上海师范大学附属嘉定高级中学2023届高三年级上册期中数学试题（教师版）

上海师范大学附属嘉定高级中学

2022学年第一学期高三年级数学学科期中试卷

一、填空题(共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)

1.已知集合4={-3,-1,。,1,2},8={#[>1},则4B=,

【答案】{-3,2}

【解析】

【分析】

将A中元素逐个代入判断W>1是否成立即可得解.

【详解】将A中元素逐个代入国>1,符合的有一3、2,即AcB={—3,2}.

故答案为：{-3,2}.

【点睛】本题考查了描述法表示集合和集合的交集运算，属于基础题.

2.函数/(力=」一+1门的定义域是.

【答案】(O,I)5L+OO)-

【解析】

【分析】

根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

【详解】由题意得，\八

[x>0

故答案为：(0,1)、。,”).

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.已知0<x<l,使得Jx(l-x)取到最大值时,x=.

【答案】g

【解析】

【分析】

利用基本不等式即可得x+(l-x"2jx(17),当X=1-无等号成立，即可得解.

【详解】0<x<l,

.•・x+(l-x)Z2jx(l-x),即“-当且仅当x=l—x=；时等号成立.

故答案为：y.

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.

4.曲线y=3f在点(1,3)处的切线方程为.

【答案】6x—y-3=0

【解析】

【分析】利用导数的几何意义可以得出切线方程的斜率，进而利用点斜式方程即得.

【详解】由y=3尤2可得y'=6x,

切线的斜率为k=y'll=6,

所以切线方程为y—3=6(%—1),即6x-y-3=0.

故答案为：6x-y-3=0.

5.己知y=.f(x)是定义在R上的偶函数，且在［(),+e)上是严格增函数，那么使得/(-3)4/(。)成立的

实数a的取值范围是.

【答案】(o,-3］。［3，+力)

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和单调性可得|-3|〈同，从而可得出答案.

【详解】解：因为y=/(x)是定义在R上的偶函数，且在［0,+。)上是严格增函数，

又/(-3)«/(4，

所以卜3区同，解得a23或—3,

所以实数«的取值范围是(一8,-3］33,+。).

故答案为：(一。,—3］。［3,+。).

6.命题“若x>。，则二二2>0”是真命题，实数a的取值范围是.

x

【答案】［2,+8)

【解析】

【分析】由题可得{x|x>a}£{x|x<0或x>2},进而即得.

【详解】由二匚〉0可得x<0或x>2,

X

因为命题“若X〉。，则二〉0"是真命题，

x

从而{刈彳>0工{兀|左<0或无>2},

所以。22,

故实数a的取值范围是［2,+00).

故答案为：［2,+00).

7.已知集合4=卜2,-1,一：,0；；,1,2,31,任取后“，则基函数y=为偶函数的概率为

.(结果用数值表示)

【答案】-

3

【解析】

【分析】根据基函数的定义与性质，结合古典概型即可得出答案.

【详解】解：因为幕函数y=f为偶函数，keA,

所以Ze{-2,0,2},共3种取法，又集合A中有9个元素，

31

所以基函数y=f为偶函数的概率为§=§.

故答案为：-

3

8.已知函数/(x)=sin(x+?)给出下列结论：

①/“)最小正周期为2万；

②/(5)是/(x)的最大值；

③把函数丫=$山》的图象上所有点向左平移?个单位长度，可得到函数y=/(x)的图象.

其中所有正确结论的序号是

【答案】①③

【解析】

【分析】对所给选项结合正弦型函数性质逐一判断即可.

')1____2)1

【详解】因为f(x)=sin(x+—),所以周期7=—=2»，故①正确；

3CD

f(—)=sin(—4—)=sin—=—wl,故②不正确；

22362

-7TTT

将函数y=SinX的图象上所有点向左平移彳个单位长度，得到y=sin(x+不)的图象，

故③正确.

故答案为：①③.

【点睛】该题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，属

于基础题目.

9.在△4BC中，边a、b、c满足a+6=6,ZC=120°,则边c的最小值为.

【答案】35A

【解析】

【分析】由基本不等式。匕4(g)2可求出外的最大值，然后结合余弦定理即可求解C的最小值.

【详解】解：a+b=6,ZC=120°,

ab<=9，

当且仅当a=b时取等号，

由余弦定理可得，c2=a2+h2-2t7/?xcosl20°,

=(。+人)2-ah,

=36-侬36-9=27,

■-C>3y/3

则边c•的最小值3G.

故答案为：3G.

