小学奥数数论与材料阅读

、数论基础知识

一、因数与倍数

1、因数与倍数

（1）定义：

定义1:若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

定义2:如果非零自然数a、b、c之间存在aXb=c,或者c+a=b,那么称a、b是c的因

数，c是a、b的倍数。

注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，。是倍数）

一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1,最大的因数是它本身。

一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

（2）一个数的因数的特点：

①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数；

②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数+第二小的因数

（3）①完全平方数的因数特征：

②完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。

③完全平方数的质因数出现次数都是偶数次：

1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，

3000以内的完全平方数的个数是54个。（31三961,442=1936,54三2916）

2、数的整除（数的倍数）

（1）定义：

定义1:一般地，三个整数a、b、c,且b片0,如有a+b=c,则我们就说，a能被b整除,

或b能整除a,或a能整除以b。

定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b*0）,得到一个整数商c,而且没有余数，那

么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。（a》b）

（2）整除的性质：

如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

如果a能被b整除，c是整数，那么aXc也能被b整除。

如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

（3）一些常见数的整除特征（倍数特征）：

①末位判别法

2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。

4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。

8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。

②截断求和法（从右开始截）

9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和

99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和

999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位裁断求和

③截断求差法（从右开始截）

11的倍数特征：一位截断求差

101的倍数特征：两位截断求差

1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差

④公倍数法

6的倍数特征：2和3的公倍数。先判断是否2的倍数，再判断是否3的倍数。

12的倍数特征：4和3的公倍数。先判断是否4的倍数，再判断是否3的倍数。

3、奇数与偶数(自然数按是否能被2整除分类)

(1)定义：

奇数：不是2的倍数的数。在自然数中，最小的奇数是1。

偶数：是2的倍数的数。在自然数中，最小的偶数是0。

(2)数的奇偶性质：

①

②奇偶相连，奇偶相间，偶数个连续自然数中，奇偶各半。

③奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；

④两个奇(偶)数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；

⑥若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇偶性；

n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2"的倍数；算式中有一个是偶数，则

乘积必是偶数。

连续的奇数或偶数差为2。如，与奇数m相邻的两个奇数分别是(m-2)和(m+2)。

⑦奇偶分析：奇+奇=偶奇奇=偶奇X奇=奇

奇+偶=奇偶一偶=偶奇乂偶=偶

偶+偶=偶偶=奇偶*偶=偶

4、质数与合数(非0自然数按因数个数分类)

(1)定义：

质数：只有1和它本身两个因数的数。(因数个数：2个)

合数：除了1和它本身还有其它因数的数。(因数个数：3个或3个以上)

(2)常见质数特征：

1既不是质数，也不是合数(1只有1个因数)；

2是最小的质数；4是最小的合数；

2是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的质数(除2外，其它质数都是奇数)。

(3)100以内质数表(25个)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、

47、

53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

(4)分解质因数

①唯一分解定理：任何一个大于1的自然数N,如果N不是质数，那么N可以唯一分解成

有限个质数的乘积。

②质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

③分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。如：28=2X2X7=22X7

@通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

@要求出乘积中末尾。的个数，只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数，不用考

虑其它质因数。

(5)互质数：公因数只有1的两个数为互质数。

常见的互质数：

①相邻自然数：8和9

②相邻奇数：21和23

③2与任意奇数：2和15

④不同的两个质数：11和17

(5)1与任意非零自然数：1和4

⑥

⑦当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质：3和14

⑧公因数只有1的两个合数：6和25

如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质：3、5、7

5、最大公因数与最小公倍数

(1)定义：

最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，用

(a,b)表示。

最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，用

[a,b]表示。

(2)最大公因数的性质：

①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。

②几个数的最大公因数都是这几个数的因数。

③几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。

(4)几个数都乘一个自然数m,所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m。

(3)最小公倍数的性质:

