人教版七年级上册第四章：几何图形动点问题压轴题总结

初中数学**精品文档**PAGEPAGE1经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯动点问题压轴大题一、线段上的动点问题1．(1)如图①，D是线段AB上任意一点，M，N分别是AD，DB的中点，若AB＝16，求MN的长．(2)如图②，AB＝16，点D是线段AB上一动点，M，N分别是AD，DB的中点，能否求出线段MN的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由．(3)如图③，AB＝16，点D运动到线段AB的延长线上，其他条件不变，能否求出线段MN的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由．(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？2．如图，已知数轴上A，B两点对应的数分别为－2，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x.(1)PA＝______，PB＝______(用含x的式子表示)．(2)在数轴上是否存在点P，使PA＋PB＝10？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．(3)点P以1个单位长度/s的速度从点O向右运动，同时点A以5个单位长度/s的速度向左运动，点B以20个单位长度/s的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是AP，OB的中点，问：eq\f(AB－OP,MN)的值是否发生变化？请说明理由．3．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．(1)当PB＝2AM时，求x的值．(2)当P在线段AB上运动时，试说明2BM－BP为定值．(3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA＋PN的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值．

4、如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14.动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为ts(已知O为原点，以向右为正)．(1)写出数轴上点B表示的数___，点P表示的数____(用含t的代数式表示)；(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q?(3)若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明变化规律；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；(4)若D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x＋6|＋|x－8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，请说明理由．5、定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB=1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE=15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB=15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．二、角动的问题1、如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板(∠M＝30°)的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．(1)将图①中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图②，经过ts后，OM恰好平分∠BOC.①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；(2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图③，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由；(3)在(2)问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．2、如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.(1)若∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，求∠EOF的度数？(2)若∠AOB＝α，求∠EOF的度数(用含α的式子表示)；(3)若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”改为“∠EOB＝eq\f(1,3)∠COB，∠COF＝eq\f(2,3)∠COA，且∠AOB＝α，求∠EOF的度数(用含α的式子表示)．3、如图，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；（2）若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）在（1）的条件下，∠BOC的内部有一射线OG，射线OG将∠BOC分为1：4两部分，求∠DOG的度数．一副三角板ABC、DEF，如图（1）放置，（∠D=30°、∠BAC=45°）（1）求∠DBA的度数．（2）若三角板DBE绕B点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM、BN分别平分∠DBA、∠EBC，则∠MBN如何变化？（3）若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？