小学奥数 分解质因数一（含答案）

5-3-4.分解质因数（一）

目■学目假

i.能够利用短除法分解

2.整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为△☆xZY&x...x△☆的结构，而且

表达形式唯一”

一、质因数与分解质因数

（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.

（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30=2x3x5.其中2、3、5叫做30的质因数.又如12=2x2x3=2?x3,2、3都叫做12的质因数，

其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分

解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

（4）.分解质因数的方法：短除法

2[12

例如：2怆，（1-是短除法的符号）所以12=2x2x3;

3

二、唯一分解定理

任何一个大于1的自然数〃都可以写成质数的连乘积，即：n=p；1'xxxxp『其中为质数，

<a2<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为〃的质因子分解支.

例如：三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.

分析：：210=2x3x5x7,.•.可知这三个数是5、6和7.

三、部分特殊数的分解

111=3x37;1001=7x11x13;11111=41x271;10001=73x137;1995=3x5x7x19;1998=2x3x3x3x37;

2007=3x3x223;2008=2x2x2x251;10101=3x7x13x37.

模块一、分解质因数

【例1】分解质因数20034=。

【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空

【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分

【解析】原式=2x33x7x53

【答案】2X33X7X53

【例2】三个连续自然数的乘积是210,求这三个数是多少？

【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空

【解析】210分解质因数：210=2x3x5x7,可知这三个数是5、6和7。

【答案】5、6和7

【例3】两个连续奇数的乘积是111555,这两个奇数之和是多少？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空

【解析】111555分解质因数：111555=3x3x5x37x67=(3x3x37)x(5x67)=333x335,所以和为668.本讲

不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111=3x37。

【答案】668

【巩固】已知两个自然数的积是35,差是2,则这两个自然数的和是.

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题

【解析】35=1x35=5x7,5、7差2,两个自然数的和是5+7=12

【答案】12元

【例4】今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是o

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】填空

【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题

【解析】11x12x13=1716,12x13x14=2184,所以是2184

【答案】2184

【例5】如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126,那么，它们的和是.

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空

【关键词】迎春杯，五年级，初赛，第3题

【解析】126=2x32x7,因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为9和14,它们的和为23.

【答案】23

【例6】4个一位数的乘积是360,并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大

的一个是多少？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答

【解析】将360分解质因数得360=2x2x2x3x3x5,它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个

是合数，所有该合数必至少为6-3=3个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4

个乘数分别为3,3,5,8,所组成的最大四位数是8533.

【答案】8533

【例7】已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225,那么他们年龄的和为多少？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答

【解析】基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到

589225=1x13x25x37x49,五个人的年龄和为125岁。

【答案】125岁

【例8】如果两个自然数的和与差的积是23,那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，初赛，4题

【解析】根据题意列式子如下：(。+与(。-%)=23,因为23分解质因数是1与23,所以。+6=23,。-6=1,

根据和差关系算出a=12,b=\\,所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23,

【答案】23

【例9】2004x7x20的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答

【解析】首先分解质因数，2004x7x20=2x2x2x2x3x5x7x167,其中最大的质因数是167,所以所要求

的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数.165=3x5x1,166=2x83,168=2x2x2x3x7,

169=13x13,所以165x166x167,166x167x168,167x168x169都没有4个2,不满足题意.说明

167不可行.尝试334=167x2,335=5x67,336=2x2x2x2x3x7,

334x335x336=2x2x2x2x2x3x5x7x67x167,包括了2004x7x20中的所有质因数，所以这组

符合题意，以此三数之和最小为1005.

