非正交基底中利用平面法向量计算空间中角与距离方法

非正交基底中利用平面法向量计算空间角与距离方法我们知道利用空间向量的坐标和待定系数法可以求出直线的方向向量和平面的法向量，进而计算空间角与距离的大小。但是，课本上所介绍的方法都是在正交基底的情况下，建立空间直角坐标系，利用坐标运算进行计算。而往往有些几何图形中找不到正交基底，不能建立适当的直角坐标系，那是不是就不能利用这种方法了呢？本文就是通过几个例子，探究这种计算方法在非正交基底中的应用，使得这种方法能运用到更多的题目中去，加强学生解题方法的多样性，从而进一步加深学生对空间向量基本定理的理解。a,b,C两两夹角都是600,例1、如图，已知平行六面体ABCD-A1B1a,b,C两两夹角都是600,ZCCB=ZCCD=ZBCD=60。.CD=1,CC=2,111⑴求异面直线£C与DA所成角的余弦值；求直线CD与平面BDq所成角的正弦值.求平面ABCD与平面A]BCD]的距离解：设CD=a，CB=b，CC=c，贝a=b=1,c=2,a,1r2--2-2-■-1a=b=1,c2=4,ab= ,ac=bc=1ca•dA(-+b+c2b国卜网—» —r fa+b+c•b2(I)CA=a+b+c,DA=CB=b,/.cosCA,DA.：=—«—■ —► ffab+b2+bc1+1+12J—ir —*■ —fc- —b—fc- ——fc- —b-—»I—fc-|Va2+b2+c2+2ab+2ac+2bc•bJ1+1+4+1+2+2•15di22(II)设平面BDq的法向量为n=xa+yb+zc，则tBD=b-a,DC=c-a• N J( ■) 1 1 介n•BD=0V ,nVn•dc=0I1a+yb+zc•b一an•BD=0V ,nVn•dc=0I1-bJ(J130n]y+6z=0a+yb+zc'・c一a7=y+3z=02•••可得平面BDq的法向量为n=6a+6b-c,从而直线CD与平面BDq所成角的正弦值为sin9=CD•nCD值为sin9=CD•nCD•n )—+6b-ca•6a+6b-c1•*36+36+4+36-12-12=^''22=11(III)设平面ABCD的法向量为n=xa+yb+zc，则tCD=a,CB=bI •八•丿1八 xa+ yb+zc•a=x+—y+z=0 (n•CD=0 丿 2 Iy=xn•CB=0^ C 7J()1 n・Iy+2z=0lnCBu 士a+ yb+zc'・b=—x+y+z=0 1、2可得平面ABCD的法向量为n=2a+2b-3c，从而平面ABCD与平面AiBiCiDi的距<4+4+<4+4+36+4-12-122+2-12=2J6="V例2、(2006年江西卷)如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角例2、(2006年江西卷)如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=J3,BD=CD=1,另一个侧面ABC是正三角形求证：AD丄BC求二面角B－AC－D余弦值的大小在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30。角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。设AB=a，AC=b，AD=c，则a=”|=*2”=J3,a,b夹角是600,ac,bc夹角余弦都是-3-,r2-2 r2/.a2=b2=2，c=3，ab=1，ac=bc=2~•"t(1)AD=c，BC=b—a，/.AD•BC=cb—a=0nAD丄BC(2)设平面ABC的法向量为n=xa+yb+zc,则tAB=a，AC=bIn•AB=0Ivr nvn•AC=0a+yb+zc•a=2x+y+2z=0Iy=xa+yb+zc厶\〉=x+2y+2z=0I3y+2z=0/.可得平［面ABC的法向量为n=2a+2b—3c,n=2a+2b—3c=J3设平面ACD的法向量为m=pa+qb+rc，则tAD=c，设平面ACD的法向量为m=pa+qb+rc，则tAD=c，AC=bm•AD=0—r im•AC=0nva+qb+rca+qb+rc=2p+2q+3r=0n=p+2q+2r=0p+r=02q+r=0可得平^^ACD的法向量为m=2a+b—2c,从而二面角B—AC—D可得平^^ACD的法向量为m=2a+b—2c,从而二面角B—AC—D余弦值为a+b—2ca+2b—3ccos0=2a+b—2c•2a+2b—3c to*H—b rff(3)设AE=kAC=kb，则ED=c—kb=2a+b—2c=y/2=2迈•屯=比3", ” ， 1 + * ■- —» —J* ■> —■ —#■设平面BCD的法向量为n=xa+yb+zc，贝1」BC=b一a,CD=c一bn•BC=0n•CD=0a+yb+zc?ff■*Ia+yb+zc•J—a<=—x+y=0一)n一b=x+z=0可得平面BCD的法向量为n=a+b一c,n=a+b一c=1从而直线ED与平面BCD所成角的正弦值为sin0ED•nED•nc—kb|•|a1—kV2k2—4k+3=1nk=1」辽22即AE=1-宁迈=j2-1，所以存在E点