上海市徐汇区位育初级中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案解析）

上海市徐汇区位育初级中学2022-2023学年九年级上学期期

中考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知3x=4y（yx0）.那么下列各式正确的是（）

A.x：y=3：4B.x：y=4：3C.x'.y=1：3D.x'.y=1：4

2.在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，

同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为（）

A.60米B.40米C.30米D.25米

3.在Rt"3C中，?B90?,如果NA=a,BC=a,那么AC的长是（）

„ca„a

A.«»tanaB.a«cot»C.------D.-----

cosasina

4.在AABC中，点Q、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE//BC的是（）

cBDCEcBDCE

A丝=空B丝=组C___—___D__=___

DEBC'AEACADAE,ABAC

5.下列命题中，假命题是（）

A.任意两个正方形一定相似B.任意两个边长相等的菱形一定相似

C.任意两个等边三角形一定相似D.任意两个等腰直角三角形一定相似

6.如图，四边形ABCD是平行四边形,NBA力的平分线交于E,交DC于F,交BC

的延长线于G.那么下列结论正确的是（)

A.AE2=EFFGB.AE2=EF-AGC.AE2=EGFGD.AE2=EF•EG

二、填空题

_.caa2,h—a

7.如果:那么一-=__________.

b3a+b

8.如果两个相似三角形的面积比是4：9,那么它们对应高的比是

9.已知点P是线段M/V的黄金分割点，MP>PN,如果MN=8,那么尸例的长是.

10.在比例尺为1:500000的地图上，甲乙两地的距离是3.5厘米，那么甲乙两地的实际

距离是千米.

II.两个相似三角形的对应边上中线之比为2:3,周长之和为20c”，则较小的三角形的

周长为.

12.在RtaABC中，ZC=90°,sinA=—,AB=IO,那么8c的长是.

2

13.如图，已知A£＞〃8E〃CF.如果AB=4.8,DE=3.6,EF=1.2,那么AC的长是

14.在AABC中，AB=ACf44=36。，点。在边AC上，如果应A8C,那么BC的

长是.

15.在RtZXABC中，ZA=90°,已知AB=1,AC=2,AO是的平分线，那么A。

的长是.

16.已知如果"RC三边长分别是血,2,2,跖的两边长为1,

也，那么它的第三边长是.

17.在"RC中，ZA=2ZB,如果AC=4,AB=5,那么BC的长是.

18.如图，点E、尸分别在边长为1的正方形A8C£＞的边43、AO上，BE=2AE.

AF=2FD,正方形A'B'C'。'的四边分别经过正方形ABC。的四个顶点，已知4。〃成，

那么正方形A'8'C'。'的边长是.

三、解答题

19.计算：sin60°+|l-cot30°|+tan450-cos30°.

20.如图4,在梯形48C£＞中，ABHCD,对角线AC和8。交于点。，且4cl80.

试卷第2页，共4页

⑴设A乐〃，AD=b9如果CD：A6=2:7,求的(用含入B的式子表示)；

3

(2)如果AC=12,tanZC4B=^-,求梯形48co的面积.

4

21.如图，是某工厂一块三角形剩余料，边比'=120mm,高49=80mm.小王将

这块余料加工成正方形零件，使一边在BC边上，其余两个顶点分别在A3、AC边上,

求这个正方形零件的周长.

22.如图，在R/AE4c中，ZEAC=90°,ZE=45°,点B在边EC上，BDYAC,垂

3

足为。，点尸在8。延长线上，ZFAC^ZEAB,BF=5,tanZAFB=-,求:

4

(DAO的长;

(2)cot/DC/的值.

23.如图，在“U5C中，点。、F分别是边3C、A3上的点，AO和CF交于点£

(1)如果8尸*8=8£).8(7,求证：EF.CE=DE.AE；

⑵如果他.8尸=求证：是“1BC的中线.

24.如图，正方形A8CC的边长为5,点E是边CO上的一点.

(1)当g=2时，求点B到直线AE的距离;

(2)将正方形ABCO沿直线AE翻折后，点。的对应点是点D0,连接CD交正方形ABCD

的一边于点F,如果AF=CE,求AF的长.

4

25.如图，在RtZ\ABC中，NABC=90。，AC=10,sinZBAC=-,是斜边AC上

的中线，点P是线段延长线上一点，点E是线段AP的中点，连接CE交PO于点F.