10.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整

改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=/(/).用_/(")—/⑷的大小评价在［a,b］这段时间

b-a

内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在,t2］这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在22时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在与时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在［o/］,［乙山］，也名］这三段时间中，在［o,司的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果

【详解】一改二侬表示区间端点连线斜率的负数，

b-a

在，冉］这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力

比乙企业强；①正确；

甲企业在［cuJLw］,也出］这三段时间中，甲企业在，出］这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最

大，即在，的污水治理能力最强.④错误；

在与时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企

业强；②正确；

在4时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都己达标；③正确；

故答案为：①②③

【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.

II.已知/(%)=|(%-。)«-3砌，若函数)，=/(1),%且0,1］的值域为［0,八1)］,则实数〃的取值范围是

【答案】o4

_4_

【解析】

【分析】分“<0,a=Q,。>0讨论，结合二次函数的图像及性质即可得解.

【详解】因为“X)==y_4以+一片，

2

当a<0时，xe[O,l],/(x)n,n=/(0)=3«>0,不符合题意；

若”=0时，则/(x)=f,符合题意，故。=0成立；

当”>(),/(())=3a2""2a)=a2,因为函数y=/(x),xe[0,l]的值域为,

/(%)在[0,1]上的最大值为/(1),则2a4；,

解得

4

综上，ae0,-

_4_

故答案为：0,—

4

―4x+1x>—1

12.已知函数/(%)=12，s|关于X的不等式/(X)一尔—2帆—2<0的解集是

x+6x+10x<-l

(XPX2)11(^3,+00),若%光2毛>0，则％+々+九3的取值范围是.

【答案】［2近-12,+8)

【解析】

【分析】作出y=/(x)的图象，由题意可得了(x)v〃?G+2)+2,作出直线(x+2)+2,其恒过定点

(-2,2),结合题意可得机V0,考虑直线经过点(0,1)和与直线y=l-以平行的情况，再通过旋转即

可得到团的范围.当烂-1时和当x>-1时，分别解方程，无?+6犬+10-mx-2m-2=0,即x2+(6-m)x+8

-2m=0的两个实根为，X2；x\+x2=m-6；方程-4%+lmx-2m-2=0的实根是13；用加表示为+为+制，

根据机的取值范围解出即可.

【详解】画出函数y=/(x)的图象，

关于x的不等式/(x)-mx-2m-2<0,

即为/(x)V"?(x+2)+2,

作出直线》=相(x+2)+2,其恒过定点(-2,2),

由解集是(XI,X2)u(X3,+8),

若XlX2X3>0,

可得XlVO,X2<0,X3>0,

当它-1时，xi,Xi,是方程N+6x+10-如-2“-2=0的两个实根；

即x2+(6-m)x+8-2m=0的两个实根，'.x\+x2=m-6；

当X>-1时，X3是方程-4x+l-mx-2m-2=0的实根；

-2m-1

.*.X3=------；

m+4

，结合图象可得mVO,

当直线y=机(x+2)+2经过(0,1)时，可得2偌+2=1,

解得加=一?；

2

当直线(x+2)+2与直线y=l-4x平行时，

m=-4.

由与看毛>0可得-4<6<——.

/.m+4>0,

2m+1=m-6-2(w+4)~7=4+-J--12>2l(/n+4)———-12=2

则％+/+凡=加一6一m+

"2+4m+4m+4Vm=4

77-12；

7

当且仅当"7+4=——时，即机=-4+/时取等号;

加+4

故答案为：［2疗―12,+00).

【点睛】本题考查分段函数的运用，注意运用数形结合思想方法，考查函数与不等式的转化思想，以及分

析问题的能力，属于中档题.

二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.

13.若命题甲：x—1=0,命题乙：正尤-lgx=0,则命题甲是命题乙的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系.

【详解】解：当x—1=0,即x=l时，lg0—lgx=lg21—lgl=0,故命题甲可推出命题乙;

当】g2x—lgx=(),可得x=l或尤=1(),故命题乙不可以推出命题甲,

故命题甲是命题乙的充分非必要条件，

故选：A.

【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.

5,E.

14.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足加2一班=：；lgU，

其中星等为侬的星的亮度为公(%=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天

狼星的亮度的比值为

A.1OIOJB.10.1C.IglO.lD.1O-101

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意得到关于E„E2的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

5,E,

【详解】两颗星的星等与亮度满足“一叫=彳值不匕令物=745,叫=-26.7,

2E2

1g亲=5•(网—仍)=|(―1.45+26.7)=1().1,亲=1O101.

故选A.

【点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数

运算.

