北师大版反比例函数的图象与性质

北师大版反比例函数的图象与性质汇报人：XXX2024-01-27反比例函数基本概念反比例函数图象绘制反比例函数性质探讨反比例函数在实际问题中应用拓展：反比例函数与相似三角形关系探讨总结回顾与课堂练习contents目录01反比例函数基本概念反比例函数定义形如$y=frac{k}{x}$（$k$为常数，$kneq0$）的函数称为反比例函数。表达式解析在反比例函数中，$x$是自变量，$y$是因变量，$k$是比例系数。当$x$取值不为零时，$y$的值随着$x$的变化而变化，且$xy=k$。定义与表达式自变量$x$的取值范围在反比例函数中，自变量$x$可以取任何实数，除了$x=0$，因为当$x=0$时，函数值$y$无定义。函数的定义域由于$xneq0$，因此反比例函数的定义域为$xinR$且$xneq0$。自变量取值范围

函数值变化规律当$k>0$时在第一象限和第三象限内，随着$x$的增大，$y$的值逐渐减小，且无限趋近于$x$轴。在每个象限内，反比例函数的图像都是一条双曲线，且以原点为中心对称。当$k<0$时在每个象限内，反比例函数的图像都是一条双曲线，且以原点为中心对称。在第二象限和第四象限内，随着$x$的增大，$y$的值逐渐增大，且无限趋近于$x$轴。反比例函数的图像不会与坐标轴相交。函数值变化规律02反比例函数图象绘制列表法绘制步骤绘制坐标平面在坐标平面上，以自变量为横坐标，函数值为纵坐标，建立坐标系。列出函数值表在取值范围内，选取一系列自变量的值，计算对应的函数值，并列出表格。确定自变量的取值范围根据题目要求或实际情况，确定自变量的取值范围。标出各点在坐标平面上，根据函数值表，标出各点。连接各点用平滑的曲线连接各点，即可得到反比例函数的图象。确定关键点计算函数值描出关键点绘制图象描点法绘制技巧01020304在取值范围内，选取一些关键点，如与坐标轴的交点、极值点等。计算关键点对应的函数值。在坐标平面上，描出关键点的位置。根据关键点的位置，用平滑的曲线绘制出反比例函数的图象。图象形状渐近线与坐标轴的交点单调性图象特点分析反比例函数的图象为双曲线，且以原点为中心对称。反比例函数图象与坐标轴没有交点，因为当x=0时，函数值无定义。当自变量趋近于无穷大或无穷小时，函数值趋近于0，因此图象有两条渐近线，即x轴和y轴。在每个象限内，随着自变量的增大，函数值逐渐减小，因此反比例函数在每个象限内是单调减的。03反比例函数性质探讨当$k>0$时，反比例函数$y=frac{k}{x}$的图象在第一、三象限内，且随着$x$的增大，$y$值逐渐减小。当$k<0$时，反比例函数$y=frac{k}{x}$的图象在第二、四象限内，且随着$x$的增大，$y$值逐渐增大。在每个象限内，反比例函数的增减性是一致的。增减性规律总结0102对称性特点分析反比例函数$y=frac{k}{x}$的图象还关于直线$y=x$和$y=-x$对称。反比例函数$y=frac{k}{x}$的图象关于原点对称，即如果点$(x,y)$在函数图象上，那么点$(-x,-y)$也在函数图象上。反比例函数$y=frac{k}{x}$的图象与坐标轴没有交点，因为当$x=0$时，$y$无定义；同样地，当$y=0$时，$x$也无定义。虽然反比例函数与坐标轴没有交点，但可以通过分析得知，当$x$趋近于正无穷或负无穷时，$y$趋近于零；同样地，当$y$趋近于正无穷或负无穷时，$x$也趋近于零。与坐标轴交点情况04反比例函数在实际问题中应用03平行四边形面积问题设定平行四边形的相邻两边为反比例关系，利用已知条件求解未知边长或面积。01矩形面积问题通过设定矩形的长和宽为反比例关系，利用已知条件求解未知边长或面积。02三角形面积问题将三角形的底和高设为反比例关系，根据已知条件求解未知边长或面积。面积问题求解策略通过设定长方体的长、宽、高为反比例关系，利用已知条件求解未知边长或体积。长方体体积问题圆柱体体积问题圆锥体体积问题将圆柱体的底面半径和高设为反比例关系，根据已知条件求解未知边长或体积。