⑴求证：EFPF=DFCF；

(2)如果CELAP,连接PC,点G在线段PC上，当点G满足怎样的条件时，以点C、

D、E、G为顶点的四边形CQ£G是菱形？

(3)当NP48=ND8C时，求6P的长.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】根据比例的性质即可得出答案.

【详解】解：A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故此选项不符合题意；

B、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故此选项符合题意；

C、由比例的性质，得3x=y与3尤=4y不一致，故此选项不符合题意；

D、由比例的性质，得4x=y与3x=4y不一致，故此选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

2.C

【分析】设古塔高为X,根据相同时刻的物高与影长成比例，可列出方程，即可解出.

15元

【详解】设古塔高为X,根据题意可列方程：y=解得X=30,

故选C.

【点睛】此题主要考察一元一次方程的应用.

3.D

【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.

【详解】如图：

故选：D.

【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系.

4.A

【分析】根据比例的性质和相似三角形的判定和性质，得出△ADES/SABC,证明

ZADE=ZABC,再根据平行线的判定，对各个选项进行判断即可.

【详解】解：A.由黑=差，则。8c不一定成立，故选项A符合题意；

DEBC

答案第1页，共20页

u..ADAB

AEAC

.ADAE

••=,

ABAC

■:NDAE=NBAC,

：./\ADE^ABC,

：.ZADE=ZABC,

：.DE//BC,故选项B不符合题意.

「.・旦包

ADAE

•.殷+1=4+1,

ADAE

.BD+ADCE+AE

・ADAE

.ABAC

•茄一瓦’

・•ZDAE=ZBAC,

・・AA£)£ccAABC,

\ZADE=ZABC,

\DE//BC,故选项C不符合题意.

八山BDCE.f曰ABAC

D.当布=就时n’同理可得：而=正

・•ZDAE=ZBACf

,・AADEcoAABC,

9.ZADE=ZABC,

\DE//BC,故选项D不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定，解题

的关键是根据相似三角形的判定得出AADEsAABC.

5.B

答案第2页，共20页

【分析】对选项逐个判断，正确的为真命题，错误的为假命题.

【详解】解：A、任意两个正方形一定相似，正确，是真命题，不符合题意；

B、任意两个边长相等的菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故原命题错误，是假命题，

符合题意；

C、任意两个等边三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题意；

D、任意两个等腰直角三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了真假命题的判断，掌握相似图形的概念是解题关键.

6.D

【分析】利用平行四边形的性质证出ADEFS^EA,再根据对应边成比

例即可解答.

【详解】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

:.△AED^AGEB,^DEF^BEA,

.AEDEDEEF

"~EG~~EB''EB~^E'

.AE_EF

**£G-AE*

^AE2=EFEG.

所以选项D正确，

故选：D.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是利用平行

四边形的性质证明三角形相似.

7.i

5

h—n

【分析】设a=2k,得到b=3k,代入—化简即可求解.

【详解】解：设a=2k,

..a2

•———,

h3

Ab=3k,

.b-a_3k-2k_k_1

a+h3k+2k5k5'

故答案为：—

答案第3页，共20页

【点睛】本题主要考查了比例化简求值，理解比例的意义，用含k的式子分别表示a、b是

解题关键.

8.2：3##一

3

【详解】解：•••两个相似三角形的面积比是4：9,

两个相似三角形的相似比是2：3,

，它们对应高的比是2：3.

故答案为：2：3.

9.4逐-4##T+4石

【分析】根据黄金分割点的概念列式求解即可.

【详解】解：•••点尸是线段MN的黄金分割点，MP>PN,MN=8,

：.PM=叵MN=避二**8=46-4,

22

故答案为：4方-4.

【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的概念.把一条

线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做

黄金分割，他们的比值叵口叫做黄金比.

2

10.17.5

【分析】根据题意知，比例尺一定，图上距离和实际距离成正比例，由此列式解答即可.

【详解】解：设甲乙两地的实际距离为x厘米，

根据题意得，1600000=3.5：x,

解得x=1750000,

1750000厘米=17.5千米.即甲乙两地的实际距离为17.5千米.

故答案为：17.5.

【点睛】本题主要考查比例尺的相关知识，解题的关键是先判断题中的两种相关联的量成何

比例，找准对应量，注意单位的转换.

11.8C/M

【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的

比都等于相似比来解答.

答案第4页，共20页

【详解】解：因为该相似比为2：3,而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为20x(2

=8cm,

故答案为：8cm

【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：①相似三角形周长的比等于相似比；②相似三

角形面积的比等于相似比的平方；③相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线

的比都等于相似比.