©两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

(2)两个数最大公因数与最小公倍数的乘■积等于这两个数的乘■积。即(a.b)X[a,b]=aXb

求最大公因数的方法：

①

②列举法

③短除法

④分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

据转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因

数。

求最小公倍数基本方法：

①(5)

②列举法

③短除法

分解质因数法

分类求最大公因数和最小公倍数：

①

②倍数关系：a是b的倍数，(a,b)=b,[a,b]=a

③互质关系：a与b互质，(a,b)=1,[a,b]=aXb

一般关系：a与b不互质也不倍数，用短除法。(a,b)=左侧除数连乘积，[a,b]=除

数和商连乘积

6、分解质因数的运用：

(1)求一个数因数的个数

①列举法：2个一组列举

②分解质因数法：①分解质因数②所有不同质数出现次数+1连乘■积(指数加1再相乘)

如：360=23X32X5,360的因数个数：(3+1)X(2+1)X(1+1)=4X3X2=24(个)

(2)求一个数的所有因数的和

步骤：①分解质因数②所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。

如：180=22X32X5,180的所有因数之和：(20+2,+22)X(30+3'+32)(50+5')=7X13X6

=546

二、余数性质与同余问题

1、余数的性质

（1）余数小于除数。

（2）若a、b除以c的余数相同，则（a-b）或（b-a）可以被c整除。

（3）a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以c的余数。

（和的余数=余数的和）

（4）a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数。

（差的余数=余数的差）

（5）a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

（积的余数=余数的积）

2、余数的计算（求余数）

（1）末位判断法：2,5,4,25,8,125

（2）数字求和法：3,9

各个数位上数字之和除以3或9的余数=某数除以3或9的余数。

如：234569。2+3+4+5+6+9=29,因为29+9=3…2,所以234569+9=?-2,即234569

=29（mod9）

（3）截断求和法：99,999及其因数

99（3、9、11、33）：两位截断求和，得到的和除以99余数，即原数除以99的余数。

999（3、9,27、37、111、333）:三位截断求和，得到的和除以999余数，即原数除以

999的余数。

如：12345»345+12=357,357＜999,所以12345+999余357。

（4）截断求差法：从右开始截断，奇段和一偶段和。11,101,1001及其因数7、11、13、

77、91、1430

①11:一位截断作差。从右开始，1位截断，（奇数位数字之和）-（偶数位数字之和）+

11的余数，即为原数+11的余数；如不够减，求出的负数+11。

如：234569o奇数位数字之和3+5+9=17,偶数位数字之和2+4+6=12,17-12=5,所

以234569・11余5,即234569三5（mod11）

如：98,（奇数位8V偶数位9）8-9=-1,-1+11=10,则984-11=8...10,即98=10（mod

11）

②101:两位截断作差。从右开始，2位截断，（奇位和）-（偶位和）+101的余数，即为原

数+101的余数；如不够减，求出的负数+101。

③1001（7、11、13、77、91、143）:三位截断作差。从右开始，3位截断，（奇位和）-（偶

位和）・1001的余数，即为原数+1001的余数；如不够减，求出的负数+1001。

3、费马小定理

如果P是质数，a是自然数，且a不能被p整除，则才一'三1（modp）。

即：假如a是自然数，p是质数，且a,p互质，那么a的（p-1）次方除以p的余数恒等于1。

如：a是自然数2,p是质数5,2和5互质，余1。

a是自然数10,p是质数3,10和3互质，10'＞，＞+3余1。

4、同余问题（求除数）

同余的定义：

（1）若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

（2）已知三个整数a、b、m,如果m能被（a-b）整除，就称a、b对于模m同余，记作a=b（mod

m）,读作a同余于b模m。

5、中国剩余定理（物不知数问题：求被除数）

题：

名算

有著

》中

算经

孙子

的《

年前

千多

在一

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几何

问物

二。

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七数

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问题

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①

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口诀

。

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字即

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口诀

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70+3

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三、

数：

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