上海市静安区2023年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

47r

1.如图，用一边长为友的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为行的鸡蛋（视

为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）

V2H石「V2+1n6+1

2222

2.如图，正方体A8C。一A蜴GA中,E，F,G,〃分别为棱CC,,4G、的中点，则下列各直线

中，不与平面AC2平行的是（）

A.直线EFB,直线G"C.直线EHD.直线

3.已知，（1一切）=2+初Q为虚数单位，a,beR）,则必等于（）

11

A.2B.-2C.-D.——

22

4.已知函数“X）是R上的偶函数，g（x）是R的奇函数，且g（x）=〃x-l）,则“2019）的值为（）

A.2C.-2D.±2

5.已知等差数列｛4｝的公差为-2,前〃项和为S“，若生，的，％为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120。,

则S”的最大值为（）

A.5B.11C.20D.25

6.设集合A={1,2,3},B={x\x2-2x+m=0],若AcB={3},则3=()

A.{-1,3}B.{-2,3}C.{-1,-2,3}D.{3}

7.函数/*)=也+叁也在［一2肛())D((),2加上的图象大致为()

x20

8.一小商贩准备用5()元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出

去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为

()

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

9.已知直四棱柱ABC。—44Gq的所有棱长相等，ZA8C=6O°，则直线6G与平面ACGA所成角的正切值等

于()

V6BMC@

V•丁'T

10.已知复数Z满足z-i=z+i,则之在复平面上对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

11.已知直线/："-H=O与椭圆0：5_+5=1(。＞。＞0)交于4、B两点，与圆。2：(%—3)2+(y—炉=1

交于C、。两点.若存在［-2,-1］,使得AC=D6,则椭圆C的离心率的取值范围为()

12.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为

[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是()

•频率

[獭

0.020k-------------1——r------

0.015[------------\------

0.010[........——-

0.005p—i——-

020406080100成绩吩

A.45B.50C.55D.60

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设A/RC的内角的对边分别为a,b,c.若。=2,c=2百，cosA=^-,则匕=

2

14.一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数M，若把M当成一个同学的分数，与原来的50个分数

一起，算出这51个分数的平均值为N,则”=________.

N

x-y4-1..0,

15.已知实数x,，‘满足约束条件,3》一)一3,,0,则2=2“+》的最大值为.

J..0,

16.设“X)为偶函数，且当xe(—2,0]时，/(x)=-X(X+2)；当xe[2,+8)时，〃x)=(a-x)(x-2).关于函数

g(x)=/(x)-m的零点，有下列三个命题：

①当。=4时，存在实数处使函数g(x)恰有5个不同的零点；

②若V相函数g(x)的零点不超过4个，贝||aK2；

③对Vme(I,+oo),3ae(4,+oo)＞函数g(X)恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列.

其中，正确命题的序号是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在直角坐标系X。)，中，圆C的参数方程.”(9为参数)，以。为极点，x轴的非负半轴为极

y=sinQ

轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程;

(2)直线/的极坐标方程是2psin(e+(J=36，射线OM：e=。与圆C的交点为0、P,与直线/的交点为Q,

求线段PQ的长.

18.(12分)在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为2。0的样本，其中城

镇居民14()人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有3()人.

(1)填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关?

城镇居民农村居民合计

经常阅读10030

不经常阅读

合计200

(2)调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随

机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.

附：心一幽如一

其中n=a+h-\-c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2"o)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(12分)已知点M(-l,0),N(l,0),若点P(x,y)满足1PMi+|PN|=4.

(I)求点P的轨迹方程；

(D)过点Q(一百,0)的直线/与(I)中曲线相交于A8两点，。为坐标原点，求4AOB面积的最大值及此时直

线/的方程.

20.(12分)已知f(x)=fcf2+e*(&>o)

(1)当X〉，时，判断函数Ax)的极值点的个数；

2

(2)记g(x)=/(x)+x2-mlnx[x>；),若存在实数f,使直线夕=，与函数g(x)的图象交于不同的两点

A(x,,Z),B(x2,t),求证：m>2X,X2.

21.(12分)已知函数/(x)=e*—2x.

(1)若曲线y=/(x)的切线方程为y=6+l,求实数。的值；

(2)若函数°(6=何'(6+2如-％2+3在区间［-2,4］上有两个零点，求实数〃?的取值范围.

22.(10分)已知集合4={1,2,,〃},ne2V*.n>2,将A〃的所有子集任意排列，得到一个有序集合组

其中"=记集合加人中元素的个数为，kcN*,k<m,规定空集中元素的个数为

(MPM2,2".40.