12.55/3

【分析】利用直角三角形的边角间关系得结论.

【详解】解：在RtZ\ABC中，

VsinA=—=^,AB=IO,

AB2

8c=56

故答案为：573.

【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键.

32

13.6.4##—

5

【分析】根据三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，列出比例式解答即可.

【详解】解：：4)〃8£〃。尸，

.ABDE

VAB=4.8,OE=3.6,EF=L2,

.4.83.6

**BC-L2'

解得8c=1.6,

，AC=AB+BC=4.8+1.6=6.4.

故答案为:6.4.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确

的比例式.

14.35/5-3

【分析】等腰三角形ABC中，利用顶角的度数求出两底角的度数，再由8D=BC,得出

NBDC=NC,ZDBC^ZA,再由NC为公共角，得到AABC与△38相似，最后根据相

答案第5页，共20页

似三角形性质得出答案.

【详解】解：如图：

・・♦等腰AABC中，AB=AC,乙以。=36。，

,ZABC=ZC=72°,

•:BD=BC,

JZBDC=ZC=72°,ZDBC=180°-72°x2=36°,

J/ABD=/CBD=3等，

VZCB9=ZJ=36°,/C=NC,

：.LABCsABCD,

♦；乙4=乙的=36。,

/.AD=BD,

•:BD=BC,

JAD=BD=BC,

没BC=x,则有初=^=密=X，DC=6-x,

,:AABCs/XBCD,

.ABBCHn6x

BCCDx6-x

整理得：X2+6X-36=0,

解得：%=-3±375（负值舍去），

x=3A/5-3•

.,.BC的长是3石-3.

故答案为：3石-3.

答案第6页，共20页

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及一元二次方

程的解法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

15.辿##2&

33

【分析】过B作交AQ的延长线于£,先证△ABE是等腰直角三角形，推出

________ACAn

BE=AB=l,AEZABJBE。=&，^VE^ACD^EBD,推出黑二黑，代入数值即

BEDE

可求解.

【详解】解：过B作交AD的延长线于E,

・••ABAC=90°,AD是/BAC的平分线,

NBAE=45°,

,AME是等腰直角三角形，

•••BE=AB=1,

AE=JAB、BE?=夜，

vZBAC=90°,BELAB,

AC//BE,

ZBED=ZCAD,

又；ZBDE=NCDA,

AACZ)S&EBD,

.ACAD

•,一,

BEDE

2_AD

-y/2-ADf

2近

AD=-^—,

3

故答案为：巫.

3

答案第7页，共20页

【点睛】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，解题的关键

是正确添加辅助线，构造相似三角形.

16.V2

【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解.

【详解】解：*/△ABCSADEF,

4WC三边长分别是正，2,2,心切的两边长为1,6,设第三边长为x

.^2_2_2

・・----=-r=——，

1V2x

解得：x=41，

所以ADEF的第三边长为及.

故答案为：立.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键.

17.6

【分析】过。作垂足为"在A8上取点。，连接C。，使C0=AC=4,然后

根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出AH的值，最后根据勾股定理即可求解.

【详解】过C作CHLA5,垂足为H,在45上取点。，连接C。，使CO=AC=4,

,:CD=AC=4f

：.ZA=ZCDA=2ZBf

；.NB=ZBCD,

：.BD=CD=4,

：.AD=AB-AD=5-4=if

：.DH=AH=-AD=0.5,

2

3

：.CH2=AC2-AH2=\5~,

4

BC2=BH2+CH2,

答案第8页，共20页

/.BC2=4.52+15-,BPBC=6,

4

故答案为：6.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质和勾股定理，画出图形，合理构

建辅助线是解题的关键.

18.迪

5

2

【分析】根据边长为1的正方形A8Q?中，BE=2AE、AF=2FD,得到8E=A尸=§,

AE=DF=\,根据勾股定理得到EF=〃理+A尸=正,根据,得到

33

ZAAB=AEF，结合NA'=ZEAF=90°,推出^AAB^AEF，得至4里="■，求出A'A=^~,

AEEF5

同理求出：AD'=迫,推出AO'=3叵.

55

【详解】解：；8E=2A£；、AF=2FD,AB=AD=\,

2121

:・BE=—,AE=—，AF=-DF=—,

33393

；・EF=JAE2+AF2=半，

■:ADV/EF,

:.ZA,AB=ZAEF,

又＜ZAz=ZE4F=90°,

/.^AAB^AEF,

.AAAB

••---=---,

AEEF

3

同理可求：AD=还,

5

5

正方形AB'C'D的边长为法.

