天津市和平区名校2022年高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在等差数列｛%｝中，若S,为前〃项和，2%=3+12,则几的值是（）

A.156B.124C.136D.180

2.若直线），=米一2与曲线y=l+31nx相切，贝!|%=（）

1I

A.3B.-C.2D.-

32

3.已知A43C中内角ARC所对应的边依次为a,b,c,若2a=b+l,c=币,C=三,则AABC的面积为（）

A.挈B.6C.3+D.2g

4.执行如下的程序框图，则输出的S是（）

A.36B.45

C.-36D.-45

（a-2）x,x>2

5.已知函数/（x）=，1丫，满足对任意的实数玉K々，都有‘C"）<0成立，则实数a的取值范

l-l-l,x<2玉一勺

围为（）

A.（1，+°°）B.卜8，£C,卜D.K+00）

6.如图，圆。的半径为1,A，B是圆上的定点，OBVOA,尸是圆上的动点，点P关于直线08的对称点为P，

角x的始边为射线。4,终边为射线0P,将师-丽表示为x的函数/（x）,则y=〃x）在［（）,句上的图像大致

为（）

7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为8,则框图中①处可以填（）.

A.S>7?B.S>21?C.S>28?D.5>36?

8.某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中

抽取一个容量为〃的样本.若样本中高中生恰有3()人，贝IJ〃的值为()

A.20B.50C.40D.60

2

9,复数4在复平面内对应的点为(2,3)0=-2+i,则」=()

z2

10.设机，〃是两条不同的直线。，，是两个不同的平面,下列命题中正确的是()

A.若〃2//a,则a///B.若机J_a,〃2_1_力，则〃_La

C.若机则〃_LaD.若a则加/〃？

11.已知抛物线。：、2=2胡(〃>0)的焦点为尸，过点尸的直线/与抛物线。交于A，5两点(设点A位于第一象

限)，过点A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点A,用，抛物线C的准线交x轴于点K,若若=2,

I4KI

则直线/的斜率为

A.1B.0C.2A/2D.6

2

12.已知集合4={g％-2工一3<()},集合B={x|x-1NO},则3k(AcB)=().

A.(-<X),1)U[3,4<O)B.y/]U[3,”)

C.(-8』)U(3,+W)D.(1,3)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在AA5C中，AB=4,。是A3的中点，E在边AC上，AE=2EC,CD与BE交于息O,若OB=叵OC,

则4ABC面积的最大值为.

冗

14.已知AABC内角A,B,C的对边分别为。，b,c.。=4,b=娓,A=§则cos2B=.

3y+2x-l>0

15.平面区域y+4x—740的外接圆的方程是.

y-x-2<0

16.如图，在体积为V的圆柱9。2中，以线段上的点。为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为匕，

匕，则铝全的值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在三棱柱AOF-BCE中，平面ABC。，平面/WER,侧面ABCD为平行四边形，侧面他瓦■为

正方形，AC±AB,AC=2AB=4,M为ED的中点.

(1)求证：FB//平面ACM；

(2)求二面角M—AC-厂的大小.

18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶

降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：°C)有关.如

果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,

需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过30()瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出y的

所有可能值，并估计y大于零的概率.

19.(12分)已知三棱锥尸-ABC(如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形A3CZ)为边长等于血的正方形，^ABE

和△8CF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：

图一图二

(1)证明：平面平面ABC；

(2)若点M在棱以上运动，当直线BM与平面E1C所成的角最大时，求直线K4与平面M8C所成角的正弦值.

20.(12分)古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计

学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取“名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间(单位：h)

的数据如下：

一周课外

合

读书时间(0,2](2,4](4，可(6网(8,10](10,12](12,14](14,16](16,18]

计

/h

频数4610121424a4634n

频率0.020.030.050.060.070.120.25P0.171

(D根据表格中提供的数据，求“，P,〃的值并估算一周课外读书时间的中位数.

(2)如果读书时间按(0,6],(6,12],(12,18]分组，用分层抽样的方法从〃名学生中抽取20人.

①求每层应抽取的人数；

②若从(0,6],(6/2]中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率.

21.(12分)在直角坐标平面中，已知AABC的顶点A(—2,0),5(2,0),C为平面内的动点，且sinAsin8+3cosC=0.

<1)求动点C的轨迹Q的方程；

(2)设过点尸(1,0)且不垂直于x轴的直线/与。交于P,R两点,点P关于x轴的对称点为S,证明：直线RS过x

轴上的定点.

22.(10分)在平面直角坐标系直力中，以。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

X=-2H-----1

2

为夕=2sine+2acos0(a>0)；直线/的参数方程为,(t为参数),直线/与曲线C分别交于M,N

6

y

2

两点.

