工程力学课堂教学软件教师版内力分析

第二篇弹性静力学(一)工程力学(I)清华大学范钦珊2024年2月1日返回主目录第6章

杆件的内力分析杆件的内力分析第6章

引言

平衡微分方程

内力图

结论与讨论

引言

引言(Introduction)

1.内力(InternalForces)2.内力主矢与内力主矩(ResultantForceandResultantMoment)3.内力分量(ComponentsoftheInternalForces)4.内力的正负号规则(SignRuleofInternalForces)1.内力(InternalForces)

弹性体受力后，由于变形，其内部各点均会发生相对位移，因而产生相互作用力。

引言F1FnF3F2内力

弹性体内力的特征:

(1)连续分布力系

(2)与外力组成平衡力系(特殊情形下内力 本身形成自相平衡力系)

引言F1FnF3F2内力2.

内力主矢与内力主矩(ResultantForceandResultantMoment)

F1FRF3MF1FnF3F2

引言内力主矢与内力主矩3.内力分量(ComponentsoftheInternalForces)

在确定的坐标系中,轴力、剪力、扭矩、弯矩及其可能产生的变形效应。FRFNFQMMBMx

引言内力分量4.

内力的正负号规则(SignRuleofInternalForces)

同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。FQFQFNFN

引言内力的正负号FNFNFQFQ

引言内力的正负号

平衡微分方程

平衡微分方程(DifferentialEquationoftheEquilibrium)

1.叠加原理

2.总体平衡与局部平衡的概念

3.内力与外力的相依关系

4.平衡微分方程1.叠加原理

在一定条件下，杆件所有内力分量作用的效果，可以视为各个内力分量单独作用效果的叠加。通常可归结为三组平面内内力分量与外力：

yxzFP1

FP2FRMMzMyMxFQyFQzFNFQ

平衡微分方程叠加原理yxzFQyFNMzyxz

Mxyxz

FQzFNMyxy平面xz平面yz平面xy平面和xz平面的作用效果是相似的。叠加原理

平衡微分方程FQ2.总体平衡与局部平衡的概念

刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。

平衡微分方程平衡概念3.内力与外力的相依关系

某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；

在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；

平衡微分方程内力与外力关系

杆件各截面上内力变化规律随着外力的变化而改变。

平衡微分方程内力与外力关系结论

控制面的概念：外力规律发生变化截面—集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。内力与外力关系

平衡微分方程4.平衡微分方程

考察dx

微段的受力与平衡FQ+dFQFQ

平衡微分方程

ΣFy=0:

FQy+qdx-FQy+dFQy=0

略去高阶项，得到ΣMc=0:-Mz+(Mz+dMz)-FQy

dx-

qdx.dx/2=0

FQ+dFQFQ

平衡微分方程

类似地在xz平面内，也可以得到类似的表达式，只是下标有所不同。dx

dMz

=FQy

平衡微分方程

=qdxdFQyFQy

+dFQyFQyd2Mzdx2=q不失一般性，略去下标，写成2dd

dd

ddFQxqMxFQMxq===;;2

此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。

平衡微分方程

根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ

、M

的变化规律。

内力图

内力图(theInternalForceDiagram)

1.剪力图和弯矩图2.刚架的内力图3.杆件在复杂载荷作用下的内力图

1.剪力图和弯矩图

根据平衡，可以确定控制面上

FQ、M数值,确定函数变化区间；

根据平衡微分方程可以确定FQ

、

M的变化图形。

内力图FQ、M图

（1）建立FQ-x、M-x

坐标系；（2）确定控制面及其上之FQ

、M

值，并标在FQ-x、M-x

坐标中；（3）应用微分方程，确定控制面之间的FQ

、M

图形。绘制FQ、M图的方法FQ、M图

内力图例题一Q、M图xQFQxqa/2qa/2FQFQMxMxFQ

内力图例题二Q、M图xQFQxQqaFQFQMxMxqa2/2qa2FQ

内力图例题三Q、M图FQ

内力图2.刚架的内力图

刚架的组成—横梁、立柱与刚节点。立柱刚节点横梁刚架内力图

内力图无关FQFQ

面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量—轴力、剪力和弯矩。有关刚架内力图特点

内力图

内力分量的正负号与观察者位置的关系：无关FNFN刚架内力图

内力图与观察者位置无关FNFN与观察者位置有关FQFQ与观察者位置无关

刚架内力图的画法(1)无需建立坐标系；(2)控制面、平衡微分方程；(3)弯矩的数值标在受拉边，轴力、剪力画在里侧和外侧均可，但需标出正负号；(4)注意节点处的平衡关系。

刚架内力图

内力图刚架内力图节点处的平衡关系FNFQFQFNFNFQFNFQMMMM

内力图刚架内力图例题NFNqa/2qa/2NFN

内力图FNQFQQqaqa/2FQFQMMqa/2qa/2qa2/2qa2/2qa2/2qa2/2FNFQqa2/2qa2/23.杆件在复杂载荷作用下的内力图

这一问题请同学们通过阅读

工程力学教程

P.147—P.149的[例题6-4]自己研究。复杂载荷内力图

内力图

(1)怎样将复杂的空间载荷分解为三个平面载荷？

(2)怎样画轴力图和扭矩图？

(3)怎样确定各个内力分量数值都比较大的横截面？复杂载荷内力图关于复杂载荷内力图，请注意下面几个问题

内力图

结论与讨论

结论一个重要概念三个微分方程一套方法

结论与讨论结论

讨论

比较前面三个梁的受力、剪力和弯矩图的相同之处和不同之处，从中能得到什么重要结论？

结论与讨论讨论

结论与讨论FQFQFQ讨论

确定控制面上剪力和弯矩有几种方法？怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值？

结论与讨论讨论

根据给定的剪力图能否确定梁的受力，能否确定梁的支承性质