5

故答案为：—.

5

【点睛】本题主要考查了正方形，相似三角形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握正

方形性质，相似三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形.

答案第9页，共20页

19.V3

【分析】先将题中的特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的混合运算法则计算即可.

【详解】解：sin600+11-cot30°|+tan450-cos30°

6

+"四+1一哼

2一

后

一

2+^-1+1--

2

^

【点睛】本题考查了含特殊角的三角形函数值的实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角形

函数值是解答本题的关键.

7-7

20.(l)-b——a

99

(2)54

7

【分析】(1)根据条件证得△438久。0,由相似三角形对应边成比例得到08=§3D,

然后利用向量三角形法则运算即可；

(2)根据(1)得AABOSAC。。，利用对应边成比例得到空=空，结合AC18。，

tanNC48=。整理得到段=%=婴=：,求出8O=：AC=9,最后利用

4OCOAAC44

SABCD=^ABC+SACO计算即可.

【详解】U)解：VAB//CD

：.ZCDO=ZABOfZDCO=ZBAO

则AABO^ACDO

CD27

・史OB=-BD

-OB~AB79

丽=河吆丽+码/四营千

3

(2)解：VAC1BD,tanZCAB=-

4

.OB3

a.-----------=一

OA4

由(1)可知△ABOS^CDO

,OCOD

答案第10页，共20页

.0DOBOD+OBBD3

则n无=赤=诙诲=/三

•/AC=12

3

JBD=-AC=9

4

SABCD=‘ABC+SACD

=-ACOB+-ACOD

22

=：AC(O3+O£>)

=-ACBD

2

=-xl2x9=54

2

【点睛】本题考查了向量的线性运算、平形线的性质、相似三角形性质与判定、三角函数等

知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题关键.

21.192mm

【分析】先设正方形的边长为xmm,可表示朋=PQ=ED=xmm,进而得出46=(80r)

mm,根据PN〃BC可知再根据相似三角形对应边成比例得出比例式，代

入计算即可.

【详解】解：设正方形的边长为xmm,则AV=PQ=ED=xmm,

：.AE=AD-9=(80-x)mm.

PN//BC,

：.zAPNfABC,

.PN_AEH).x_80-x

.・正=茄’即面=在"'

解得x=48.

.•.该正方形零件的边长是48mm,

这个正方形零件的周长为192mm.

答案第11页，共20页

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的对应边成比例得出比

例式是解题的关键.

22.⑴装

喔

【分析】（1）由各角之间的关系得出NBAF=90。，再由正切函数及勾股定理求解得出

A8=3,AF=4,最后利用三角形等面积法求解即可；

99

（2）由等面积法得出=g,结合图形得出£>C=8£>=丁再由余切函数的定义求解即可.

【详解】（1）解：4c=90。，

ZEAB+ZBAC=90°,

"：^FAC^ZEAB,

：.ZFAC+ZBAC=90°,

：.ZBAF=90°,

Vtan^AFB=—=~,

AF4

令M=3x,则AF=4x,

BF2=AB2+AF2>

：.B产=（3x）2+（4x）2,

二BF=5x=5,

X=1,

***AB=3x=3,AF=4x=4,

・.・BFAD=ABAF=2S"，

：.5AD=3x4=12,

AD=—；

5

（2）在即厂中，ADLBF,

：•AB2=BDBF，

：・9=5BD,

9

:.BD=—,

答案第12页，共20页

DF=BF-BD=—

5

V^E4C=90°,/E=45。，

・・・/BCD=45。，

：.ZDBC=45°,

9

/.DC=BD=-

5

nr9

cotZDCF=—=—

DF16

【点睛】本题主要考查三角函数解三角形及勾股定理解三角形，理解题意，找准各角之间的

关系是解题关键.

23.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)先将等式化为比例式，可得到=二大，再根据角相等，证得

BDAB

AAEF^/\CED,从而能证得EF・CE=DE.AE；

CD1

(2)过。作DG〃四交。尸于G,则△DEGsAFEA,再根据比例式的代换得到三=不

BC2

从而得出结论.