(1)当〃=2时，求％+。2++4”的值；

⑵利用数学归纳法证明：不论〃(心2)为何值，总存在有序集合组(陷,％,,Mm),满足任意ieN*,1,

都有何一a,J=1.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.

【详解】

设四个支点所在球的小圆的圆心为O',球心为0,

47r447r

由题意，球的体积为一，即一万斤=—可得球。的半径为1,

333

又由边长为0的正方形硬纸，可得圆O'的半径为g,

利用球的性质可得O'O?=Jl2-(1)2=g,

又由。'到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为,，

2

所以球心到底面的距离为且+,=史上1.

222

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力,

属于基础题.

2.C

【解析】

充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据麻〃AC判断A的正误.根据"//4G，4G/IAC、

判断B的正误.根据"与RC相交，判断C的正误.根据AB//AC,判断D的正误.

【详解】

在正方体中，因为EF"AC,所以EF//平面AC。，故A正确.

因为67////£，4G/4C,所以G/7//AC,所以G”//平面ACR故B正确.

因为48//。0,所以48//平面AC。一故D正确.

因为EH//C、D,C\D与0c相交，所以E”与平面AC"相交，故C错误.

故选：C

【点睛】

本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.

3.A

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解.

【详解】

i（\-ai）=2+bi9

:.a+i=2+bi,得。=2,b=l.

：.ab=2.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题.

4.B

【解析】

根据函数的奇偶性及题设中关于g（x）与/（X-1）关系，转换成关于“X）的关系式，通过变形求解出了（X）的周期，

进而算出“2019).

【详解】

g(x)为R上的奇函数，，g(0)=/(-1)=0,g(—X)=-g(x)

・••/(-l)=0J(r-l)=-/(I),=

而函数是R上的偶函数，=x),.•./(力=一)(%-2)

,/./(x)=〃x-4)

故/(x)为周期函数，且周期为4

"(2019)=〃-1)=0

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.

5.D

【解析】

由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.

【详解】

等差数列｛%｝的公差为-2,可知数列单调递减，则。2，%，%中外最大，出最小，

又。2，生，氏为三角形的三边长，且最大内角为120°,

由余弦定理得+a3a4，设首项为《，

即(4—2)2=(%-4J+(a「6)2+0—4)(a「6)=0得(4一4)(q-9)=0,

所以4=4或4=9,又％=a1一6>0,即a1>6,q=4舍去,故q=9,d=-2

前n项和sn=9n+“(7)x(―2)=—(〃—5f+25.

故S“的最大值为S$=25.

故选：D

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.

6.A

【解析】

根据交集的结果可得3是集合3的元素，代入方程后可求加的值，从而可求3.

【详解】

依题意可知3是集合3的元素，即32-2x3+m=0,解得机=一3,由犬2一2X一3=0，解得x=T,3.

【点睛】

本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.

7.A

【解析】

首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；

【详解】

解：依题意，/（-X）=言（＞）+（二）2fos（N）=吧+不C。竺=/（X）,故函数/（X）为偶函数，图象关于）'轴

-x20x20

对称，排除C；

而/（万）=—太＜0,排除B；/（2万）=彳＞＞0,排除D.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.

8.D

【解析】

由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.

【详解】

4%+7y＜50,

设购买甲、乙两种商品的件数应分别X,y利润为z元，由题意—z=x+l.Sy,

x,yeN,

画出可行域如图所示,

显然当y=—：x+gz经过A(2,6)时，z最大.

故选：D.

【点睛】

本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x,)’是否是整数，是否是非负数，并准确的画出

可行域，本题是一道基础题.

9.D

【解析】

以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AO所在直线为)'轴，AA所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系.求解平面ACG4的法向量，利用线面角的向量公式即得解.

【详解】

如图所示的直四棱柱ABCQ-AgGQ,NABC=60°，取中点E，

以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，所在直线为)’轴，A4所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系.

4t__P.

设AB=2,则A(0,0,0),4(0,0,2),8(后,一1,0),C也1,0),(6,1,2),

BCi=(0,2,2),AC=(6』,0),A4,=(0,0,2).

设平面ACG4的法向量为几=（X,乂z）,

"•AC=6x+y=0,

则〈一取x=l,

n-AAi=2z=0,

得几=（1,一6,0）.

设直线BC］与平面ACC,A所成角为。,

直线BCi与平面ACC^所成角的正切值等于平

故选：D

【点睛】

本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

10.A

【解析】

设z=Q+〃(Q,Z?£R),由Z・i=z+i得：(。+〃)i=a+S+l)，，由复数相等可得。力的值，进而求出1即可得解.

【详解】

设z=a+hi(a,bGR)9由z・i=z+i得：(a+bi)i=«+(/?+l)z,即ai—b=a+(b+l)i,

1

(ju=——

一b—a2ii~1111

由复数相等可得：＜,,，解之得：＜「则所以z=-+-i,在复平面对应的点的坐标为七二)，

a^b+l,1222222

ib=—

I2

在第一象限.

