专题05 直线与圆综合大题18种题型归类（原卷版）

专题05直线与圆综合大题18种题型归类一、巩固提升练【题型一】求圆的方程【题型二】求轨迹方程【题型三】阿波罗尼斯圆轨迹【题型四】中点弦【题型五】弦长【题型六】中点弦轨迹【题型七】切线型面积范围最值【题型八】圆上点代入型最值【题型九】圆与直线相交弦型面积最值【题型十】圆与直线“五个方程”型【题型十一】圆与直线“五个方程”型最值【题型十二】圆与直线“五个方程”型线过定点【题型十三】圆过定点【题型十四】定直线【题型十五】定值【题型十六】两圆关系：公共弦长及方程【题型十七】两圆关系：公切线【题型十八】两圆关系：公切线最值二、能力培优练热点好题归纳【题型一】求圆的方程知识点与技巧：解决直线与圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆的条件；（2）强化利用几何法求解圆的弦长，代入公式化简得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．1.（2022·高二课时练习）在①圆Q经过直线：与直线：的交点，②圆心Q在直线上这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答．问题：是否存在圆Q，使得点，均在圆Q上，且______？若存在，求圆Q的方程；若不存在，请说明理由．2.（2022·高二课时练习）求满足下列条件的圆的方程．(1)经过点且和直线相切，同时圆心在直线上的圆；(2)经过点，且与直线l：相切于点的圆．3.（2023·全国·高二专题练习）已知直线过点且与直线垂直，圆的圆心在直线上，且过，两点．(1)求直线的方程；(2)求圆的标准方程．【题型二】求轨迹方程知识点与技巧：求轨迹方程的常见方法①直接法：将动点满足的（与斜率、距离、数量积等有关的，或由平面几何知识推出的）等量关系，直接坐标化，即可得到动点轨迹方程．②定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等），可根据定义直接求，又称几何法，利用平面几何知识转化是关键．③代入法：若动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知(或容易先确定的)曲线上，则可先用，的代数式表示，，再将，代入已知曲线即可得到要求的轨迹方程．又称相关点法或转移法．1.（2023·全国·高二专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.2.（2023·全国·高二专题练习）已知圆经过，，三点.(1)求圆的方程；(2)设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程.3.（2023·全国·高二专题练习）已知圆C过三个点．(1)求圆C的方程：(2)已知O为坐标原点，点A在圆C上运动，求线段的中点P的轨迹方程．【题型三】阿波罗尼斯圆轨迹1.．（2023·全国·高二专题练习）已知圆经过点，，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标.2.（2022·高二课时练习）已知圆，点，为上一动点，始终为的中点.(1)求动点的轨迹方程；(2)若存在定点和常数，对轨迹上的任意一点，恒有，求与的值.【题型四】中点弦1.（2023·全国·高二专题练习）已知圆，AB为过点且倾斜角为α的弦．(1)当时，求弦AB的长；(2)若弦AB被点P平分，求直线AB的方程．2.（2022·高二课时练习）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）设直线与该圆相交于两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点的直线l垂直平分弦？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．3.（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若直线被圆截得的弦恰以为中点，求的值.【题型五】弦长1.（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.(1)当弦AB最长时，求直线l的方程；(2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程.2.（2023·全国·高二专题练习）已知圆，点.(1)求过点P的圆C的切线l的方程；(2)若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程.3.（2021秋·高二单元测试）在直角坐标系中，曲线与轴交于，两点，点的坐标为．(1)能否出现的情况？请说明理由；(2)证明过，，三点的圆在轴上截得的弦长为定值；(3)若定点，圆过，，三点，且存在定直线被圆截得的弦长为定值，求定直线的方程．【题型六】中点弦轨迹1（2022·高二课时练习）已知圆：，直线：，点．(1)判断直线与圆的位置关系；(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，若，求直线的方程．2.（2023秋·高二课时练习）从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程.3.（2023秋·高二课时练习）的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程.【题型七】切线型面积范围最值1.平面直角坐标系中，直线，设圆经过，，圆心在上.(1)求圆的标准方程；(2)设圆上存在点P，满足过点P向圆作两条切线PA，PB，切点为，四边形的面积为10，求实数m的取值范围．广东省深圳市宝安中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题2.已知点，圆C：.(1)若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；(2)当时，过直线上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值.浙江省舟山市2022-2023学年高二上学期期末数学试题3.已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为(1)求圆C的方程；(2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（理）试题【题型八】圆上点代入型最值1.（2023·全国·高二专题练习）已知圆过点，，且点关于直线的对称点仍在圆上．（1）求圆的方程；（2）设是圆上任意一点，，求的最大值和最小值．2.（2023·全国·高二随堂练习）已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值．3.（2022·高二课时练习）已知圆经过，，.(1)求圆的标准方程；(2)若点，点是圆上的一个动点，求的最小值.【题型九】圆与直线相交弦型面积最值1.已知圆，直线l过原点．(1)若直线l与圆M相切，求直线l的方程；(2)若直线l与圆M交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程．安徽省亳州市涡阳县第三中学等校2022-2023学年高二上学期12月期末联考数学试题2.已知圆.(1)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；(2)若直线l过点且与圆C相交于M，N两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程.江苏省扬州中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题3.已知圆的方程为，是经过且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交轴于点．(1)若，求直线的方程；(2)求面积的最小值．浙江省湖州市三贤联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题【题型十】圆与直线“五个方程”型1.（2021秋·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考阶段练习）已知圆O：x2+y2＝4．(1)过点P（1，2）向圆O引切线，求切线l的方程；(2)过点M（1，0）任作一条直线交圆O于A、B两点，问在x轴上是否存在点N，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出N的坐标，若不存在，请说明理由．2.（2021秋·安徽·高二校联考期中）设圆的圆心为，半径为，圆过点，直线交圆与两点，.(1)求圆的方程；(2)已知，过点的直线与圆相交于两点，其中，若存在，使得轴为的平分线，求正数的值.3.