八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例

八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例汇报人：XXX2024-01-27目录CONTENTS反比例函数基本概念与性质反比例函数与直线交点问题反比例函数中比例系数k的几何意义反比例函数在实际问题中应用举例拓展：复合反比例函数及其性质探讨总结回顾与课堂小测01反比例函数基本概念与性质形如$y=frac{k}{x}$（$k$为常数，$kneq0$）的函数称为反比例函数。反比例函数定义$y=frac{k}{x}$，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$k$是比例系数。反比例函数表达式反比例函数定义及表达式反比例函数的图像是双曲线，且以原点为对称中心。当$k>0$时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；当$k<0$时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。在每个象限内，随着$x$的增大，$y$的值逐渐减小，但永远不会等于0。反比例函数图像特征01020304比例系数$k$决定了反比例函数的图像所在象限和增减性。反比例函数的图像关于原点对称，即如果点$(x,y)$在图像上，则点$(-x,-y)$也在图像上。在同一象限内，随着$x$的增大，$y$的值逐渐减小，即反比例函数在该象限内是减函数。反比例函数在其定义域内是连续的，但在$x=0$处没有定义。反比例函数性质总结02反比例函数与直线交点问题0102判断反比例函数与坐标轴交点情况当$k>0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当$k<0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。反比例函数图像为双曲线，与坐标轴无交点。联立反比例函数和直线的解析式，解方程组得到交点坐标。若方程组有解，则存在交点；若方程组无解，则不存在交点。求解反比例函数与直线交点坐标【例1】已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$keq0$）和直线$y=ax+b$（$aeq0$）相交于点$A(1,2)$和点$B(-3,-1)$。典型例题分析

典型例题分析（1）求反比例函数和直线的解析式；（2）直接写出不等式$ax+b>frac{k}{x}$的解集。【分析】（1）将点$A(1,2)$和点$B(-3,-1)$分别代入反比例函数和直线的解析式，得到关于$k$、$a$、$b$的方程组，解方程组即可求出反比例函数和直线的解析式；【解答】（1）将点$A(1,2)$代入反比例函数解析式得∴反比例函数的解析式为典型例题分析$y=frac{2}{x}$。$k=2$，典型例题分析将点$A(1,2)$和点$B(-3,-1…$begin{cases}a+b=2-3a+b=-1end{cases}$，解得$begin{cases}a=frac{3}{4}b=frac{5}{4}end{cases}$，∴直线的解析式为$y=frac{3}{4}x+frac{5}{4}$。（2）由图象可知，不等式$frac{3…$-3<x<0$或$x>1$。03反比例函数中比例系数k的几何意义当k<0时，反比例函数的图像位于第二、四象限，且随着x的增大，y的值逐渐增大，曲线从左下方向右上方延伸。|k|的大小决定了图像离坐标原点的远近。|k|越大，图像离坐标原点越远；|k|越小，图像离坐标原点越近。当k>0时，反比例函数的图像位于第一、三象限，且随着x的增大，y的值逐渐减小，曲线从左上方向右下方延伸。比例系数k对图像影响分析面积问题时间问题电阻问题利用比例系数k解决实际问题若一个矩形的面积为定值S，则其长x与宽y之间的函数关系为y=S/x(x>0)，此时比例系数k即为面积S。若某物体以恒定速度v运动，则其运动时间t与路程s之间的函数关系为s=vt(t>0)，此时比例系数k即为速度v。