集合的解题技巧

全国名校高考数学复习典型试题优质题型解题技巧汇编（附详解）集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项元素与集合，集合与集合关系混淆问题；造成集合中元素重复问题；隐含条件问题；代表元变化问题；分类讨论问题；6．子集中忽视空集问题；新定义问题；任意、存在问题中的最值问题；集合的运算问题；集合的综合问题。二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4•能使用韦恩（Venn）图表达集合间的关系与运算.【知识要点】1．集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“”或“”来表示．(5常用的数集：自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集Z;有理数集Q;实数集R.2．集合之间的关系(1一般地，对于两个集合A,B.如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，记作aB；若AB,且A^,则aB,我们就说A是B的真子集.不含任何元素的集合叫做空集，记作，它是任何集合的子集，即A．3．集合的基本运算并集：AUB={xk€A或x£B};(2交集：A邙={xk€A且x^B};(3)补集：A=:：:•:三1且二三一匚4．集合的运算性质ACB=AAB,APA=A,AQ=;AUB=AAB,AUA=A,AU=A;AB,BC,则AC;U(APB)=UAUUB,U(AUB)=UAPUB,APUA=,AUUA=U,U(UA)=A;AB,BA,则A=B.三．典例分析及变式训练(一)元素与集合,集合与集合关系例］.已知M{0,1,NR十匚"}则A.MN B.NMC.NMD.MN【答案】A【解析】M{0,1，N=二⑷••二N=d{皿⑴©1}}MN练习1【广西百色市高三年级优质试题届摸底调研考试】已知集合人=仪忖=%。+。},*=kE州乂-3*厲，则4nB=()A.⑴丄冷B.：：is：C.以印D.;i,；讣【答案】A【分析】求出A中x的范围确定出A,求出B中不等式的解集确定出B,求出两集合的交集即可.【解析】由A中y=lo%(x+1),得到x+l>0,即x>-1,.・.A=(-1,+8),由B中不等式变形得：(x-3)(x+2)<0且x解得：-2<X〈3又x€N,M={-2.-1,0.1,即，贝则AQB={0,1,2},故选：A.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.练习2．【湖南省长郡中学优质试题届高三第三次调研】已知集合：=:：1'='.---:-,集合"''■：'，全集％U=R,则〃为A.〔 B.gC.1」;：D. ::1,1:【答案】D【分析】化简集合A,B,然后求出A的补集，最后求交集即可得到结果.【详解= —］二」D又・•・ 「川故选：D点评】求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍．二）集合中元素重复陷阱例2.【华南师范大学附中优质试题-尤质试题测试题】设整数「＞",集合匸:.令集合■■■■■■■.■■■■■■■,且三条件■-■■•■■■■■■■■-■-'恰有一个成立｝，若f和Zr；都在、中,则下列选项正确的是（）C 、D. ..■■■■叮、■■：■■■：-'"【答案】B【分析】采用特殊值排除法，取x=2,y=3,z=4,w=1，可排除错误选项.【解析】取x=2,y=3,z=4,w=1,显然满足（x,y,z）和（z,w,x）都在S中,此时（y,z,w）=（3,4,1）€S,（x,y,w）=（2,3,1）€S,故A、C、D错误，故选B【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合中元素具有确定性，互异性和无序性.练习1.a,b是实数，集合A=｛a,b,1｝，匕=-，若aB,求a2oi5+b2oi6.a【答案】－1【解析】vA=B?:.&=0,虫=｛咖｝,#=｛/,皿｝.二才=1,得o=±1j3=1时，.4=｛1,0,1｝不满足互异性，舍去、门=一1时，満足题意.一/匕+严鼻―1【点评】对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性.练习2.【上海市优质试题-尤质试题期中考试】如图，"为全集，讥"、，是“的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. ： £ B.仆儿1八【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是MQP的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可.【解析】图中的阴影部分是：MQP的子集，不属于集合S,属于集合S的补集即是C]S的子集则阴影部分所表示的集合是（MQP）Q]S故选：C.【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力,属于基础题．（三）隐含条件陷阱例3.集合宀国小宀则集合a与集合b之间的关系（）A.ABB.BAC.BAD.AB【答案】A【解析】设aA,则—「宀，说明集合A的元素一定是集合B的元素，则AB，选A.练习1已知集合4卜"-2吓+听0汕=1?詔-11幻},则人b（）A.1,0B.0,1C.1,0,1D.1,2【答案】A【解析】卫=£述2）（工+1）■：：0}=韶—1■::工■：：2} 耳=卜迂彳—]nl}={—1=0=1} 则-厂三D二，选B.