小学二年级下册数学《奥数》知识点讲解第6课 七座桥问题 试题附答案

小学二年级下册数学奥数知识点讲解第6课《七座桥问题》试题附答案

第六讲七座桥问题

二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑

战，使得很多人冥思苦想.在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们

都失败了.

今天，我们小学生也要大胆地研究研究它.

这个问题叫做“七座桥问题

当时，德国有个城市叫哥尼斯堡.城中有条河，河中有个岛，河上架有七座

桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处

（见下图）.俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个

问题：

如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续

地走完这七座桥怎么个走法？

好动脑筋的小朋友请先不要接着住下诙，你也试一试，走一走.

你是怎样试的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲自步

行过桥上岛.因为你并没有离开自己的教室，你坐在教室里，在你的面前没有河

流，没有小岛，也没有桥，但在你面前却有一张图！

可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和小桥的原样，只

是用一些线条来代表它们，但却明白无误地显示出了它们之间的位置关系和连

接方式.可以说，这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来

的“数学图

这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要.

也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧！好！你做得很好！为什

么这样说呢？因为当你这样做的时候，就发挥了自己的想像力：你在无意中把

自己想像成了一个小笔尖.你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成了你自身的

经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧不可缺少的属性”.看来

你并不缺少这种想像力！

让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成你

自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起了吗？用

一句数学上常用的话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下面

的图把这种转化过程详细地画了出来.

在下页左图中把陆地想像成了几大块.这对过桥问题并不产生影响.

在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不改变

过桥问题的实质.

在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图形”

T，但还是显得复杂.

在下面右图中，圆进一步缩成了点.这样它变成了只由点和线构成的最简单

的几何图形了.经过上面这样的一番简化，七桥问题的确就变成了上右图（即为

第五讲习题1中的图（9））是不是能一笔画成的问题了.很容易看出图中共有4

个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一笔画成，因而人们根本不能

一次连续不断地走过七座桥.

这样七桥问题就得到了圆满的解决.

这种解法是大数学家欧拉找到的.这种简化也就是一种抽象过程.所谓“抽

象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面.而只抓住那个

能体现问题实质的东西.就像在七桥问题中，陆地和岛的大小、桥的宽窄和长短

都是与问题无关的东西.

最后，再把解决七桥问题的要点总结一下：

①把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的几何

图形了.

②如果这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的桥；如

果这种图形不能一笔画成，人就不能一次通过所有的桥.

③由前述判定法则可知，有0个奇点或2个奇点的图形是一笔画，超过两个

奇点时，图形就不能一笔画出来.

模仿这种思路，也能解决类似好多问题.

习题六

1.学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断（见下图）.

过桥问题：

可否一次通过的桥（每座桥只能走一次）？

例：

七座桥您，.‘送4可4点

仿此例依次判断出:

一座桥

二座桥

三座桥

四座桥•还彰

五座桥

六座^

七座桥专蕈/

八座桥

九座桥

2.下图是乡间的一条小河，上面建有六座矫,你能一次不重复地走遍所有

的小桥吗？

（每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走）

3.在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道

题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建

了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出

发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗？（每座桥只能走一次）

4.下图所示为一座售货厅.问顾客从入口进去时，能够一次不重复地走遍各

个门吗？请说明你的理由.

如果售厅出口在4号房间由你设计再开一个门，使顾客从入口进去后一次不

重复地走遍各个门，再从4号房间出售厅，你打算在哪里再开一个门？

二年级奥数下册：第六讲七座桥问题习题解答

习题六解答

1.解：见下图

过桥问题：

可否一次通过所有的桥

（每座桥只能走一次）

九座桥

一笔画问题:

可否一笔画成图形（笔不能抬起,不能重复）

0奇点

住部偶点）

2.解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右图有4

个奇点.

3.解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两岸的

任一个岸的桥的数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一条路，使

人们将所有的侨都只走一次而到达另外一个岸.画出图来就能一目了然了.见下

图.

因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画.

所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一岸到另一岸.

4.解：从入口进入售货厅后，也就是从1号房间开始不能一次不重复地走遍

各个门，因为虽然整个图形（见下图）只有2个奇点，但点1是偶点.

当出口在4号房间时，如再在1号和3号房间之间开一个门，则从1号房间开

始后就能一次不重复地走遍各个门.因为点1变成了奇点，点4仍为奇点，而整个

图形只有2个奇点，因此可以从1号房间进，4号房间出.见下图（进入售货厅