机械建模与仿真pub

建模与仿真北京科技大学机械工程学院张杰ZJ_me@16.1板带轧制问题四辊轧机轧件热轧宽度：700～1900mm厚度：1.0～25mm温度：700～1200℃冷轧宽度：700～1900mm厚度：1.0～25mm轧辊工作辊：直径：500～700mm长度：1250～2250mm支持辊直径：1300～1500mm长度：1250～2250mm轧制力：<4500t2四辊轧机示意图36.2塑性变形问题－轧制力计算（1）杆件压缩变形载荷计算条件弹塑性材料屈服极限为σs

强度极限为σb

单向压缩主应力σ1

方向

σ2

＝σ3

＝0，面积为S压力P计算结果弹性阶段：P＝S·σ＝

S·Eε屈服阶段：P＝S·σs

强化阶段：P＝？问题—圆柱体的墩粗摩擦导致的鼓形变形，变形不再是均匀的变形较大时材料进入强化阶段二维和三维变形问题εσσbσsPPσ1σ2σ34（2）简单轧制过程两个轧辊都驱动两个轧辊直径相等两个轧辊转速相同轧件做等速运动轧件上除轧辊施加的力以外，无其它作用力轧件的机械性能均匀金属不可压缩：h0b0L0=h1b1L1轧制力的作用方向简单轧制：垂直有张力时：不垂直5（2）基本假设1）平面变形（应变）假设描述：轧件只在厚度方向和轧制方向发生变形，宽度无变化成立理由：轧件宽度大，横向变形阻力大，难变形2）平面断面假设描述：由于轧件厚度小，轧前垂直平面在轧中和轧后仍然为平面；应力特点：忽略切应力；平行平面上的应力视为主应力；水平方向应力沿轧件高度均匀分布；3）变形阻力在轧制区为常数6（3）静力平衡微分方程取微单元，

在x面上有应力分量

sx

，txy

，

txz

在x+dx面上，应力分量相对x

截面有一个增量根据微分单元体x方向平衡，∑Fx=0，有简化并且略去高阶小量，可得7（4）轧制变形区内的微分方程前后滑区前滑区：轧件速度大于轧辊速度后滑区：：轧件速度小于轧辊速度在后滑区接触弧上某点（x,y）处取一微分体积abcd

宽度：dx，高度：y~(y＋dy)在接触ab

弧上的接触力:

单位压力px

单位摩擦力tx

8（4）轧制变形区内的微分方程接触弧ab上的合力的水平分量为微分体内合力的水平分量为水平方向力的平衡条件在接触弧上的（x，y）点，有代入上式并略去二次微分项，得后滑区的静力平衡方程9在前滑区，摩擦力方向与后滑区相反，静力平衡方程为两式可统一写作该方程有4个未知数：px，σx，tx，y，如何求解？方法：通过塑性变形条件，寻找px，σx之间的关系通过轧辊与轧件表面的接触性质，确定px，tx

之间的关系y(x)是接触弧曲线方程10（5）塑性方程（屈服条件）特雷斯卡（Tresca）屈服条件（最大剪应力理论）

σ1-σ3=σs

（σ1≥σ2≥σ3）米塞斯（Mises）屈服条件（形状改变比能理论）两者可以统一写作σ1-σ3=βσs——塑性方程当采用米塞斯（Mises）屈服条件时，β＝1～1.15

对于板带轧制，取β＝1.15，故有σ1-σ3=1.15σ

σ为变形抗力，与材料、变形条件（变形温度、变形程度、变形速度）有关11（6）卡尔曼方程设微单元abcd上的垂直和水平应力就是主应力在水平方向：σ3＝σx

在垂直方向：σ1＝接触弧ab上的合力的垂直分量，即因第二项摩擦力tx

的垂直分量比较px

的垂直分量小得多，可忽略，故有

σ1＝

px代入塑性方程σ1-σ3=βσ

，得

px

-

σx

=βσ

＝

k

二边取微分，有dpx

=dσx以上给出了px，σx

之间的关系12设压力px与摩擦力tx之间为干摩擦，故可给出px与tx之间的关系

tx=μ

px

px

-

σx

=βσ

＝

k将 dpx

=dσx

代入静力平衡方程

tx=μ

px得到著名的卡尔曼单位压力微分方程设接触弧的曲线y=f(x)、和摩擦系数μ、入口和出口张力σ0、

σ1已知则卡尔曼方程化成简单的一阶微分方程，解出单位压力px

(x)

