数学山东实验中学2022届高三3月份诊断性训练

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山东省实验中学三月诊断训练试题

数学试题2022.3

一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分

X—4

1.已知集合么={》|二二<0},集合6={x[3Kx<5},则306=()

x-5

A.(3,5)B.[3,5)C.[4,5)D.(4,5)

[Io•

2z=--(aeR),若z为实数，则a的值为()

a+3i

A.|B.|C.|D.|

3..若非零向量两万满足|而|=|万I，则“|3而—2引=|2而+3万|”是umlnn的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D,既不充分也不必要条件

4.2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线,

为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这4名技术人员中随机安排3

人分别去往北坡登山路线中标记为I、II、III的3个崎岖路段进行信号检测，若甲没有安排去往标

记为】的崎岖路段，则不同的安排方法共有（）

A.12种B.18种C.24种D.6种

2、-2T

5.函数y=c----------的图象大致为（）

|x-COSX

6.2020年11月24日4时30分，长征五号途五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约2200

秒后，顺利将探月工程常娥五号探测器送人预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的

最大速度v（单位:km/s）与燃料质量〃（单位：kg）、火箭质量m（单位：kg）的函数关系为

v=21nfl+^-j,若已知火箭的质共为3100kg,火箭的最大速度为11km/s,则火箭需要加注的燃料为

(参考数值为ln2»0.69;ln244.69»5.50,结果精确到0.01)()

1

A.243.69/B244.69/C755.44tD890.23t

22

7.如图，已知尸为双曲线C：「—4=1（〃>01>0）的右焦点，平行于x轴的直线/分别交。的渐近线

a~b~

和右支于点48,且NOAF=90。,NOBF=NOFB,则。的渐近线

程为（）

A.y-±^-xB.y—+^-xC.y=±xD.y=+y/2x

22

"x—7'>°,则函数y=/[/（x）+l]的零点个数是（）

8.已知函数/（x）=<

x2+2x,x<0

A.2B.3C.4D.5

二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9.新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着

很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产

业比重，图2为第三产业中各行业比重.以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（）

A.在第三产业不三户生57%

中，“批发和田।

零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平

B.若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元

C.若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元

D.若“金融业”生产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元

10.数列｛《,｝的前”项和为5"，若数列｛。,｝的各项按如下规律排列:

J_J_2j_23_l_234_1_2/7—1

二‘二'二'='-7'-7'二'二'二'二''''1'-——,・・・，以下说法正确的是（）

2334445555nnn

2

3

A-%4=石B.数列a{,a2+%,%+a5+<z6,a7+as+%+%0是等比数列;

o

+H

C.数列q,a,+%,%+%+%，%+4+。9+。10,…的前〃项和为T=-----；

4

D.若存在正整数左，使S*＜10,渠+金10,则4=：.

TTTT

n.已知点（二,0）是函数/（x）=2s山（0X-；）图象的一个对称中心，其中3为常数且。e（0,3）,则以下

63

结论正确的是（）

A.函数/（x）的最小正周期为27r

B,将/（x）的图象向右平移卷个单位所得的图象关于y轴对称

C.函数/（x）在［0,m上的最小值为一百D.若、＜玉＜X2〈万，则/«）＞/（》2）

C7MY+1

12.已知函数/（x）=——,则下列结论正确的是（）

e

A.函数/（x）在（0,兀）上单调递减B.函数/（工）在（一兀,0）上有极小值

C.方程/（幻=；在（一肛0）上只有一个实根

D.方程/（x）=工+也竺在（-.°）u（。彳）上有两个实根

exzz

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.曲线^二2x三—1」在点（-1,一3）处的切线方程为________.

x+2

14.若抛物线/=2Px（p＞0）上的点/（%,—3）到其焦点的距离是A到v轴距离的2倍，则p等于

15.若（x2-一六）”的展开式中第5项为常数项，则该常数项为..（用数字表示）.

16.矩形46。。中，AB=6，BC=1,现将A4C。沿对角线AC向上翻折，得到四面体0—Z6C,

则该四面体外接球的表面积为；若翻折过程中8。的长度在［2,以勺范围内变化，则点。的运

动轨迹的长度是.

