同济版高等数学第六版课件第八章第九节二次曲面

同济版高等数学第六版课件第八章第九节二次曲面目录CONTENCT二次曲面的基本概念二次曲面与平面的交线二次曲面与直线的交点二次曲面在几何中的应用01二次曲面的基本概念二次曲面的一般方程为$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz=0$，其中$A,B,C,D,E,F,G,H,I$是常数。该方程可以表示为三元二次方程，是定义二次曲面的基本工具。二次曲面的一般方程根据主轴方向和开口方向，二次曲面可以分为椭圆型、双曲型和抛物型三种类型。椭圆型二次曲面包括单叶双曲面、双叶双曲面和椭圆抛物面。双曲型二次曲面包括马鞍面和双曲抛物面。抛物型二次曲面包括平面、球面和一般抛物面。二次曲面的分类0102二次曲面在三维空间中的位置关系相交表示两个曲面在某一部分有公共点，相切表示在某一部分有且仅有一个公共点，分离表示没有任何公共点。二次曲面在三维空间中可以相交、相切或分离。02二次曲面与平面的交线平面与二次曲面相交的条件是平面的法向量与二次曲面的主方向向量正交。具体来说，如果二次曲面的一般方程为$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz=0$，平面的方程为$Ax+By+Cz+D=0$，则它们的法向量分别是$(A,B,C)$和$(A,B,C)$，正交的条件是$AD=BC$。平面与二次曲面相交的条件VS当平面与二次曲面相交时，它们相交的轨迹是一个平面曲线，这个曲线由平面与二次曲面在三维空间中的交点组成。具体来说，如果二次曲面的一般方程为$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz=0$，平面的方程为$Ax+By+Cz+D=0$，则它们相交的轨迹的参数方程可以表示为${x=x(t),y=y(t),z=z(t)}$，其中$t$是参数。平面与二次曲面相交的轨迹当平面与二次曲面在某一点相切时，它们相交的切线是一条直线。具体来说，如果二次曲面在某一点的法线方向为$mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3)$，平面的法线方向也为$mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3)$，则它们相交的切线的方向向量就是$mathbf{n}$。平面与二次曲面相交的切线03二次曲面与直线的交点直线与二次曲面相交的条件是直线的方向向量与二次曲面的法向量平行。具体来说，如果二次曲面的一般方程为$Ax^2+By^2+Cz^2+2Fxy+2Gxz+2Hyz=0$，直线的方程为$x=lambday+muz$，则它们相交的条件是$Alambda^2+Bmu^2+2Flambdamu=0$。直线与二次曲面相交的条件直线与二次曲面相交的轨迹当直线与二次曲面相交时，它们相交的轨迹是一个平面曲线。这个平面曲线的方程可以通过将直线的方程代入二次曲面的方程中得到，即$(Ax^2+By^2+Cz^2+2Fxy+2Gxz+2Hyz)=(lambday+muz)^2$。当直线与二次曲面在某点相切时，该点称为切点。在切点处，二次曲面的法线与直线的方向向量垂直。因此，切点的坐标满足二次曲面的一般方程和它的导数方程，即$Ax^2+By^2+Cz^2+2Fxy+2Gxz+2Hyz=0$和$2Ax+2By+2Cz+2Fy+2Gz+2Hy=0$。直线与二次曲面相交的切点04二次曲面在几何中的应用二次曲面在几何建模中有着广泛的应用，它们可以用来描述各种形状和物体。例如，球体、椭球体、抛物面、双曲面等都是二次曲面。通过使用二次曲面，我们可以更好地理解和描述现实世界中的各种形状和物体。二次曲面还可以用于创建更复杂的几何模型。例如，在建筑设计、工程建模和计算机图形学等领域中，经常使用二次曲面来构建更复杂的几何模型，以模拟现实世界中的各种形状和物体。二次曲面在几何建模中的应用在物理学中，二次曲面经常被用来描述物理现象和规律。例如，在力学中，可以使用二次曲面来描述物体的运动轨迹和受力分布；在电磁学中，可以使用二次曲面来描述电场和磁场的变化规律。在工程学中，二次曲面也经常被用来解决实际问题。例如，在航空航天领域中，可以使用二次曲面来设计飞行器的外形和气动性能；在汽车设计中，可以使用二次曲面来设计车身的外形和结构。二次曲面在解决实际问题中的应用二次曲面可以与其他几何知识结合使用，以解决更复杂的问题。例如，可以将二次曲面与线性代数、微积分等知识结合使用，以研究二次曲面的性质和特征；可以将二次曲面与三维几何结合使用，以构建更复杂的几何模型。在计算机图形