15.在同一直角坐标系中，函数y=-1•»=108“1%+51（4>0且”工1）的图象可

一

a

If"-

【答案】D

【解析】

【分析】

本题通过讨论。的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结

论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当时，函数丁=废过定点(0,1)且单调递减，则函数)过定点(0,1)且单调递增，函数

a

y=log«(x+g)过定点(；,0)且单调递减,D选项符合；当。＞1时，函数旷=相过定点(0,1)且单调递增,

则函数y=，过定点(0,1)且单调递减，函数y=log.[x+g)过定点(1,0)且单调递增，各选项均不符合.

综上，选D.

【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过

讨论&的不同取值范围，认识函数的单调性.

16.动点A(x,y)在圆/+丫2=1上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已

知时间，=0时，点A的坐标是,则动点A的纵坐标y关于，(单位：秒)的函数在下列哪个区间

上单调递增()

A.[0,3]B.[3,6]C.[6,9]D.[9,12]

【答案】D

【解析】

【分析】先根据题意：已知时间/=0时，点A的坐标是(亭，)，得/尤04=^,再依据每12秒运动一

TT

周得出点A每秒旋转的角度，从而。秒旋转一心利用三角函数的定义即可得出y关于，的函数解析式，进

6

而可得出函数的单调增区间.

【详解】解：根据题意，

则y=sinZA：OA=sin^—r+—J.

兀冗冗冗

令一人+2版■《上「+上K—+2匕z■，女eZ,

2662

解得：-'4+12k4/42+12k,keZ,

经检验：当女=1时，8<r<14,故D符合，

故选：D.

【点睛】本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识，考查运算求解能

力，属于基础题.

三、解答题(本大题共有5题，满分76分)

34

17.已知角a的顶点与原点0重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(一，,-二).

(I)求sin(a+兀)值；

(II)若角夕满足sin(a+£)=得，求cos.的值.

【答案】(1)—；(II)---或—.

56565

【解析】

【分析】分析：(I)先根据三角函数定义得sine,再根据诱导公式得结果，(II)先根据三角函数定义

得cosa,再根据同角三角函数关系得cos(a+0,最后根据力=(a+⑶-a,利用两角差的余弦公式

求结果.

(34、4

【详解】详解：(I)由角a的终边过点P1—g,一5J得sina=—

所以sin(a+7i)=-sina=—.

(II)由角a的终边过点尸|一|,一《卜导cosa3

5

512

由sin(a+/7)=值得cos(a+/?)=±yj.

由力=(a+/?)-a得cos/7=cos(a+p)cosa+sin(a+p)sina,

所以c°s夕=一1|或c°s"=1.

点睛：三角函数求值的两种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

18.已知函数/(x)=2，+卷

(1)若/(力为奇函数，求。的值；

(2)若/(x)<3在xw［l,3］上恒成立，求实数”的取值范围.

【答案】(1)a=-l；(2)a<T()

【解析】

【分析】

(1)利用奇函数性质/(0)=0即可得解;

(2)转化条件为a<32—2?”在xW1,3］恒成立即可得解.

【详解】(1)xeR,7(x)为奇函数

•/(0)-01即l+a=。,

(2)XG[1,3],/(x)<3恒成立，

2'+=<3即a<3-2*—2?”恒成立，

2A

令y=3・2、-2?'=-(2,一|J+、，又2'42,8]

•』0=-40,.”<4).

【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和恒成立问题的解决方法，考查了转化与化归思想，属于中档题.

19.某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为5()6米、圆心角为60°的扇形OAB草坪

上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案.已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点加、

N在线段OB上，另两个顶点P,。分别在弧AB、线段OA上.

(1)若NPON=45°,求此红旗图案的面积S；

(2)求组成的红旗图案的最大面积.

2

【答案】(1)5=3750-125073m；(2)5rax=125(x/3

【解析】

【分析】(1)由NPON=45°可得ON=PN，OP=V5PN,再根据NAQB=60°可得阳°=贵，则

S=PN•MN=PN-(ON-OM),代入求解即可；

(2)设ZPON=a(0°<a<60°)，则PN=OPsina,ON=OPcosa,

MN=ON-OM=OP[cosa-2不J,代入S=MV•PN中，根据三角函数性质求得最值.