设定圆锥体的底面半径和高为反比例关系，利用已知条件求解未知边长或体积。030201体积问题求解方法工作效率问题工作效率与工作时间的反比例关系可用于求解工作总量或工作效率等实际问题。经济学中的供需关系在经济学中，供给与需求往往呈现反比例关系。通过设定供给和需求的关系，可以分析市场均衡价格等问题。速度、时间、路程问题当物体做匀速运动时，其速度与时间成反比例关系。通过设定速度和时间的关系，可以求解物体的路程。其他实际问题应用举例05拓展：反比例函数与相似三角形关系探讨如果两个三角形的两组对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。SAS相似判定如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。SSS相似判定如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。AA相似判定相似三角形判定定理回顾函数图象上的点在反比例函数$y=frac{k}{x}$的图象上取两点A和B，与原点O构成的$triangleAOB$，若满足特定条件（如特定的角度关系），则可能与另一三角形相似。特定的角度关系通常，如果$angleAOB$是一个特殊角（如$45^circ$、$60^circ$、$90^circ$等），或者$triangleAOB$中包含由反比例函数性质决定的特定角度，那么存在与另一三角形相似的可能性。边的比例关系若两三角形中对应边之间的长度成固定比例，这也是判断相似性的重要条件。在反比例函数的背景下，这通常涉及到函数值（即y坐标）与x坐标之间的比例关系。反比例函数中相似三角形存在条件分析示例1已知反比例函数$y=frac{k}{x}$图象上两点A和B，且$angleAOB=90^circ$。通过证明$triangleAOC$与$triangleBOD$相似（其中C和D是垂足），可以推导出关于k的特定结论或解决与面积、长度相关的问题。示例2在反比例函数的图象中，如果存在一个通过原点的直线与图象交于两点，且这两点与原点构成的三角形与另一个已知三角形相似，那么可以通过相似三角形的性质来求解与反比例函数相关的参数或表达式。利用相似三角形解决反比例函数问题示例06总结回顾与课堂练习010405060302反比例函数的概念：形如$y=frac{k}{x}$(其中$k$是常数且$kneq0$)的函数称为反比例函数。反比例函数的图象：反比例函数的图象是两条分别位于第一、三象限和第二、四象限的双曲线，这两条双曲线关于原点对称。反比例函数的性质当$k>0$时，双曲线在第一、三象限，且在每个象限内，随着$x$的增大，$y$值逐渐减小。当$k<0$时，双曲线在第二、四象限，且在每个象限内，随着$x$的增大，$y$值逐渐增大。反比例函数的图象关于原点对称，即如果点$(x,y)$在双曲线上，那么点$(-x,-y)$也在双曲线上。关键知识点总结回顾例题1例题2解析思路点拨思路点拨解析已知反比例函数$y=frac{2}{x}$，求当$x=-3$时，$y$的值。将$x=-3$代入函数$y=frac{2}{x}$中，得到$y=frac{2}{-3}=-frac{2}{3}$。本题主要考察反比例函数的基本性质，即当$x$取某一值时，如何求对应的$y$值。解题时只需将给定的$x$值代入函数中即可求出对应的$y$值。已知反比例函数$y=frac{k}{x}$的图象经过点$(2,-3)$，求$k$的值。将点$(2,-3)$代入函数$y=frac{k}{x}$中，得到$-3=frac{k}{2}$，解得$k=-6$。本题主要考察反比例函数的图象与性质。解题时首先根据题意设出反比例函数的解析式，然后将已知点的坐标代入解析式中求出待定系数$k$的值。典型例题解析及思路点拨已知反比例函数$y=frac{5}{x}$，求当$x=-2$时，$y$的值。练习1答案练习2答案将$x=-2$代入函数$y=frac{5}{x}$中，得