八校高三下学期联合调研考试数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2013—2014学年第二学期上海市高三年级八校联合调研考试数学（理科）试卷一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．已知函数的最小正周期是,则．向量在向量方向上的投影为．已知正数满足,则行列式的最小值为．阅读右边的程序框图,如果输出的函数值在区间内,则输入的实数的取值范围是．设是一元二次方程的两个虚根.若,则实数．集合，．若“a＝1"是“”的充分条件,则实数b的取值范围是．已知椭圆的焦点在轴上,一个顶点为，其右焦点到直线的距离为,则椭圆的方程为．在△中，所对边分别为、、．若，则．已知数列的首项,其前n项和为．若，则．某地球仪上北纬纬线长度为cm,该地球仪的表面上北纬东经对应点与北纬东经对应点之间的球面距离为cm（精确到0。01)．已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点．若，则实数．将的图像向右平移2个单位后得曲线，将函数的图像向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称．若的最小值为且，则实数的取值范围为．已知“”为“"的一个全排列．设是实数，若“”可推出“或",则满足条件的排列“”共有__________个．二函数的反函数是（）（A)．（B)．(C)．(D）．直线的法向量是。若,则直线的倾斜角为()(A)（B）（C）（D)已知、、是单位圆上三个互不相同的点。若，则的最小值是（）(A)．（B）．(C）．（D）．已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中:（1）成等差数列,也可能成等比数列；（2）成等差数列，但不可能成等比数列；（3)可能成等比数列，但不可能成等差数列;(4）不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是(）（A）(1）（3）.（B）（1）（4）。(C）（2)（3）.(D）（2）（4）。三．解答题：(本题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号)内写出必要的步骤．（本题满分12分；第（1）小题满分6分,第(2）小题满分6分）在直三棱柱中,，，求:(1）异面直线与所成角的大小；（2)直线到平面的距离．（本题满分14分；第(1)小题满分6分，第(2）小题满分8分)已知，其中是常数．（1)若是奇函数，求的值;（2）求证：的图像上不存在两点A、B,使得直线AB平行于轴．(本题满分14分；第（1）小题满分7分,第（2）小题满分7分)ACBDEFACBDEFGHA1B1C1D1E1F1G1H1（1）试用表示的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值,并指出此时的大小．（本题满分16分;第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)已知点、为双曲线:的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点,且．圆的方程是．（1）求双曲线的方程;(2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值;（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为,求证:．(本题满分18分；第（1)小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）在等差数列和等比数列中，,，是前项和．（1）若,求实数的值;（2）是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中？若存在,求出所有的,若不存在，说明理由;（3)是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由．2013—2014学年第二学期上海市高三年级八校联合调研考试数学(理科）参考答案填空题（本题满分56分）本大题共有14题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分,否则一律得零分．题号1234567答案1（-2,2）34题号891011121314答案224二题号答案三．解答题：（本题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19.(本题满分12分;第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱中，，，求:（1）异面直线与所成角的大小；(2）直线到平面的距离．解：（1）因为，所以(或其补角）是异面直线与所成角。………………1分因为，，所以平面,所以.………………3分在中,,所以………………5分所以异面直线与所成角的大小为．………………6分(2）因为//平面所以到平面的距离等于到平面的距离………………8分设到平面的距离为，因为，所以………………10分可得………………11分直线与平面的距离为．………………12分20。(本题满分14分；第（1）小题满分6分,第(2)小题满分8分)函数，其中是常数且．（1）若函数是奇函数,求的值；（2)求证：函数的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于轴．解：（1）解法一：设定义域为，则：因为是奇函数,所以对任意，有，…………3分得。…………5分此时，，，为奇函数。…………6分解法二：当时，函数的定义域不关于原点对称，函数不是奇函数。…………2分当时，函数的定义域是一切实数。…………3分要使得函数是奇函数，则对成立。…………5分所以…………6分（2）设定义域内任意，设…………9分当时，总有，，得；…………11分当时，，得。故总有在定义域上单调递增…………13分的图像上不存在两点，使得所连的直线与轴平行…………14分21。(本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2)小题满分7分）ACBDEFACBDEFGHA1B1C1D1E1F1G1H1（1）试用表示的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．解：（1)设为，∴，，…………3分,，…………7分（2）令，…………9分只需考虑取到最大值的情况，即为，………11分当，即时,达到最大………13分此时八角形所覆盖面积的最大值为．………14分22。（本题满分16分,共3小题,第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点、为双曲线：的左、右焦点,过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点,且．圆的方程是．（1）求双曲线的方程;（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值;(3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点,中点为,求证:．解：（1）设的坐标分别为因为点在双曲线上，所以，即，所以在中，，，所以……2分由双曲线的定义可知：故双曲线的方程为：……4分(2）由条件可知：两条渐近线分别为……5分设双曲线上的点,设两渐近线的夹角为,则则点到两条渐近线的距离分别为……7分因为在双曲线：上,所以又，所以……10分（3）由题意，即证：。设，切线的方程为：……11分①当时，切线的方程代入双曲线中，化简得： 所以：又……13分所以……15分②当时，易知上述结论也成立．所以……16分综上，,所以。23。（本题满分18分；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分)在等差数列和等比数列中，，，是前项和．（1)若，求实数的值；（2）是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中，若存在，求出所有的,若不存在，说明理由；（3）是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中，若存在,求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由．解（1)对等比数列，公比．因为，所以．…………２分解方程，…………４分得或．因为，所以．…………６分(2)当取偶数时，中所有项都是中的项．…………8分证:由题意：均在数列中，当时，说明的第n项是中的第项．…………10分当取奇数时，因为不是整数,所以数列的所有项都不在数列中.