四.解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.（本小题10分）在△Z8C中，内角48,。的对边分别为c,已知asin8=6sin1/-g

（1）求N；

（2）。是线段上的点，若AD=BD=2,CD=3,求A4DC的面积.

3

18.(本小题12分)已知数列｛4｝中，q=l,〉0,前〃项和为S,，若为=后+琳='，(neN：

且心2).

(I)求数列｛g｝的通项公式；(II)记c“=%-2%,求数列｛%｝的前〃项和7；.

19.(本小题12分)如图，在四棱锥尸一Z8CD中，底面Z8CQ为正方形，R41.底面Z8CD,尸4=/8,

£为线段P8的中点，尸为线段上的动点.

(1)求证：平面/£户，平面P8C.

(2)试确定点尸的位置，使平面ZEE与平面PC。所成的锐二面角为

30°.

20.(本小题12分)某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD,其中至

少两项、至多三项是符合题目要求的.在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部

分选对的得2分.小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否,

只能瞎猜.假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为』.

2

(1)写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的

概率；

(2)从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？

21.(本小题12分)已知离心率为"的椭圆E:：+==1(a>b〉0)过点M(2,l).

2ab~

(1)求椭圆£的标准方程；

(2)已知椭圆£的内接四边形力5c。的对角线5。交于点尸(1,1),且"=2定，BP=2PD,

求直线力夕的斜率.

22.(本小题12分)已知函数/(x)=lnx-x+2sinx.

(1)证明：/(x)在区间(0,^)存在唯一的极值点;

(2)试讨论/(x)的零点个数.

4

山东省实验中学三月诊断训练试题答案

一、二选择题

123456789101112

DDCBACCDACACDBCABD

三、填空题:

13>5x-y+2=014、315、_J516、4n；空:

12

四、解答题:

,..,f1..[

bsinA=b12—sinA---2-cosAJ

17解析：（1）由正弦定理得asmB=8sinR.则

-sinA=-^-cosA

化简得：222分

.27r

J—A—__

即tan工=-73,：工6（0,开），则3

4分

（天、

（2）设

27r7T

ZBAD=0,ZADC=20,ADAC=—-d,ZACD=--0

由题意得:335分

32

CDADsin（逐一e]sin

I3）130

在△工DC中，smZDACsinZACD,则6分

,32

^3~~-1.q八1八

—cos8+—sin8忑cosd一—sindsin6=—cos&

2222,得57分

诬”叵,c。包包

结合sin?d+cos?6=1,可得

14148分

sin20=2sin6cos&=，第,

则149分

S4皿J/DCDsin乙4DC」x2x3x型=&1

AQC221414

10分

18.解析：（1）在数列｛怎＞中，％=$久-凡-15＞2）,

①

%=+瓦T②且怎＞°,.•.①式+②式得：S一返二=1（»2）

1分

5

所以数列｛£｝是以J豆=J[=l为首项，公差为1的等差数列，……2分

=[+(阀-1)=4：W+1=阀？........3分

当万>2时，4=S*_g_i=%?—(％—I)?=2万一1,..........4分

当？i=l时，生=1,也满足上式，........5分

所以数列的通项公式为4=2%-1...........6分

(2)由(1)知，%=2忽-1,:.C*=(2"1).2*1,

则北=1・2+323+5-25+…+(2%—3)-22I+(2%-I).22*T①…7分

47；=1-23+3-23+5-27+--+(2«-3).22"-1+(2«-1)-22K+1②…&分

①—②俎-37；=2+2(23+25+••-+22*-1)-(2«-1)22s+1。八

，1寸•***yyj

-2+2-1-4、'3U).……]]分

.(6»-5)-22,!+1+10

:.=--------------------------

9..........12分

19.【解析】解法一：(1)因为P4_L底面力58,BCu平面，5s,

所以24_LEC.1分

因为3C7?为正方形，所以3_L3C,

又因为R4n工8=所以3C_L平面为8.2分

因为至u平面H48,所以/S_LBC.3分

因为取=43,与为线段产8的中点，所以丝_L%,4分

又因为产8nHe=3,所以原JL平面产8c.5分

又因为平面力EF,所以平面至F_L平面产3c.6分

,..