边界条件：在入口处px

=k–σx

=k–σ0

边界条件：在出口处px

=k–σx

=k–σ1

｛13（7）卡尔曼方程的采利柯夫解若将接触弧近似为一直线，由上式进一步解出其中

ho、h1、hx

入口、出口和接触弧上(x,y)处的板带厚度

l接触弧长，Δh=ho-h1如果不用直线代替接触弧，结果会更准确14单位压力px

的分布

摩擦系数越高， 单位压力的峰值越高 单位压力越大。15（8）奥罗万单位压力微分方程轧辊与轧机之间不一定产生滑动，当接触面间的摩擦力t>τs

时，出现粘着，如果，假设在整个接触区为全粘着，这时，轧件在高度方向变形是不均匀的，因而，沿轧件高度方向的水平应力分布也是不均匀的。取圆弧形单元，令圆弧单元水平合力为零，得西姆斯解法——西姆斯单位压力公式16（9）总轧制力的计算当sinφ

很小时，式子的后两项可忽略，则17（10）轧制力计算的误差分析轧辊与轧件间的接触的处理干摩擦tx=μ

px

，μ=

？全粘着其它，如干摩擦＋粘着轧件的变形特性在变形区内轧件全部是塑性变形（忽略金属的弹性）？在塑性变形区内变形阻力σ为常数（无强化）？若考虑强化，如何描述？εσσsεσσsεσσs弹塑性弹塑性（有强化）刚塑性18轧辊的弹性变形接触弧按刚性轧辊计算？考虑轧辊弹性变形时的接触弧如何计算？196.3弹性变形问题－辊系变形计算（1）板带轧机的辊系二辊轧机 四辊轧机六辊轧机二十辊轧机工作辊BCDA二中间驱动辊二中间驱动辊一中间辊一中间辊支持辊二中间随动辊支持辊支持辊支持辊20（2）四辊轧机的辊系变形21辊系弯曲变形——辊缝形状变化——板带断面形状变化 板带断面形状 板带断面形状的现场测量22板带断面形状变化——板带平坦度变化（板形问题）轧制力很大——出现边浪 弯辊力很大——出现中浪辊系弯曲变形——板带断面形状变化——平坦度变化23（3）能够引起辊缝形状变化的其它因素轧辊的局部弹性压扁 工作辊的辊形轧辊的交叉246.3.1简支梁模型（1）简支梁弯曲变形计算假设材质均匀断面形状对称长径比大于8分布载荷py(x)均匀分布，其合力=2P弯曲变形y(x)=y1(x)+y2(x)y1(x)—弯矩引起的弯曲变形y2(x)—剪切力引起的弯曲变形轧辊是简支梁吗？25弯矩引起的弯曲变形（纯弯曲变形）微分方程

E－弹性模量；I－惯性矩；M(x)－弯矩；P－支反力；D－直径若全长截面形状相同（I,D不变），则有解析解26剪切力引起的弯曲变形微分方程

G－剪切模量；D－直径；P－支反力；解析解27辊间弹性压扁变形设辊间压力为分布为p(x)辊间的压扁为（Föppl公式）28（2）二辊轧机辊系弯曲变形的计算建模圆柱形简支梁载荷轧制力（P）大小，沿轧辊轴向的分布py(x)压下力（Pb

）大小：Pb=P29（3）四辊轧机辊系弯曲变形的计算建模二根简支梁辊间作用由分布力代替载荷轧制力（P）大小，沿轧辊轴向如何的分布弯辊力（F）压下力（Pb

）大小：Pb=P±2F辊间作用力分布假设，如按直线或抛物线分布30（4）简支梁解析解法的优缺点优点简单可以得到解析解缺点只适合载荷分布比较简单的情况，如均匀分布计算四辊轧机时，假设辊间力与实际情况有偏差轧辊的长径比一般大于8，不符合简直梁的条件，误差大办法对于前二个缺点，可以采用弹性基础梁模型316.3.2弹性基础梁模型假设工作辊和支持辊均为完全弹性梁将工作辊轧辊看作是置于弹性基础上的梁微分方程

