【初中数学】【二次函数】8通过图像判断abc代数式的正负

【初中数学】【二次函数】8通过图像判断abc代数式的正负汇报人：AA2024-01-24contents目录引言二次函数图像的基本性质通过图像判断a的正负通过图像判断b的正负通过图像判断c的正负总结与拓展引言01帮助学生理解如何通过图像判断二次函数abc代数式的正负培养学生的数形结合思想，提高分析和解决问题的能力为后续学习二次函数的性质和应用打下基础目的和背景03c的正负决定了抛物线与y轴的交点位置当c>0时，抛物线与y轴交于正半轴；当c<0时，抛物线与y轴交于负半轴。01a的正负决定了抛物线的开口方向当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。02b的正负决定了抛物线的对称轴位置当b>0时，对称轴在y轴的右侧；当b<0时，对称轴在y轴的左侧。代数式abc正负的意义二次函数图像的基本性质02二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$，其中$aneq0$。二次函数的图像是一条抛物线，其形状由系数$a$决定。当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。二次函数的定义和图像对称轴将抛物线分为两个对称的部分，每部分与对称轴的距离相等。抛物线的顶点坐标是$left(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$，顶点位于对称轴上。二次函数的对称轴是直线$x=-frac{b}{2a}$。对称轴和顶点当$a>0$时，抛物线开口向上，函数在对称轴左侧递减，右侧递增。当$a<0$时，抛物线开口向下，函数在对称轴左侧递增，右侧递减。无论$a$的正负，函数在顶点处取得最值，即当$x=-frac{b}{2a}$时，$y=c-frac{b^2}{4a}$。开口方向和增减性通过图像判断a的正负03当a>0时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线。抛物线开口向上对称轴在y轴左侧顶点在x轴下方对称轴x=-b/2a在y轴的左侧，即-b/2a<0。顶点坐标(-b/2a,-(b^2-4ac)/4a)在x轴的下方，即-(b^2-4ac)/4a<0。030201a>0时的图像特征当a<0时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线。抛物线开口向下对称轴x=-b/2a在y轴的右侧，即-b/2a>0。对称轴在y轴右侧顶点坐标(-b/2a,-(b^2-4ac)/4a)在x轴的上方，即-(b^2-4ac)/4a>0。顶点在x轴上方a<0时的图像特征案例二已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在x轴上方。根据这些特征可以判断出a<0。案例一已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，对称轴在y轴左侧，顶点在x轴下方。根据这些特征可以判断出a>0。案例三已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)和(3,0)，且开口向上。根据这些条件可以列出方程组求解出a、b、c的值，并进一步判断出a>0。案例分析通过图像判断b的正负04010204b>0时的图像特征二次函数图像是一个开口向上的抛物线。对称轴在y轴的右侧，即x=-b/2a>0。顶点坐标（h,k）满足h=-b/2a>0，k=(4ac-b^2)/4a。当x=0时，y=c>0，即图像与y轴交点在正半轴上。03二次函数图像是一个开口向上的抛物线。对称轴在y轴的左侧，即x=-b/2a<0。顶点坐标（h,k）满足h=-b/2a<0，k=(4ac-b^2)/4a。当x=0时，y=c>0，即图像与y轴交点在正半轴上。01020304b<0时的图像特征【案例1】已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点（1,0），且对称轴为x=-1，则b的符号为____。案例分析【分析】由题意可知，对称轴x=-1<0，因此b的符号为正。案例分析【案例2】已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点（1,2）和（-1,0），则b的符号为____。案例分析【分析】由题意可知，图像经过点（1,2）和（-1,0），因此对称轴为x=0。又因为当x=1时，y=2>0，所以a>0。因此，b的符号无法确定。案例分析通过图像判断c的正负05

c>0时的图像特征抛物线开口向上当c>0时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线。顶点在x轴上方由于抛物线开口向上，且c为正数，因此抛物线的顶点一定在x轴上方。与x轴有两个交点当c>0时，二次函数与x轴有两个交点，分别对应方程的两个根。当c<0时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线。抛物线开口向下由于抛物线开口向下，且c为负数，因此抛物线的顶点一定在x轴下方。顶点在x轴下方当c<0时，二次函数与x轴有两个交点，分别对应方程的两个根。与x轴有两个交点c<0时的图像特征案例一01对于二次函数y=x^2+2x+3，由于c=3>0，因此其图像是一个开口向上的抛物线，顶点在x轴上方，与x轴有两个交点。案例二02对于二次函数y=-x^2+2x-3，由于c=-3<0，因此其图像是一个开口向下的抛物线，顶点在x轴下方，与x轴有两个交点。案例三03对于二次函数y=x^2-2x+1，由于c=1>0，因此其图像是一个开口向上的抛物线，顶点在x轴上方。又因为该函数的判别式Δ=0，所以该函数与x轴只有一个交点，即顶点是抛物线与x轴的交点。案例分析总结与拓展06观察开口方向当抛物线开口向上时，$a>0$；当抛物线开口向下时，$a<0$。观察对称轴位置对称轴$x=-frac{b}{2a}$。若对称轴在$y$轴左侧，则$a$、$b$同号；若对称轴在$y$轴右侧，则$a$、$b$异号。观察与$y$轴交点当抛物线与$y$轴交点在正半轴时，$c>0$；当抛物线与$y$轴交点在负半轴时，$c<0$。总结通过图像判断abc代数式正负的方法通过斜率判断增减性，通过截距判断与坐标轴的交点。一次函数通过图像判断比例系数的正负，分析函数在不同象限的性质。反比例函数通过观察图像的周期、振幅和相位等特征，分析函数的性质。正弦、余弦函数拓展到其他类型的函数图像分析掌握基础知识多做练习题建立数学思维寻