(2)因为FN_L底面MS,ABLAD,以上为坐标原点，分别以.，皿，上产的方向为x轴，沙轴,

z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系工一物,

设正方形工BCD的边长为2,则用0,0,0)乃(2,0,0),C(2,2,0),少(0,2,0),严(0,0,2),£(1,0,1),

7分

,♦,，，♦

所以花=Q0,1),比=(2,2,-2),如=(0,2,-2)

设点F的坐标为(2，％°)(°＜以＜2),所以4尸=(2,40).设友=为平面顶1的法向量，

6

m-PC=0,JXj+y2-z2=0,

则［%尸£）=0,所以［乃-22=0,

取力=1,则活=（0/」）.................io分

因为平面3?与平面尸⑵所成的锐二面角为30°,

18s30标三N-口+勾一下

..J.而—互以2+4,、

所以"I,11分

解得兄=1,故当点尸为aC中点时，平面形尸与平面尸⑵所成的锐二面角为30。......12分

20【解析】（1）依题意，对于这道多选题，可能的正确答案AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD共有

种,…........2分

且这10种正确答案是等可能的.记事件A为“小明这道题随便选2个或3个选项能得5分”，根据古典

产⑷=—

概型的概率计算公式，有104分

（2）如果小明只选一个选项，那么他这道题的得分X的所有可能取值为0和2,且

nJ+C239

F(X=2)==-P(X=6=1一产(星=2)=|

故X的分布列为

£（^）=0x-+2x-=-

X的数学期望为555........................................6分

如果小明只选两个选项，那么他这道题的得分y的所有可能取值为0,2,5,且

1cli7

尸（y=5）=Rp（y=2）=-^=-p（r=o）=i-p（y=2）-p（r=5）=-

，，

故y的分布列为

7

y的数学期望为io510io.................................................9分

如果小明只选三个选项，那么他这道题的得分z的所有可能取值为o和5,且

19

尸（Z=5）=已P（Z=0）=l-P（Z=5）=^

故z的分布列为E

06)

911

£(Z)=0x—+5X-!-=1

Z的数学期望为10102...........................................................11分因为

下（幻＞“（y）＞£（z）,所以从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选

项..........................................................................12分

/22

------2-----=—a=Ab

21【解析】（1）依题意，a2.............................................1分

22I21

____|_____]

又"（2,1）在椭圆£上，有L1,所以02=8,/=2............................3分

因此，椭圆E的标准方程为§2・.......................................................4分

一d3r,3-必]

⑵设点上（々，珀，如”2）,则由Q=2记可得〔2'2J.........5分

f2

--~r—-=1,

,82

’（3-再）

'Did

由力、。因此两点在椭圆上，有

E1826分

3—,3（2h-3）一

两式相减得82,即2々+8万-7=°........................&分

同理可得芥供

22+82-7=0...............................................................................10分

_2

因此，直线45的方程为2*+81y-7=°,进而可得直线力8的斜率为4.……12分

8

...=--l+2cosx

22【解析】（1）函数J的定义域为B，+8）,导函数为x.……1分

0<x<—/"(x)=--y-2sinx<0、0,^|

当2时，x，所以在I2/单调递减......2分

又因为

­呜X。呜蜀

根据函数零点存在定理，J在区间I2/有且只有一个零点U2.）.......3分

（三

当°<x</时，/⑶>0.当x>/时，/'（X）<0.因此，“X）在（0,x（））单调递增，在1°,2

单调递减，故/（X）在区间I2J存在唯一的极值点”一%........4分

f、1g,W=--i

(2)令g(x)=lnx—x,则x当0<彳<1时，g'（x）>°；当了>1时，g3<0因

此，g0）在（0，1）单调递增，在（1，池单调递减...................5分

型>4

由于/(x)=g(x)+2sinx«g(x)+2，且当x>4时，S(^)<g⑵=岳4一4<一2,故当?