若某段导体的电阻R与长度L成正比，与横截面积S成反比，则R与L、S之间的函数关系为R=kL/S(L>0,S>0)，此时比例系数k为电阻率。典型例题分析【分析】将点A(2,-3)代入y=k/x中，得-3=k/2，解得k=-6，所以此函数的解析式为y=-6/x。1.已知反比例函数y=k/x(k≠0)的图像经过点A(2,-3)，则此函数的解析式为____。【分析】由题意可知M、N两点均在反比例函数图像上，所以2=k/2，-1-n^2=k/b。联立两式可得k=4，b=-3。因此一次函数为y=4x-3，其图像经过第一、三、四象限。2.若M(2,2)和N(b,-1-n^2)是反比例函数y=k/x图像上的两点，则一次函数y=kx+b的图像经过____象限。04反比例函数在实际问题中应用举例路程、速度和时间的关系当路程一定时，速度和时间成反比例关系。例如，从家到学校的路程是固定的，如果走路速度越快，所需时间就越短。工作总量、工作效率和工作时间的关系当工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例关系。例如，完成一项任务所需的总工作量是固定的，如果工作效率越高，所需时间就越短。生活中常见问题建模为反比例关系在欧姆定律中，电阻一定时，电压和电流成反比例关系。即电压越大，电流越小；反之亦然。物理中的电阻、电压和电流的关系在某些化学反应中，反应速率与反应物浓度成反比例关系。当反应物浓度增加时，反应速率减慢；反之亦然。化学中的反应速率、反应物浓度和反应时间的关系其他学科中反比例关系应用举例分析这个问题中，路程是一定的，即甲地到乙地的距离。原来的速度是70千米/小时，所需时间是5小时。现在要缩短到4小时到达，需要求出新的速度。解答设新的速度为$x$千米/小时。根据反比例关系，有典型例题分析$70times5=4x$解得$x=87.5$。所以，如果要4小时到达，每小时需要行87.5千米。典型例题分析典型例题分析分析这个问题中，工作总量是一定的，即生产一批零件的总数。原计划每天生产200个，所需时间是15天。现在前5天生产了750个，需要求出实际完成这批零件所需的总天数。解答设实际完成这批零件所需的总天数为$x$天。根据反比例关系和工作效率的定义（工作总量/工作时间），有$frac{750}{5}timesx=200times15$解得$x=20$。所以，实际完成这批零件一共需要20天。典型例题分析05拓展：复合反比例函数及其性质探讨定义复合反比例函数是指由两个或多个反比例函数相乘或相加得到的函数。表达式一般形式为$y=frac{k_1}{x}+frac{k_2}{x}$或$y=k_1cdotfrac{1}{x}+k_2cdotfrac{1}{x}$，其中$k_1,k_2$是常数且$k_1neq0,k_2neq0$。复合反比例函数定义及表达式复合反比例函数的图像通常呈现为双曲线形状，具有两支分别位于第一象限和第三象限。图像形状渐近线对称性图像具有两条渐近线，分别是$x$轴和$y$轴。当$x$趋近于无穷大或无穷小时，函数值趋近于零。图像关于原点对称，即如果点$(x,y)$在图像上，则点$(-x,-y)$也在图像上。030201复合反比例函数图像特征01020304值域单调性奇偶性特殊点复合反比例函数性质总结复合反比例函数的值域为$yneq0$，即函数值不能为零。在每个象限内，复合反比例函数是单调的。在第一象限和第三象限内，函数值随着$x$的增大而减小。当$x=0$时，复合反比例函数无定义。此外，当$k_1=k_2$时，函数在$x=pmsqrt{k_1}$处取得极值。复合反比例函数是奇函数，即满足$f(-x)=-f(x)$。这意味着图像关于原点对称。06总结回顾与课堂小测形如$y=frac{k}{x}$（$k$为常数，$kneq0$）的函数称为反比例函数。反比例函数的定义反比例函数的图像是双曲线，当$k>0$时，图像位于第一、三象限；当$k<0$时，图像位于第二、四象限。反比例函数的图像反比例函数在其定义域内是连续的，且当$x$趋近于0时，$y$趋近于无穷大或无穷小。反比例函数的性质关键知识点总结回顾学生能够理解反比例函数的定义、图像和性质，并能够运用相关知识解决问题。理解程度学生能够熟练掌握反比例函数的运算和变换，并能够灵活运用反比例函数解决实际问题。掌握程度部分学生在解决复杂问题时存在困难，需要加强对反比例函数的应用和拓展。薄弱