【答案】1005

【例10】A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和。那么4、8两数之差的

最大值是。

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第8题，10分

【解析】2007=1x1x3x3x223=1x1x1x9x223=1x1x1x3x669=1x1x1x1x2007,所以A的可能值是231或235或

675或2011,又2007=1x3x3x223=1x1x9x223=1x1x3x669=1x1x1x2007,所以8的可能值是230或

234或674或2010,A、8两数之差的最大值为2011-230=1781„

【答案】1781

【例11](老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？)

大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。

问他们四个人的年龄各是几岁？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空

【解析】题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来

分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。

48384=28x33x7=(22x3)x(2x7)x24x(2x32)=12x14x16x18,由此得出这四个人的年龄分别

是12岁、14岁、16岁、18岁。由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，

当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384的个位数字不是0,显然这四个数中，没有

个位数字是。的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8,又因为1。4<48384,而48384<2。4,

所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14

岁、16岁、18岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

【答案】12岁、14岁、16岁、18岁

【例12】甲数比乙数大5,乙数比丙数大5,三个数的乘积是6384,求这三个数？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答

【解析】将6384分解质因数，6384=2x2x2x2x3x7x19,则其中必有一个数是19或19的倍数；经试算，

19-5=14=2x7,19+5=24=2x2x2x3,，恰好14x19x24=6384,所以这三个数即为14,19,24.

一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19不符合要求，下一个该考虑

38,再下一个该考虑57,依此类推.

【答案】14,19,24

【例13】四个连续自然数的乘积是3024,这四个自然数中最大的一个是多少？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空

【解析】分解质因数3024=24*33x7,考虑其中最大的质因数7,说明这四个自然数中必定有一个是7的倍

数.若为7,因3024不含有质因数5,那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10仍含

有5,不行)，经检验6、7、8、9恰符合.

【答案】9

【例14】植树节到了，某市举行大型植树活动，共有1430人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每

队人数在100至200之间，则有分法()o

A、3种8、7种C、11种。、13种

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】选择

【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第4题

【解析】只要找到100到200之间可以整除1430的数即可。1430可分解成2,5,11,13的乘积，所以可以

按每组110人，130人，143人分组，共有3个方案。所以答案为A

【答案】A

【例15】a、6c、d、e这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3,6,15,18,

20,50,60,10(1,120,300.那么，这五个数中从小大大排列第2个数的平方是.

A.1B.3C.5D.10

【考点】分解质因数【难度】5星【题型】选择

【关键词】迎春杯，中年级，复试，2题

【解析】D,解：设a<b<c<d<e。由ab=3,ac=6推知c=2Z?;由ce=120,加=300推知d=*c=56。

2

bc=bx2b=2b2,bd=bx5b=5b2,cd=26x5。=10〃。在15,18,20,50,60,100中，满足2:5:10的

三个数是20,50,100,所以属=100+10=10。

【答案】D

【例16】a、b、c、d、e这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1.8、

2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是.

(A)0.3(B)0.5(C)1(D)1.5

【考点】分解质因数【难度】5星【题型】选择

【关键词】迎春杯，高年级，复试，2题

【解析】C,i^a<b<c<d<e„由题意知，ah=0.3,ac=0.6,推知c=2Z>;由ce=12,必=30,推知

d--c=—c=5b,bc=bx2b=2b~,bd-b'x.5b=5b2,cd=2bx5b=1。必，在1.5』.8,2,5,6』0中，

122

满足2:5:10的三个数是2,5,10,所以1O/〉2=1O,b2=\,b=l。

【答案】1

【例17】将1〜9九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48,第二组三个数的乘积是45,

第三组三个数字之和最大是多少？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答

【解析】分解质因数45=3x3x5,48=2x2x2x2x3,可知45只能是1,5,9的乘积，而48可能是2,4,

6或2,3,8或1,6,8(舍去)，则第三组的三个数可能是3,7,8或4,6,7,其中和最大的是3+7+8=18.

【答案】18

【例18】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的

最小可能值是多少厘米？

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答

【解析】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小.如3个数的积为18,则

三个数为2、3、3时和最小，为8.1998=2x3x3x3x37,37是质数，不能再分解，所以2x3x3x3对

应的两个数应越接近越好.有2x3x3x3=6x9时，即1998=6x9x37时，这三个自然数最接近.它们的

和为6+9+37=52(厘米).

【答案】52

【例19】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表

面积是多少平方厘米？

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答

【解析】39270=2x3x5x7x11x17,为三个连续自然数的乘积，而34x34x34最接近39270,39270的约数中接

近或等于34的有35、34、33,有33x34x35=39270.所以33、34、35为满足题意的长、宽、高.则

长方体的表面积为：

2x（长x宽+宽x高+高x长）=2x（33x34+34x35+35x33）=6934（平方厘米）.

