高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何满分示范练 文-人教版高三数学试题

满分示范课——解析几何【典例】(满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足eq\o(NP,\s\up14(→))＝eq\r(2)eq\o(NM,\s\up14(→)).(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(PQ,\s\up14(→))＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[规范解答](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，eq\o(NP,\s\up14(→))＝(x－x0，y)，eq\o(NM,\s\up14(→))＝(0，y0)，1分由eq\o(NP,\s\up14(→))＝eq\r(2)eq\o(NM,\s\up14(→))得x0＝x，y0＝eq\f(\r(2),2)y，3分因为M(x0，y0)在C上，所以eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,2)＝1，因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.5分(2)由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，则eq\o(OQ,\s\up14(→))＝(－3，t)，eq\o(PF,\s\up14(→))＝(－1－m，－n)，eq\o(OQ,\s\up14(→))·eq\o(PF,\s\up14(→))＝3＋3m－tn，7分eq\o(OP,\s\up14(→))＝(m，n)，eq\o(PQ,\s\up14(→))＝(－3－m，t－n)，由eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(PQ,\s\up14(→))＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，9分又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝所以eq\o(OQ,\s\up14(→))·eq\o(PF,\s\up14(→))＝0，即eq\o(OQ,\s\up14(→))⊥eq\o(PF,\s\up14(→))，11分又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.12分高考状元满分心得1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m－m2＋tn－n2＝12．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x0＝x，y0＝eq\f(\r(2),2)y，没有则不得分；第(2)问一定要写出eq\o(OQ,\s\up14(→))·eq\o(PF,\s\up14(→))＝0，即eq\o(OQ,\s\up14(→))⊥eq\o(PF,\s\up14(→))，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分．[解题程序]第一步：设出点的坐标，表示向量eq\o(NP,\s\up14(→))，eq\o(NM,\s\up14(→))；第二步：由eq\o(NP,\s\up14(→))＝eq\r(2)eq\o(NM,\s\up14(→))，确定点P，N坐标等量关系；第三步：求点P的轨迹方程x2＋y2＝2；第四步：由条件确定点P，Q坐标间的关系；第五步：由eq\o(OQ,\s\up14(→))·eq\o(PF,\s\up14(→))＝0，证明OQ⊥PF；第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论．[跟踪训练]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝eq\f(5,3)上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足eq\o(PM,\s\up14(→))＝eq\o(NQ,\s\up14(→))？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1因为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))在椭圆C上，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝2eq\r(2)，则a＝eq\r(2)，b2＝a2－c2＝1.故椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)不存在满足条件的直线，理由如下：设直线的方程为y＝2x＋t，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3，\f(5,3)))，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋t，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消去x得9y2－2ty＋t2－8＝0，所以y1＋y2＝eq\f(2t,9)，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，故y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(t,9)，且－3＜t＜3.由eq\o(PM,\s\up14(→))＝eq\o(NQ,\s\up14(→))得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－x3，y1－\f(5,3)))＝(x1－x2，y4－y2)，所以有y1－eq\f(