【详解】(1)因为/PON=45°,所以ON=PN厕OP=6PN,

因为NA03=60°，所以M。=令

73

因为OP=r=5()G，

OP(竺OP]

所以S=PN-MN=PN{ON—OM)=3750-1250^,

正IV2叵又C)

所以此红旗图案的面积S为(3750—125())/

(2)设/PON=a(0°<a<60°)，则PN=OP-sina,ON=OPcosa,

,，八MQPNOP-sina

因为NAO8=60。,所以知。=请=方=—忑—

则MN=ON-OM=0P\cosa-

所以S=PN-MN=OP2sinaOP2sinacosa----sin2a

cosa一I3J

6°Psin(2a+30°)--OP2,

36

因为0°<a<60°,所以30°<2a+30°<150°,

则当2a+30°=90°，即1=30°时，

S取得最大值为弓0尸2—gop2=gx(50若『=1250百

所以组成的红旗图案的最大面积为1250gnr.

【点睛】本题考查三角函数在几何中的应用，考查正弦型函数的最值，考查运算能力.

20.己知双曲线C:%2—y2=],过点T«,o）作直线/和曲线C交于A,B两点.

（1）求双曲线C的焦点和它的渐近线；

（2）若，=0,点A在第一象限，轴，垂足为“，连结5”，求直线8〃斜率的取值范围;

（3）过点T作另一条直线机，和曲线C交于E,尸两点.问是否存在实数r,使得A5-EF=0和

卜@=|防|同时成立.如果存在，求出满足条件的实数，的取值集合；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）焦点为片（一7^,0）,月（0,0），渐近线方程，=±x

⑵H）

⑶卜血,后｝

【解析】

【分析】（1）根据曲线C的方程求出焦点及渐近线方程即可；

yk

（2）设/:y=Ax,A（X[，x）,3（-X”-y）,"（X],0）,根据题意求得左的范围，再求出％期，=玄=耳从而

可得出答案;

（3）根据/=0,可得AB_LEF，分一条直线斜率存在另一条直线斜率为0和两条直线斜率都存在

两种情况讨论，当两直线斜率都存在时，设/：y=左0一。（攵/0）,与双曲线联立,利用弦长公式，求出AB,

EF,然后求解r,得到结果.

【小问1详解】

解：由曲线C:f-y2=1,

可得曲线C的焦点为耳（—3,0）,乙（0,0）,渐近线方程y=〃；

【小问2详解】

解：设/:y=Ax,A（X[，x）,3（T],-y）,H（X1,0）,

因为双曲线的渐近线为y=±x,且点A在第一象限，所以0<%<1,

.,y,k

从而_7-—T，

2x]2

所以％BH

即直线BH斜率的取值范围为（0,工]；

【小问3详解】

解：由户=0，得AB_LM，

当一条直线斜率存在另一条直线斜率0时，

不妨取直线/：>=0,直线加：x=f，M>l,

此时|45|=2,

号X=t,则产一>2=1,解得y=±J/2-1,

所以怛同=2炉1,

因为|AB|=|EF|,

所以2户M=2,解得，=±0，

当两条直线斜率都存在时，

不妨设/：y=-x—且

y=k（x-t）消得炉.）丁,+公,比一（+公,,/）=

联立《2，y（1—210,

x-»=]

设A(孙丫2)，8(毛,%)，

2k2t1+小产

则工2+工3=一

2,1+公J（产-1）公+]

贝“=J1+%?J（X2+%3）一一4%2天

1.,2〃2+],/_1+女2

将左替换成-7,可得归同=-------屋―-------

k\k-1

2Vi7F7(r2-iU2+12ylk2+lylt2-l+k2

由网=用，可得—可一

解得“=2,即/=±0，

此时A=4（k2t2-k2+Y）=4伍2+1）>0恒成立,

综上所述，t-±42，

因此满足条件的集合为卜叵及｝.

【点睛】本题考查了双曲线得性质以及直线与双曲线得位置关系及双曲线中得弦长，注意不要遗漏斜率不

存在这一情况，考查了分类讨论思想.

21.已知/(x)=x|x-a|,其中〃为常数.

(1)当娘=1时，解不等式/(x)<2；

35

(2)已知y=g(x)是以2为周期的偶函数，且当OVxWl时，有g(x)=/(x).若。<0,且g

求函数y=g(x)(xe[1,2])的解析式;

(3)若在[0,2]上存在n个不同的点Xi(i=1,2,,n,n>3\xt<x2<<xn,使得

|/(xj—/(%2)|+|/«)-/(七)|++H)-f(x")|=8,求实数a的取值范围.

【答案】⑴(田,2)；

(2)g(x)=》2-6x+8；

(3)(—00,—2]L[6,+oo).

【解析】

【分析】(1)分类讨论去绝对值，转化为不等式组，进而即得；

(2)利用函数的奇偶性及周期性结合条件即得；

(3)分a<0,a>4,2Wa<4,()<a<2讨论，根据二次函数的性质结合条