答案线段上的动点问题1．解：(1)MN＝DM＋DN＝eq\f(1,2)AD＋eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)(AD＋BD)＝eq\f(1,2)AB＝8.(2)能．MN＝DM＋DN＝eq\f(1,2)AD＋eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)(AD＋BD)＝eq\f(1,2)AB＝8.(3)能．MN＝MD－DN＝eq\f(1,2)AD－eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)(AD－BD)＝eq\f(1,2)AB＝8.(4)若点D在线段AB所在直线上，点M，N分别是AD，DB的中点，则MN＝eq\f(1,2)AB.2．解：(1)|x＋2|；|x－6|(2)分三种情况：①当点P在A，B之间时，PA＋PB＝8，故舍去；②当点P在B点右边时，PA＝x＋2，PB＝x－6，因为(x＋2)＋(x－6)＝10，所以x＝7；③当点P在A点左边时，PA＝－x－2，PB＝6－x，因为(－x－2)＋(6－x)＝10，所以x＝－3.综上，当x＝－3或7时，PA＋PB＝10.(3)eq\f(AB－OP,MN)的值不发生变化．理由如下：设运动时间为ts，则OP＝t，OA＝5t＋2，OB＝20t＋6，AB＝OA＋OB＝25t＋8，AB－OP＝24t＋8，AP＝OA＋OP＝6t＋2，AM＝eq\f(1,2)AP＝3t＋1，OM＝OA－AM＝5t＋2－(3t＋1)＝2t＋1，ON＝eq\f(1,2)OB＝10t＋3，所以MN＝OM＋ON＝12t＋4.所以eq\f(AB－OP,MN)＝eq\f(24t＋8,12t＋4)＝2.3．解：(1)当点P在点B左边时，PA＝2x，PB＝24－2x，AM＝x，所以24－2x＝2x，即x＝6；当点P在点B右边时，PA＝2x，PB＝2x－24，AM＝x，所以2x－24＝2x，方程无解．综上可得，x的值为6.(2)当P在线段AB上运动时，BM＝24－x，BP＝24－2x，所以2BM－BP＝2(24－x)－(24－2x)＝24，即2BM－BP为定值．(3)①正确．当P在AB延长线上运动时，PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x－24，PN＝eq\f(1,2)PB＝x－12，所以①MN＝PM－PN＝x－(x－12)＝12.所以MN长度不变，为定值12.②MA＋PN＝x＋x－12＝2x－12，所以MA＋PN的值是变化的．4、（1）-6；8-5t(2)点Q表示的数为－6－3t，当点P追上点Q时，8－5t＝－6－3t，解得t＝7，∴点P运动7s时追上点Q；(3)没有变化．分两种情况．①当点P在A，B两点之间运动时(如答图①)：变形4答图①MN＝MP＋NP＝eq\f(1,2)AP＋eq\f(1,2)BP＝eq\f(1,2)(AP＋BP)＝eq\f(1,2)AB＝7；②当点P运动到点B的左侧时(如答图②)：变形4答图②MN＝MP－NP＝eq\f(1,2)AP－eq\f(1,2)BP＝eq\f(1,2)(AP－BP)＝eq\f(1,2)AB＝7.综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7；(4)式子|x＋6|＋|x－8|有最小值，最小值为14.提示：当x＞8时，原式＝2x－2＞14，当x＜－6时，原式＝2－2x＞14，当－6≤x≤8时，原式＝x＋6－x＋8＝14，∴|x＋6|＋|x－8|有最小值14.也可通过数形结合，求D到A，B距离之和的最小值来解．5、解：（1）当DP＝2PE时，DP＝DE＝10cm；当2DP＝PE时，DP＝DE＝5cm．综上所述：DP的长为5cm或10cm．（2）①根据题意得：（1+2）t＝15，解得：t＝5．答：当t＝5秒时，点P与点Q重合．②（I）点P、Q重合前：当2AP＝PQ时，有t+2t+2t＝15，解得：t＝3；当AP＝2PQ时，有t+t+2t＝15，解得：t＝3.75；（II）点P、Q重合后，当AP＝2PQ时，有t＝2（t﹣5），解得：t＝10；当2AP＝PQ时，有2t＝（t﹣5），解得：t＝﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t＝3秒、3.75秒或10秒时，点P是线段AQ的三等分点．角动的问题1、解：（1）①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，∵∠AOC=30°，∴∠BOC=2∠COM=150°，∴∠COM=75°，∴∠CON=15°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，解得：t=15°÷3°=5秒；②是，理由如下：∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC；（2）15秒时OC平分∠MON，理由如下：∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，∵∠MON=90°，∴∠CON=∠COM=45°，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∵∠AOC﹣∠AON=45°，可得：6t﹣3t=15°，解得：t=5秒；（3）OC平分∠MOB∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∴∠COM为（90°﹣3t），∵∠BOM+∠AON=90°，可得：180°﹣（30°+6t）=（90°﹣3t），解得：t=23.3秒；2、(1)∵OF平分∠AOC，∴∠COF＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)×30°＝15°，∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝120°－30°＝90°，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝eq\f(1,2)∠BOC＝45°，∴∠EOF＝∠COF＋∠EOC＝60°；(2)∵OF平分∠AOC，∴∠COF＝eq\f(1,2)∠AOC