方法二：39270=2x3x5x7x11x17,为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17,如果17作为长、宽或

高显然不满足.当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7,与

34接近的数32〜36中，只有35含有7,于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度.而39270

的质因数中只剩下了3和II,所以这个长方体的大小为33x34x35.长方体的表面积为

392703927039270

2x（）=2x（1190+1155+1122）=2x3467=6934（平方厘米）.

【答案】6934

【例20】如果两数的和是64,两数的积可以整除4875,那么这两个数的差等于多少？

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答

【解析】4875=3x5x5x5x13,有axb为4875的约数，且这两个数的和为64.发现39=3x13、25=5x5这两个

数的和为64,所以39、25为满足题意的两个数.那么它们的差为39-25=14。

【答案】14

【例21】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.

求这两个整数分别是多少？

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答

【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都

可以表示成两个整数相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30==16+17,共有16种形式，

如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可

以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999,每

个数都是111的倍数，而111=37x3,因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位

数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍（想想为什么？）3倍就不是两位数

了.

才巴九个三位数分解：111=37x3、222=37x6=74x3、333=37x9、444=37x12=74x6、

555=37x15、666=37x18=74x9、777=37x21、888=37x24=74x12、999=37x27.

把两个因数相加，只有（74+3）=77和（37+18）=55的两位数字相同.所以满足题意的答案是74和3,

37和18.

【答案】74和3,37和18

【例22］如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数.如年份数1991,

具有如下两个性质：①1991是一个回文数.②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质

数回文数的积.在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991夕卜，具有性质①和②的年份数，

有哪些？

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答

【解析】这一千年间回文数年份共有10个，除去1991夕卜，还有1001,1111,1221,1331,1441,1551,1661,

1771,1881.符合条件②的两位质数只能是11,所以符合条件②的只有三个，即

llx101=1111,llx131=1441,11x15/=1661.

【答案】Ux101=1111,llx131=1441,llx15/=1661

【例23］有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140.如果把所有这样的分数从小到大排列，那

么第三个分数是多少？

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答

【解析】有140=2x2x5x7,要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2必须同时位于分

子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是.

——!——=」_凶=巴,__=A_Z_=2_,倒数第三小的是

2x2x5x71405x7352x2x7282x2x52028

【答案】—

28

【例241纯循环小数0.血写成最简分数时，分子和分母的和是58,则三位数嬴=

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】填空

【解析】如果直接把O.abc转化为分数,应该是小，因此，化成最简分数后的分母应该是999的约数,我们

999

将999分解质因数得：999=33x37,这个最简分数的分母应小于58,而且大于29,否则该分

数就变成了假分数了，符合这个要求的999的约数就只有37了，因此，分母应当为37,分子就是

58—37=21,也就是说0。6。=也=-^—=义，因"匕诙=21、27=567.

99937x2737

【答案】567

模块二、分解质因式

【例25］三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.

【考点】分解质因式【难度】2星【题型】解答

【解析】设这三个质数分别是a、b、c,满足"c=ll（a+匕+c）,则可知a、b、c中必有一个为11,不妨

i己为a,那么机・=ll+6+c,整理得（b-l）（c-l）=12,又12=1x12=2x6=3x4,对应的b=2、c=13

或6=3、c=7或6=4、c=5（舍去），所以这三个质数可能是2,11,13或3,7,11.

【答案】2、11、13或3、7、11

【例26］三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数.

【考点】分解质因式【难度】2星【题型】解答

【解析】设这三个质数分别是a、b、c,满足Hc=7（a+6+c）,则可知a、b、c中必有一个为7,不妨记

为a,那么6c,=7+Z?+c,整理得S-l）（c-l）=8,又8=lx8=2x4,对应的b=2、c=9（舍去）或Z?=3、

c=5,所以这三个质数可能是3,5,7

【答案】3、5、7

【例27］如图，长方形周长为20,面积为24。另一个长方形，面积为20,周长为24。它的长是

宽是O

【考点】分解质因式