【详解】(1)证明：•：BF，AB=BD・BC,

.BFBC

…访一耘’

■:ZB=ZB,

；・△ABD^MBF,

・・・/BAD=ABCF,

又•：ZAEF=NCED,

：./XAEFs^CED,

.EFAE

一访一在‘

:.EF.CE=DE.AE；

(2)过。作交C产于G,则△£)EGs^A£F,

答案第13页，共20页

.AEAF

・•而一丽’

•/AE・BF=2AF・DE,

.AE_2AF

•・访一

.AF2AF

••~DG~BF'

niIDGAF1

FB2AF2

..CDDG

.CD1

••=，

BC2

••.0为8C的中点，AD是"RC的中线.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握其判定定理及性质是解题的关键.

24.(1产回

29

(2)钎的值为：|■或5G-5

【分析】(1)连接8E,过点E作&VLA3于N,过点8作8A7L他于根据正方形ABCD

的边长为5,DE=2,可得=df+2=晒,AB=AD=NE=5,再根

据SvABE=；A&NE=；AbBM，即可求解；

(2)分类讨论：当点F在AB上时，连接DD,先证明四边形AECF是平行四边形，即有

AF=CE,AE//CF,CFX.DD,进而有ZE£>Z)'+/ZyCE=/EZZD+EZXC=90。，

AEDC=ZD'CE,即有£>‘£；="=DE,即可得CE=LC£)=1AB=*；当点F在AO上时，

222

设AE、C尸交于点"，连接ZW,过点W作于N点，根据翻折的性质依次证明

VADE^/CDF,7AMF尔CME,YDMF尔DME,可得NMDF=ZMDE=45。,

ZAI7M=ZADM=45°,即有ZD'ME=ZC/AM+ZAD'M=ZDAE+450,

答案第14页，共20页

NEMD=ZMDF+ZDAE=ZDAE+45°,ZDMF=ZMDC+ZDCF=ZDAE+45°,即可得

/。（才=2。46=/。'4£=#180。-45。*3）=15。，则有NA4E+N£ME=30。，再结合勾股

定理，平行线分线段成比例即可求出质，则问题随之得解.

【详解】（1）解：连接BE,过点E作&VLA8于M过点B作技0，4£于加，

:正方形ABC£＞的边长为5,DE=2,

AE=y/AD2+DE2=V52+22=729>AB=AD=NE=5,

：.SVABE=^ABNE=^AEBM,

A5x5=V29BW,

.25a

•・BM=------，

29

，点、B到直线AE的距离为空叵；

29

(2)解：如图：当点F在A3上时，连接£)£)',

由翻折得DE=D'E>

：.ZEDD=AEDD,

•.•四边形ABCO是正方形，

，AB//CD,

,:AF=CE,

...四边形AECF是平行四边形，

/.AF=CE,AE//CF,

：.CF±DD',

答案第15页，共20页

:./EDD+ZDrCE=ZEDrD+EDC=90°,

:./EDC=/D'CE,

：.D'E=CE=DE,

正方形ABC。的边长为5,

:.CE=-CD=-AB=-

2229

:.AF=~.

2

当点尸在AO上时，设AE、CF交于点M,连接。过点D0作。'N_LAO于N点，如图,

根据翻折的性质有：D'E=DE,ND'AE=NDAE,ZZ4=ZM=5,ZAVM=ZADM,

•・•CE=AF,

：.DE=CD-CE=AD-AF=FDf

：.DE=DE=FD,

♦;AD=CD,DE=FD,ZADE=4CDF,

：.YADEKCDF,

：./DCF=ZDAE=ZDfAE,

VZAMF=ZCME,CE=AF,/DCF=/DAE,

AVAMF^VCME,

:・MF=ME,

VMD=MDfDE=FD,

：.YDMF小DME,

:.ZMDF=ZMDE,

：.ZMDF=ZMDE=45°f

：.ZADM=ZADM=45°,

答案第16页，共20页

・.・ZDrME=ADAM+ZADrM=ZZME+45°,

ZEMD=Z.MDF+/DAE=NDAE+45°,

/DMF=ZMDC+ZDCF=ZDAE+450,

有：ZDMF+ZDME+ZEMDf=180°,

/.ZDCF=ZDAE=ZD'AE=；(180。一45。x3)=15°,

，ADAE+ZD'AE=3Q°,

YD'NLAD,D'A=5,

：.D'N^-D'A=-,

22

AN=dD"-D'N2=-73,

2

/.DN=AD-AN=5-)6,

2

VD'NIAD,CD1AD,

：.DN//CD,

.D'N_FN

''~CD~~FD'

•：D'N=-D'A=-AD=-CD,

222

FN=-FD,

2

二FN=；FD=；(FN+DN),

二FN=DN,

-：DN=5-->/3,

2

尸0=(5_|6卜2=10-5技

AF=AD-