正好等于NAMB,再调整水龙头的射程就可以了.经测量AB=24m,

△ABM的面积是96平方米，过弦AB中点D做DELAB交弧AB于点E,DE=8m.请你根据以上信息帮助王

师傅计算喷灌水龙头的射程至少多少m时才能全部浇灌？（结果保留根号即可）

【分析】（1）构建RtZXAOD中，利用cos/0AD=cos30°=黑，可得0A的长；

0A

（2）经过矩形对角线交点的直线将矩形面积平分，根据此结论作出PQ,利川勾股定理进行计算即可；

（3）如图3,作辅助线，先确定圆心和半径，根据勾股定理计算半径：在RtaAOD中，r2=122+（r-8）

\解得：r=13根据三角