多重积分方法总结

摘要：二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个步骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限．故多重积分具有极限的基本性质，如唯一性，线性性质等．定义给出了概念的一个准确描述方法，进而从定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法．关键词：二重积分三重积分英文题目SummaryofmultipleintegralmethodAbstract:Thedoubleintegralandtripleintegralconceptsarehavetherealgeometryorphysicalbackground,definitionisdividedintofourstepswiththemethodofstructurearegiven,finallyshownas"Riemannand"limit.Sohasthelimitsoftheintegralmultiplebasicproperties,suchasuniqueness,linearproperties.Definitionoftheconceptofagivenaccuratedescriptionmethod,andfromthedefinitionfrompurelogiccanbereviewstheconcepthaspropertyandcalculationmethod.Keyword:Thedoubleintegraltripleintegral1.引言：重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式,选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．2.研究问题及成果2.1．二重积分的计算1.在直角坐标下：(a)X-型区域几何直观表现：用平行于y轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数和；被积区域的集合表示：；二重积分化为二次积分：．(b)Y-型区域几何直观表现：用平行于x轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数和；被积区域的集合表示：；二重积分化为二次积分：．2.在极坐标下：几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交．在球坐标下：球坐标与直角坐标的关系：空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数和;（具体如球心在原点或z轴上的球形域）被积区域的集合表示：；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：=．如球心在原点半径为的球形域下：．4.三重积分的换元法：在闭区域V上连续，设有变换将一一映射到V上，又和关于u,v和w有一阶连续的偏导数，且,则有．三．重积分的几何和物理应用几何应用a)二重积分求平面区域面积；b)二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d)二重积分求空间曲面的面积．求曲面的面积，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：i)曲面方程ii)曲面参数方程注：这里的公式都对函数有相应的微分条件．物理应用包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．3.结束语：以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意