时，〃x）<0,从而"x）在区间

冗3冗

—<x<—

当22时，cosx<0,

.冗冗八八，，3冗1

/

冗3冗

点9分

△兀71

U<x<一//\/Q\

当2时，由（1）知」（x）在（U,而）单调递增，在2单调递减,又

-+l<g(l)+l=O,/(x)>/

/6MSo即。

9

丁(月在区间(，5)有且只有一个零点电1石，°

根据函数零点存在定理,11分

综上所述，/(X)有且只有2个零点........................................12分

/M、(M\M

6.因为v=21n1+—，所以ll=21n1+——，所以1+——=e$5,所以

Im)I3100J3100

M=3100(户一1卜3100x243.69=755439(kg厚755.44(t).故选C.

又点在双曲线C上，所以

丁一［=1,将”=她代入，设反…),则由rL得.皆可

a-b-C

y-n

得m-=

c*

设直线OA,.4F的斜率分别为ko.A.k"

XZOBF=ZOFB,所以08=0尸

MF=90

所以=L因为〃。，

所以0F，儿”=一1,

nb

化简得"

即ana,c2=aJ+6J

所以“fT~c

所以双曲线C的渐近线方程为《/=士丁省ab

ifn=—

Inx+l,x>0

8.【答案】D令Z=〃x)+1=,x

(x+l)\x<0

①当Z>0时，/(z)=ln£-l,则函数/«)在(0,+8)上单调递增,

由于/(1)=一1<0,/(2)=ln2-1>0,由零点存在定理可知，存在4e(1,2),

使得了G)=o；

②当ZS0时，/(/)=?+2/,由/1)=/+2£=0,解得与=-2,^=0.

作出函数£=〃力+1，直线£=小』-2、2=0的图象如下图所示：

由图象可知，直线£=4与函数£=/(力+1的图象有两个交点；

线2=0与函数£=〃力+1的图象有两个交点；线£=—2与函数£=/(力+1的图象有且只有一个交点.

综上所述，函数y=/［/(q+1］的零点个数为5.故选：D.

10

9【解析】解：对于选项4在第三产业中，”批发和零售业”与“金融业”的

生产总值之和所占比为16%+16%=32%,，，其他服务业，，的生产总值占比32%,

所以“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总

值基本持平，故选项4正确，

对于选项5：若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，因为“租赁和商

-=250000

务服务业”生产总值占比6%,所以第三产业生产总值为‘％亿元,

又因为“房地产业”生产总值占比13%,所以“房地产业”生产总值为13%X250000=3250%乙元，故

选项5错误，

对于选项C：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比16%,所以第三产业生

噌=26250。

产总值为亿元，故选项C正确,

对于选项〃：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比16%,所以第三产业生

空^=26250。

产总值为16%亿元，又因为第三产业生产总值占比57%,第一产业生产总值占比6%,所以第

当著x6%冬27631

一产业生产总值为S7族亿元，所以选项。错误

(1,0)f(x)=2sln(a)x--)

11【解析】解：因为点6是函数3图象的一个对称中心，

/,(-)=02sm@x三一三)=0

所以6，即63,解得3=2+6心土€2,又因为3€(0,3),所以3=2.

T=-=-=./-(x)=2sin(2x--)-

n3

4最小正周期为32故错误.B向右平移修个单位得函数g(x)=2cos2x,

xe[0-y]2x-je[-py-]

以(劝y关于N轴对称，故正确.C当2时，333,

sin(2x-^)e[-^-41「后一,、[°弓]6

所以32所以ra)e[-V5,2],所以函数/(X)在2上的最小值为一VI故正确.〃

_zirIlir、_nr2ff3tr-zllir2nr、汽it_r2rr-.

当%£（彳2，71T2）时，2x--363,—2],〃幻单调递减，当123时，--36[-z3->37r],/（幻单调递增,

-<Xi<%2<

所以2，则〃/)>/(打)，故错误.故选：BC.

11

sinx+1、cax-sinr-l

f(x)=,所以小)二「^

12【解析】解：因为

sin(x+巧>]

当f(x)>0,upcosx-sinx-1>0,所以>2

2IOT+^-<X+^.<2kn+—,_2kn-^<x<2kir

所以44)kcZ,所以2,keZ,

,_-3<%<0^<x<2n

当"0时，2,当k=i时，2

sinfx4_3T

当f'(x)<0,即cosx—sinx