（2021·全国·高二期中）已知圆经过两点，，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）设直线与圆相交于，两点，为坐标原点，若，求的值.【题型十一】直线与圆“五个方程”型最值1.（2022·全国·高二专题练习）若圆的内接矩形的周长最大值为．(1)求圆O的方程；(2)若过点的直线与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线的斜率，求的取值范围．2.（2023·全国·高二专题练习）已知圆心在轴上的圆与直线切于点.(1)求圆的标准方程；(2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值．3.（2021秋·全国·高二专题练习）已知定点，，动点P满足.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线，，的斜率分别为，，.当时，求k的取值范围.【题型十二】直线与圆“五个方程”型:直线过定点1.已知圆O：与直线相切．（1）求圆O的方程；（2）若过点的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程；（3）若过点作两条斜率分别为，的直线交圆O于B、C两点，且，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．江苏省泰州市口岸中学2019-2020学年高一下学期第二次月度质量检测数学试题2.已知圆C的圆心坐标为，与y轴的正半轴交于点A且y轴截圆C所得弦长为8．(1)求圆C的标准方程；(2)直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标．3.（2023·全国·高二专题练习）已知圆过点，，.(1)求圆的标准方程；(2)若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点.【题型十三】圆过定点1.已知圆，圆．（1）过的直线截圆所得的弦长为，求该直线的斜率；（2）动圆同时平分圆与圆的周长．①求动圆圆心的轨迹方程；②问动圆是否过定点，若经过，则求定点坐标；若不经过，则说明理由．内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题2.．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为.(1)求圆C的方程；(2)设P是直线上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.浙江省绍兴市诸暨中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题3.（2022秋·全国·高二专题练习）如图，已知圆，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线､，切点为､.（1）当的横坐标为时，求的大小；（2）求证：经过､､三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.【题型十四】定直线1.已知曲线C：．(1)求证：不论m取何实数，曲线C恒过一定点；(2)证明当时，曲线C是一个圆，且圆心在一条定直线上；(3)若曲线C与轴相切，求m的值．2.．已知圆O:x2+y2=1和定点T(2，1)，由圆O外一动点P(m，n)向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PT|.(1)求证:动点P在定直线上，求出定直线的一般式方程;(2)求线段PQ长的最小值，并写出此时点P的坐标.江苏省徐州市贾汪中学2022-2023学年高二上学期月考（一）数学试题3.在平面直角坐标系中，圆M是以，两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称.(1)求圆N的标准方程；(2)设，，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上.（i）过点C作与直线垂直的直线，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；（ii）设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.江苏省宿迁中学2022-2023学年高二下学期入学检测数学试题33【题型十五】定值1.已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点．(1)若﹐求直线l的方程：(2)若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值．甘肃省庆阳市宁县第二中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题2.（2023·全国·高二专题练习）过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点．(1)若，求直线的方程；(2)证明：直线的斜率之和为定值．3.（2023·全国·高二专题练习）已知，为上三点.（1）求的值；（2）若直线过点(0，2)，求面积的最大值；（3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【题型十六】两圆关系：公共弦长及方程1.．（2023·全国·高二随堂练习）已知圆与圆相交，求交点所在直线的方程.2.（2023·全国·高二专题练习）求圆和圆公共弦所在直线方程，并求弦长．3.（2021·高二课时练习）已知两圆和.（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长.【题型十七】两圆关系：公切线知识点与技巧：过一点求圆的切线的方法：（1）过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.（2）过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．1.（2023·全国·高二课堂例题）求圆与的公切线的方程．2.（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆．(1)求两圆的公共弦长；(2)求两圆的公切线方程．【题型十八】两圆关系：公切线最值1.（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直.(1)求的值；(2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值.2.（2023·全国·高二专题练习）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为．(1)若，求；(2)若，求点到直线的距离的最小值．培优练1．（2022秋·全国·高二期中）已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点.(1)求圆C的标准方程；(2)直线n交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标.(3)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值.2．（2023秋·浙江台州·高二台州市书生中学校考开学考试）已知直线，圆.(1)证明：直线l与圆C相交；(2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.3．（2023秋·高二单元测试）如图，已知圆，点.

(1)求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程；(2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程.4．（2023·全国·高二专题练习）已知圆过点，，.(1)求圆的标准方程；(2)若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点.5．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．(1)求点P的轨迹方程；(2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标．6．（2023·全国·高二专题练习）已知圆：，点.(1)若，求以为圆心且与圆相切的圆的方程；(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求的值.7．（2023·全国·高二专题练习）已知圆和定点，动点在圆上．