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文档简介

理论力学分析力学————哈密顿原理主要内容位形空间、真实运动和可能运动完整有势系统的哈密顿原理一般完整系的哈密顿原理位形空间、真实运动和可能运动位形空间：s个广义坐标组成的s维空间。力学系统在某时刻的位形与该空间中的一点对应。当位形随时间变化时，位形空间的位形点形成一条曲线，此时时间t是自变量。真实运动曲线：设方程组代表系统的真实运动，则它们决定的曲线为真实运动曲线。真实轨道可能轨道可能运动曲线：在约束许可下，由于函数形式发生变化而在真实运动曲线邻近出现的曲线。哈密顿原理：利用变分法将真实运动从一切可能的运动中挑选出来。完整有势系统的哈密顿原理对比欧拉方程和拉格朗日方程欧拉方程-泛函求极值对应的条件说明拉格朗日方程对应的也是某个变分问题的自然结果作用量（泛函）真实轨道可能轨道可能轨道满足的条件完整有势系统的哈密顿原理哈密顿原理：受完整约束的有势系，在位形空间中，相同时间间隔内通过两点间的一切可能运动曲线中，真实运动曲线使作用量取极值。这个极值为极小值，则此定理又称为哈密顿最小作用原理。对应的数学形式为完整有势系统的哈密顿原理例题：质量为m的质点，在重力场中以与水平线成α角度的初速度v抛射，根据哈密顿原理，求质点的运动微分方程。解：建立坐标系o-xy，选择x,y为广义坐标，则系统的拉格朗日函数为作用量为根据哈密顿原理，真实运动使由于变分与微商可交换，利用分部积分完整有势系统的哈密顿原理第二项由于在时刻，，则又由于之间相互独立，则上式成立，必须与牛顿运动定律得出的质点运动微分方程一致。为什么最小作用量对应的是物体的真实运动？对应的作用量为极小值。完整有势系统的哈密顿原理为什么最小作用量对应的是物体的真实运动？ⅡⅠⅢ大自然界中所有的物体运动都是趋于稳定的。自然界中，一切物质系统的运动变化都遵循最大可能的经济原则，往往使作用量降到最小。液滴总是保持球状悬挂的线质心总是处于最低点曲线Ⅰ的最高点对应势能极值点，作用量最小。曲线Ⅱ有势能大于动能部分，能量不守恒。曲线Ⅲ平均势能小，动能大，作用量大。一般完整系的哈密顿原理对一般完整系，主动力含非有势力，前面的哈密顿原理不再适用。从基本形式的拉格朗日方程出发，当函数的形式发生变化，即对应动能的变分为那么一般形式的拉格朗日方程源于以下形式的变分一般形式的哈密顿原理一般完整系的哈密顿原理当力学系统为有势系时，一般完整系的哈密顿原理具有更普遍的意义。对于完整理想系统，则一般完整系的哈密顿原理可写为虚功一般完整系的哈密顿原理：受完整理想约束的力学体系，在位形空间中，相同时间间隔内通过两点间的一切可能运动曲线中，真实运动曲线使动能的变分和虚功之和

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