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程;

(2)若点P的极坐标为(2,万)，\PM\+\PN\=5y/2,求。的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

因为%+41=2。9=61+12,可得%=12,根据等差数列前”项和，即可求得答案.

【详解】

・.•％+4]=2%=4]+12,

a?=12,

兀13%=13x12=156.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了求等差数列前〃项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前〃项和公式，考查了分析能力和计

算能力，属于基础题.

2.A

【解析】

3,3

设切点为(朝，3)-2),对y=l+3ku求导，得到了=巳，从而得到切线的斜率4=一，结合直线方程的点斜式化简

x/

得切线方程，联立方程组，求得结果.

【详解】

设切点为（工，区0-2）,

3—=女①，

vy=-,.-Jx0

kx0-2=l+31nx（）②,

由①得线=3,

代入②得l+31n/=l,

则%=1,k=3,

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单

题目.

3.A

【解析】

由余弦定理可得片+/一〃。=7,结合2a=。+1可得a,b,再利用面积公式计算即可.

【详解】

=a1+h2-ahfa=2

由余弦定理，得7=/+从—2abcosC=a2+〃_ab，由＜,解得。,

I2a=h+\\o=3

而厂百

Mc1163

所以,'MBC~5absinC=—x2x3x---=———•

故选：A.

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

4.A

【解析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果S的值.

【详解】

i=lW8满足，执行第一次循环，S=0+(-l)'xl2=-l,i=l+l=2；

i=2W8成立，执行第二次循环，S=—1+(—1)2x22=3,i=2+l=3；

32

i=3W8成立，执行第三次循环,S=3+(—1)x3=—6,z=3+1=4；

i=4«8成立，执行第四次循环，S=-6+(-1)4X42=10,i=4+l=5；

i=5W8成立，执行第五次循环，5=10+(-1)5X52=-15,i=5+l=6；

i=6<8成立，执行第六次循环，S=-15+(-1)6X62=21,i=6+l=7；

i=7W8成立，执行第七次循环，S=21+(-1)7X72=-28,i=7+l=8；

i=8W8成立，执行第八次循环，S=-28+(-1)8X82=36,i=8+l=9；

i=9W8不成立，跳出循环体，输出S的值为36,故选：A.

【点睛】

本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等

题.

5.B

【解析】

、2

]_

由题意可知函数y=/(x)为R上为减函数，可知函数y=(a—2)x为减函数，且2(a—2)4-1,由此可解得实

27

数”的取值范围.

【详解】

a-2<0

,13

由题意知函数y=/(x)是R上的减函数，于是有＜l-f解得心京,

2(a-2)<I

因此，实数。的取值范围是1一应£

故选：B.

【点睛】

本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系,

考查运算求解能力，属于中等题.

6.B

【解析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.

【详解】

由题意，当x=0时，P与A重合，则P与B重合，

所以"-珂=|丽|=2,故排除C,D选项；

当0<x4时，户—丽|=|尸/|=24呜—x)=2cosx,由图象可知选B.

故选：B

【点睛】

本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.

7.C

【解析】

根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.

【详解】

第一次循环：S=O,i=l

第二次循环：S=l,i=2

第三次循环：S=3"=3

第四次循环：S=6,i=4

第五次循环：5=10,/=5

第六次循环：S=15,i=6

第七次循环：S=21,1=7

第八次循环：S=28,1=8

所以框图中①处填S228?时，满足输出的值为8.

故选：C

【点睛】

此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.

8.B

【解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.

【详解】

由题意，30=1500x--------------,解得“=50.

1500+1000

故选：B.

【点睛】

本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.

9.B

【解析】

z.

求得复数4,结合复数除法运算，求得」的值.

Z2

【详解】

z.2+3z(2+3z)(-2-z)(2+3z)(-2-z)-1-8/8.

易知4=2+3"则叫W=(一2+i)(-2二)=-5——z

555

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.

10.C

【解析】

在A中，a与£相交或平行；在B中，〃//a或〃ua；在c中，由线面垂直的判定定理得〃_La；在D中，加与

少平行或加u〃.

【详解】

设以〃是两条不同的直线，/小是两个不同的平面，贝!J：

在A中，岩ml/a,mlIp,则a与4相交或平行，故A错误；

在B中，若mX.nt则凡//a或〃ua,故B错误；

在C中，若m//n,则由线面垂直的判定定理得〃_Le,故C正确；

在D中，若mla,则优与/平行或机（=尸，故D错误.

故选C.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.

11.C

【解析】

根据抛物线定义，可得

IAEHA4J,\BF\=\BBt\,

又M//FK〃叫所以理=四』，W1M1=1MI=2,

11

入m614Kl\BF\\BBX\

设|BB,|=m(m>0),贝!]|AA|=2m,贝!jcosAAFx=cosZBAA,=L14J_=4?_—=L

|AB\1""2m+m3

所以疝4&=迪，所以直线/的斜率％=tanZAFx=2后.故选C.