E－工作辊弹性模量

Iw－工作辊惯性矩

k

－弹性基础的等效弹性系数

yw－工作辊的弯曲变形解析解

，A、B、C、D为积分常量，由载荷与边界条件确定32弹性基础的等效弹性系数k=k1+k2 k1－工作辊与支持辊之间等效弹性系数

k2－工作辊与工作辊之间等效弹性系数

li－轧辊轴向的接触长度

δi－两辊中心线径向接近量

D1、D2—二个辊的直径

b—辊间接触压扁宽度

υ—轧辊材料的泊松比33缺点不能考虑工作辊与支持辊之间的载荷变化没有考虑支持辊的弯曲变形工作辊与轧件间接触的处理不够合理复杂载荷、辊形条件下难求解析解346.3.3基于弹性梁的数值方法（1）原理取一段受分布力的悬臂梁将梁其分成m段（单元），单元宽度Δx作用于单元的分布力用集中力代替设：

Pj—第j个单元受到的集中载荷

αij

—当Pj＝1时，在第i个单元上产生的变形，称影响系数，可以用材料力学的方法计算第i单元的变形为列方程组并求解PiPjyB(i)Pxy(x)35（2）应用假设轧辊结构和载荷对称，取一半并视作悬臂梁，分成m段分布载荷支持辊：来自工作辊沿轴向分布的作用力工作辊：来自支持辊沿轴向分布的作用力＋轧件沿轴向分布的作用力称影响函数法（分割法）36优点可以考虑特殊辊形计算速度快缺点本质上还是基于弹性梁的计算方法，有误差轧制力需要假定辊间接触的处理还不完善376.3.4有限元单元模型简支梁和弹性梁法计算弯曲变形存在的共同问题轧辊＝梁？关于梁的计算的考虑：基于纯弯曲假设：横截面变形前的平面变形后仍为平面所以，沿梁的高度，截面的正应力已知（按线性分布）高度方向无挤压变形所以，可将梁沿轴向进行分段（离散化），进行数值计算如果不按梁处理横截面的变形和应力不确定是否可以再沿高度进行离散？PiPjyB(i)38二维变厚度有限元模型同时在长度和高度方向进行离散缺点，层与层之间处理简单能否在厚度方向进一步离散？39三维有限元模型406.3.5辊系变形计算的三维有限单元模型优点精度高可处理任意辊形可以根据具体情况计算二分之一或四分之一缺点建模困难计算量大单元多需要迭代对计算机要求高416.4振动问题－轧机振动分析振动系统单自由度弹簧质量系统多自由度弹簧质量系统连续弹性体mkxpm2k1x2p2m1k2x1L2L42单自由度弹簧质量系统的求解方法微分方程其中：c—阻尼

k—弹簧刚度解析解其中：

ω=2πf—为固有频率kmc43多自由度弹簧质量系统的数学模型m2k1x2p2m1k2x144多自由度系统的模态分析固有频率振型多自由度系统的动态响应振型叠加法逐步积分法45弹性体振动的求解方法梁（弦）的横向振动问题板的横向振动问题任意弹性体在可能情况下，尽量化成多自由度系统2L46轧机振动的主要形式垂直振动与轧制方向和轧辊轴线垂直水平振动沿轧制方向扭转振动绕轧辊轴线周期性扭转47轧机振动测量 传感器布置 轧制速度振幅－频率－时间位移－时间48振动测量波形机架立柱、上横梁上支持辊上工作辊下工作辊下支持辊下横梁49垂直自激振动仿真分析—自激振动分析

波形：振动波形是按指数形式发展。振幅：上下工作辊的振幅最大，约为支持辊振幅的10倍，机架振幅最小，这与轧辊间相对运动关系实测结果一致。机架立柱、上横梁上支持辊

上工作辊下工作辊

下支持辊下横梁

50轧机振动的危害对生产生产过程不稳定造成生产中断对设备动态载荷远远大于静载荷疲劳破坏对产品质量引起厚度周期变化导致轧辊表面出现振纹对环境噪音地基、厂房振动51四辊轧机垂直振动模型轧机