-1-（2）由题意得函数心在区间性“]上单调递减，・.・.二士[讣—；；，.・」一1』 .a<^~a:腐篇2,解得叱冷，・・・实数曲取值范围是【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式(组)求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1•设集合；…,Tr—I—:::1；若八，求实数a的取值范围；以若求实数a的取值范围.【答案】⑴(2)[4,->【分析】(1)由题意得 ， ，根据曲盘可得{ 从而可解出的取值范围；⑵先求出3—I」工一，根据可得到解出的取值范围即可.【解析】由题意得 汀-「meB—jx 底d>0)={^|-a<x<cj=(-ajo)；・・m，・•・{「：：】，解得，又,・•・—，・•・实数的取值范围为*]由题意得 —I」—一・.・/“「〃0・・.{=][解得心4.・・・实数的取值范围为[4—.【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算.根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立.(六)子集中忽视空集问题

例6【云南省优质试题-优质试题学年期中考试】已知集合心一;I•.一=::;-,若八儿则I」的取值集合是( )A．B．1)C．D．A．B．1)C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据注M分类讨论．TOC\o"1-5"\h\z【解析】•・•集合= =即"彳时，满足条件耳“;1_ _1或 ・•异亠丄或综上,=1或识亠丄或 •故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况.练习1•已知集合.一-匸-「:：：「,，■■■''"-「口；-::—;—若“ 1,求八川；若/In/)10,求实数「的取值范围.【答案】⑴'(2)—或丿＞/【分析】(1)计算y=触-b在0<^<：时的值域，得集合典，将口=1代人集合B,解不等式，得到集合E,求两个集合的并集,(2)因为Ans=&,所以集合A与集合B无公共部分，借助数轴分析参数口的取值情况【解析】•••集合且是函数)'=3a--1(0<^<11的值域■■-A=[-L2],易知丘=(艮肛+3]⑴若a=l?则B=(14),结合数轴知肖UB=[74〕.(2)若Ar\B=^?得口匕2或□+3虫一：，即口<一4或口>2.【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点(七)新定义问题例7・【清华附属中优质试题-尤质试题学年试题】集合A,B的并集AUB={1,2},当且仅当A#B时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有 .【答案】8【分析】根据条件列举,即得结果.【解析】由题意得满足题意的(A,B)为：A二,B={1,2};A={1},B={2};A={1},B={1,2};A={2},B={1};A={2},B={1,2};A={1,2},B=e；A={1,2},B={1};A={1,2},B={2};共8个.【点评】本题考查集合子集与并集,考查基本分析求解能力.练习1.【华东师范大学附中优质试题届高三数学试卷】已知集合M=A'£集合M的所有非空子集依次记为：M],M2,...‘M，设m】，m2,•・,•m15分别是上述每一个子集内元素的乘积,规定：如果子集中只有一个元素,乘积即为该元素本身,则m1+m2+...+m15= 13【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数 ，当时，函数的值就是所有子集的乘积。【解析】集合的所有非空子集的乘积之和为函数 展开式中所有项数之和令，r=(l-^x^+jjx(l+1)x(1+4)=lxBX2x5=y故答案为【点评】本题主要考查的是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，构造函数求解，注意转化思想的应用，属于难题。练习2.对于集合M,定义函数fM(x)=f："对于两个集合A,B,定义集合A△B={x|fA(x)f・(x)=—l}•已知人={2,4,6,8,10}B={1,2,4,8,12}则用列举法写出集合AAB的结果为()A．{1,6,10,12}B．{2,4,8}C．{2,8,10,12}D．{12,46}【答案】A【分析】根据fA(x)f^(x)=-1,必有x€{x|x^A且xB}U{x|x^B且xA},即可求解.【解析】要使fA(x)fB(x)=—1,必有x€{x|x^A且xB}U{x|x^B且xA}={1,6,10,12}所以A△B={1,6,10,12}【点评】本题主要考查了集合的元素、集合的并集,集合描述法的理解,属于中档题.八)任意、存在问题中的最值问题.例8.【辽宁省实验中学优质试题-尤质试题学年试题】已知函数■-- -■■--1的定义域为儿函数厂•’的值域为片，求集合月、码并求m；若匚=」—:，且x「，求实数的取值范围.【答案】(1)A={咒|咒二2},B=®|lMyS2},4nB={2}(2)a>3【分析】(1)利用被开方数非负性，求出，利用指数函数的单调性求出，再求、的交集即可⑵若［-儿m,已「即可得到^-i>2,解出即可求得答案【解析】(1〉■■■典={王衍吐仕一：〕>o}=UI^-亠三:}则A={X\X>2}•••9凶=Sx(-1<^<Oj.-.'l<9任〕<25=b-1<y<2}:.AC\B={2}(2)■■■C=b'ly 且方匚f 2,解得口>3【点评】本题主要考查了集合运算，结合题意得到关于实数的不等式，然后求解,较为基础。练习1•已知集合"「I」■「：•，X「》：⑴求⑺；(2)若/in/?o,求实数m的取值范围.【答案】⑴“⑵心-丄］【分析】(1)求出不等式 的解后可得 ・(2)因为w小,故- '对任意的〔)<“<1恒成立，参变分离后可得实数的