3

12.A

【解析】

算出集合A、8及再求补集即可.

【详解】

由d-2x-3<0，得-l<x<3,所以A={x|-l<x<3},又8={x|xNl},

所以AcB={x[l«x<3},故"(Ac3)={尤[x<l或xN3}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.872

【解析】

先根据点共线得到OC=OD,从而得到。的轨迹为阿氏圆，结合三角形ABC和三角形30。的面积关系可求.

【详解】

——一.2—A.—•32—■A—

设CO=/IC£)=—C4+—C6==C£+—CB

2222

344i

B,o,E共线，则于+：=i,解得2=5,从而。为co中点，故OB=6OC=EOD.

在△80。中，BD=2,OB=COD,易知。的轨迹为阿氏圆，其半径r=2血，

故SAABC=4sAg。。<2BD-r=80.

故答案为：872.

【点睛】

本题主要考查三角形的面积问题，把所求面积进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

【解析】

利用正弦定理求得角B,再利用二倍角的余弦公式，即可求解.

【详解】

4V6

由正弦定理得正一sin6,

T

.„3>/218_7

..sinB=---fcos2B—1—29x—.

86416

7

故答案为：—.

16

【点睛】

本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.

2211912c

15.x+y----x——y----=0

55-5

【解析】

作出平面区域，可知平面区域为三角形，求出三角形的三个顶点坐标，设三角形的外接圆方程为

22

x+y+Dx+Ey+F=0,将三角形三个顶点坐标代入圆的一般方程，求出。、E、尸的值，即可得出所求圆的方程.

【详解】

3y+2x-l>0

作出不等式组y+4x-740所表示的平面区域如下图所示:

y-x-2<0

尤=]

0,解得，）「3,则点A（l，3），

同理可得点8（2,-1）、C（-l,l）,

设AMC的外接圆方程为/+卡+5+取+尸=0,

力+3E+F+10=0

11912

由题意可得'20-E+F+5=0,解得0=-一，E=--,F=――,

-D+E+F+2=Q35'

11Q17

因此，所求圆的方程为x2+y2—〈x—]y—M=o.

故答案为：x2+y2-y-x-^y-^=O.

【点睛】

本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了一元二次不等式组所表示的平面区域的求作，考查数形结合思想以

及运算求解能力，属于中等题.

1

16.-

3

【解析】

根据圆柱QQ的体积为V,以及圆锥的体积公式，计算即得.

【详解】

1111V4-V1

由题得，v,+K=-5oOi-00,+-5^OO2=-5^O,O2=-V,得'7上=§•

故答案为：

【点睛】

本题主要考查圆锥体的体积，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)45°

【解析】

(1)连接BD,交AC与。，连接由MO//EB,得出结论；

(2)以A为原点，AC,AB,A尸分别为x,z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM的法向量，利用夹角

公式求出即可.

【详解】

(1)连接BD,交AC与。，连接M0,

在垃)FB中,MO//FB,

又E6U平面ACM,M。u平面ACM,

所以我B//平面ACM；

（2）由平面A3C£）_L平面A8EF,ACLAB,AB为平面ABC。与平面A3£F的交线，故AC_L平面ABE/，故

AFA.AC,又AFJ_/W,所以AR_L平面ABC。，

以A为原点，AC,AB,Ab分别为x,>,二轴建立空间直角坐标系，

A（0,0,0）,C（4,0,0）,3（0,2,0）,D（4,-2,0）,F（0,0,2）,M（2,-l,l）,

设平面4cM的法向量为而=（x,y,z）,而=（4,0,0）,AM=（2,-1,1）,

in-AC=4x=0

由1---,得石=（0,1,1）,

m-AM=2x-y+z=0

平面ACF的法向量为丽=（0,1,0）,

由cos（A8,,

故二面角M-AC-F的大小为45°.

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

34

18.（1）—.（2）—.

55

【解析】

（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间［20,25）和最高气温低于20的天数，由此能求出

六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.

（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500,求出¥=900元；当温度在［20,25）℃时，需求量为300,求出丫=

300元；当温度低于20℃时，需求量为200,求出丫=-100元，从而当温度大于等于20时，7>0,由此能估计估

计y大于零的概率.

【详解】

解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，

得到最高气温位于区间［20,25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54,

根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C）有关.

如果最高气温不低于25,需求量为500瓶，

如果最高气温位于区间［20,25),需求量为300瓶，

如果最高气温低于20,需求量为200瓶，

543

...六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率？=盂=j.