取值范围．【解析】(1)由宀八:□得—,故01；,所以二一 .(2)由题知，当厂汀时， 恒成立，即：当」〔屮,1；时，川＜「儿恒成立.-k在区间:：oj：上的值域为—⑺,所以心：1,即实数m的取值范围是【-总-丄］【点评】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外,集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题,此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．练习2•已知集合•l=「— ＜•：：,集合“-I■■■■■: .若］诃是""\的充分不必要条件，求实数皿的取值范围；若门「少是门「川的充分不必要条件，求实数"的取值范围.【答案】(I)川*y或川＞11；(II)-丄巴川-')分析】(1)先求出M、N、CRN,结合条件,得到不等式,解出即可；(2)问题转化为集合N集合M,得到不等式，解出即可.【解析】 •—：：「；：N={jr|[r-{m- (nt+ +(I)依题意,(I)依题意,M匚CrN=[jc|jc^jh-1戍jt>in+1J川1>1()或Ii：/(II)依题意，N<zM(II)依题意，N<zM(m-1>-2(m4-1<10点评】本题考查了元素和集合的关系，集合和集合的关系，考查充分必要条件是一道基础题．练习3•已知集合.='十—⑴二-宀-n工，其中m（1） 当]时，求集合八"，3";（2） 若fm,求实数‘」的取值范围.【答案】 ■'-■ —；「崇-：■ ⑵=【分析】（1）先求集合B,再根据交集、并集以及补集得定义求结果，（2）先根据条件化为集合关系，再结合数轴求实数的取值范围.【解析】⑴且=｛讣=小3m-谅=｛划任-3）（-1-町>0｝=[-3/1]当口=1时，B -ax-6a2<0；=｛釘加一咒一6<0｝=（-2,3]:所以昌UB=[-3J）,因为匸屛二（一也一可U〔：，一3〕：所以厲且门方=（：,3〕因为CRAC\B=B,所以吕匚g当3=©H寸卫=必满足条件，当a>0时召二｛x\^-ojc-^<Q｝=（—血3毋环满足条件，因此口=0.【点评】防范空集•在解决有关 等集合问题时，往往忽略空集的情况,—定先考虑是否成立，以防漏解.（九）集合的运算问题例9.【上海市优质试题-尤质试题学年期中考试】设数集”由实数构成，且满足:若咒ET1（尤且乳工0），贝血一尤丘".（1） 若八儿试证明月中还有另外两个元素；（2） 集合”是否为双元素集合，并说明理由；

14（3） 若中元素个数不超过8个，所有元素的和为~,且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合儿【答案】（1）,；（2见解析；（3） .1）【分析】1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2€A,把2代入进行验证;2）(3)可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；先求出集合A中元素的个数， =1,2）(3)可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；先求出集合A中元素的个数， =1,求出x的值，从而求出集合A.则【解析】（1）证明：若x€A,又・・・2€A,・・・…・・.A1 x-lV-1EA,・中另外两个元素为 ，；1 1 X-1I—IxH ■ 丰且1-e, 1j ,（2） t1詁，丄一用…，X-1""丁，故集合力中至少有3个元素，•不是双元素集合;（3） 由，，可得2 1-mm3 ?、3、3,【点评】本题考查了元素和集合的关系,，所有元素积为1,・・・考查集合的含义，分类讨论思想，道中档题．练习1・设集合集合打;⑴若“詁”是“勺必要条件，求实数汀的取值范围;⑵若心⑺中只有一个整数，求实数"的取值范围.答案】（1）;（2）答案】（1）1_1【分析】（1）由“”是“”勺必要条件，得BA,然后分 时,时三种情况讨论求解实数m的取值范围；1_1>时三种情况借助于两集合(2)把中只有一个整数，分 时，m>时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围.【解析】(1)若紜刃是“R”,则BA,VA={x|-1<x<2}11当 时，B={x|2mvxv1}，此时-1<2mv1 ;当 时，B二，有BA成立；当m>WB=，有BA成立；；综上所述，所求m的取值范围是TA二{x|-1<x<2}・•・rA={x|xv-1或x>2},R当时，B={x|2mvxvl}，若rAQB中只有一个整数，则-3<2mv-2,得R--<m<-1；当m当 时，不符合题意；当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是【点评】在集合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再结合数轴进行集合的运算，若端点位置不定时，要注意对端点的位置进行讨论求解，此题是中档题．十)集合的综合问题例10・【重庆市一中优质试题-尤质试题学年考数学试题】函数:些的定义域为■■的值域为B(1)当1时，证明：门门在A上单调递增;⑵若