(2)当温度大于等于25℃时，需求量为500,

¥=450x2=900元，

当温度在［20,25)℃时，需求量为300,

y=300x2-(450-300)x2=300元，

当温度低于20℃时，需求量为200,

y=400-(450-200)X2=-100元，

当温度大于等于20时，y>o,

由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于2(rc的天数有：

90-(2+16)=72,

•••估计Y大于零的概率尸=芸72=g4.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运

算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.

19.(1)见解析(2)2叵

11

【解析】

(1)设AC的中点为。，连接8O,PO.由展开图可知===AO=BO=CO=1.。为AC的

中点，则有POAC,根据勾股定理可证得POA.OB,

则PO_L平面4BC,即可证得平面PAC，平面ABC.

(2)由线面成角的定义可知ABMO是直线BM与平面PAC所成的角，

RC1

且tanNBMO=ZBMO最大即为OM最短时，即M是Q4的中点

OMOM

|加同

建立空间直角坐标系，求出AM与平面MBC的法向量m利用公式sin6=即可求得结果.

\AM\\m\

【详解】

(1)设AC的中点为O,连接BO,PO.

由题意，得PA=PB=PC=PO=1,AO=BO=CO^1.

••,在AR4c中，PA=PC,O为AC的中点，:.PO±AC,

•.在APOB中，PO=1,OB=1,PB=y/2>PO2+OB2=PB2，：.PO±OB.

­.•ACC\OB=O,AC,03u平面，.•.PO,平面ABC,

•.•POu平面PAC,二平面B4C_L平面ABC.

(2)由(1)知，BOLPO,BO1AC,80J_平面PAC,

ZBMO是直线BM与平面PAC所成的角,

BO1

且tanZ.BMO

~0M~~0M

・••当OM最短时，即M是PA的中点时，NBMO最大.

由PO_L平面ABC,OBA.AC,

:.POVOB,PO±OC,

于是以OC,OB,OD所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系,

(1

则0(0,0,0),C(1,0,0),8(0,1,0),A(-1,0,0),P(0,0,1),M--,0,-,

I22)

BC=(1,-1,O),PC=(1,O,-1),MC=IAM=f11,O,1|L

22

设平面MBC的法向量为m=（玉，y,zj,直线MA与平面MBC所成角为8,

m-BC-0W

则由，

m-MC-03%一4二0

令玉=1,得％=1,z,=3,即汾=(1,1,3).

.八\AM-m\22V22

esm9=--------=।=-------

则\AM\\m\J7而11•

直线MA与平面MBC所成角的正弦值为其H.

11

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查线面成角问题，借助空间向量是解决线面成角问题的关键，难度一般.

20.(1)71=200,a=50,P=Q.23,中位数13.2h；⑵①三层中抽取的人数分别为2,5,13；②好

21

【解析】

4

(D根据频率分布直方表的性质，即可求得〃===20(),得到a=50,p=0.23,再结合中位数的计算方法，

0.02

即可求解.

(2)①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；

②由①知，设(0,6］内被抽取的学生分别为x,y,(6,12］内被抽取的学生分别为a,0,c,d,e,利用列举法得到基本事件

的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】

446

(1)由题意，可得〃=——=200,所以a=0.25x2(X)=50,p=——=0.23.

0.02200

设一周课外读书时间的中位数为x小时，

则0.17+0.23+(14—x)xO.125=O.5,解得x=13.2,

即一周课外读书时间的中位数约为13.2小时.

(2)①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为士，

又因为(0,6］,(6,12］,(12,18］的频数分别为20,50,130,

所以从(0,6］,(6,12］,(12,18］三层中抽取的人数分别为2,5,13.

②由①知，在(0,6］,(6,12］两层中共抽取7人，设(0,6］内被抽取的学生分别为(6,12］内被抽取的学生分别为

a,b,c,d,e,

若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为孙，xb9xc9xd9xe9ya9yb,

yd,ye,ab,ac,ad,ae,be,bd,be9cd,ce，de,共有21种,

其中2人不在同一层的情况为xa,xb,xc,xd,xe,ya,yb,yc,yd,ye,共有10种.

设事件M为“这2人不在同一层”，

由古典概型的概率计算公式，可得概率为P(M)=W.

21

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分

析问题和解答问题的能力，属于基础题.

2

Y丫2

21.(1)—+^-=1(y^O)；(2)证明见解析.

43

【解析】

yV

(1)设点。(羽》),分别用表示sinA、表示sin3和余弦定理表示cosC,将sinAsinB+3cosc=0表

IAC|InC|

示为X、丁的方程，再化简即可；

(2)设直线方程代入。的轨迹方程，得(3>+4)V+6阳_9=0,设点P(%,y),R(Z，%)，5(%，一乂)，表示

出直线RS,取y=0,得尤=4,即可证明直线RS过x轴上的定点.

【详解】

(1)设C(%,y),由已知sin4sin3+3cosc=0,

.V|AC|2+|BC|2-|AB|2_

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