故选：A.

【点睛】

本题考查共挽复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.

11.A

【解析】

由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到A6坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率A与A,6坐标的关系，由

此化简并求解出离心率的取值范围.

【详解】

设4（不凶）,3（%2，%），且线/：6-y-3左+1=0过定点（3,1）即为G的圆心,

%+/=%+=2x3=6

因为AC=08，所以

M+必=%+%=2x1=2

又因为偌;:y所以

所以q=—号•❷3〃

所以k=----丁G[-2,-1],

不一%2a乂+%

,b2「121,a2-c2「12]，\「12

所以萨，所以353，所以°v）e差

所以小怜当•

故选：A.

【点睛】

本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而

不求”的目的，大大简化运算.

12.D

【解析】

频数

根据频率分布直方图中频率=小矩形的高x组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=舒求出班级人数.

频率

【详解】

根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）x20=0.30,

1Q

.•.样本容量（即该班的学生人数）是病=60（人）.

故选：D.

【点睛】

频数

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=&5^的应用问题，属于基础题

样本容量

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2或4

【解析】

试题分析：由COSA=Y3,则可运用同角三角函数的平方关系：sinA

22

已知两边及其对角，求角C.用正弦定理；a

与。或⑵。，

sinAsinCYe

则；A=30°,C=60°或120°,B=90°或30°，可得8=2或4.

考点：运用正弦定理解三角形.(注意多解的情况判断)

14.1

【解析】

根据均值的定义计算.

【详解】

M5QM+M.M.

由题意N=-------------=M,

51N

故答案为：L

【点睛】

本题考查均值的概念，属于基础题.

15.1

【解析】

作出约束条件表示的可行域，转化目标函数z=2x+y为y=-2x+z,当目标函数经过点(2,3)时，直线的截距最大,

取得最大值,即得解.

【详解】

作出约束条件表示的可行域

是以4(2,3),5(-1,0),C(l,0),为顶点的三角形及其内部,

转化目标函数z=2x+y为y=-2x+z

当目标函数经过点(2,3)时，直线的截距最大

此时z=2x2+3=7取得最大值1.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.

16.①©③

【解析】

根据偶函数的图象关于y轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可.

【详解】

U—K.2)」XG[20,,+2)L)又因为小/)、为偶函数

解：当4=4时=<

可知当加=0时g(x)=/(x)—M有5个不同的零点；故①正确;

若必“e[0,1],函数g(x)的零点不超过4个,

即V/«e[0,l],y=f(x)与丁=加的交点不超过4个,

.•.》22时/(%)40恒成立

又当xw[2,+8)时，/(x)=(a-x)(x-2)

q-x40在xe[2,+8)上恒成立

在xe[2,+8)上恒成立

:.a<2

直线/与图象的公共点不超过4个，则“W2,故②正确;

3«e（4,+oo）,使得直线/与g（尤）恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确.

故答案为：①②③

【点睛】

本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)Q=2COS。；(2)2

【解析】

ccX=1+COS(P

(1)首先利用ca/e+s山20=1对圆c的参数方程｛.(夕为参数)进行消参数运算，化为普通方程，再

y-sm(p

根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆c的极坐标方程.(2)设Rq,仇),联立直线与圆的极坐标方程，解得

月，4；设。(2，矽，联立直线与直线的极坐标方程，解得0，仇，可得|「。|.

【详解】

⑴圆C的普通方程为=1,又x=℃os。，y=psin6

所以圆C的极坐标方程为p=2cos6.

p=2cos0/

⑵设pg,可)，则由｛兀解得q=i,a=I，得尸1,]]；

2psin|^+—j=3>/3(、

设Q(q,&)，则由｛3)解得0,=3,&=£,得。3,斗；

6=工3<3；

3

所以|PQ|=2

【点睛】

本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能

力以及转化能力，属于基础题.

18.(1)见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)—

21

【解析】

(1)根据题中数据得到列联表，然后计算出长2,与临界值表中的数据对照后可得结论；(2)由题意得概率为古典概

型，根据古典概型概率公式计算可得所求.

【详解】

(1)由题意可得：

城镇居民农村居民合计

经常阅读10030130

不经常阅读403070

合计14060200

所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.

(2)在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人.

采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为A、B、C、D、E;

不经常阅读的有2人，记为X、Y.

从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为AB,AC,AD,AE,AX,AY，BC,BD,BE,BX，

BY，CD,CE,CX,CY,DE,DX,DY,EX,EY,XY，共21种，

被选中的2位居民都是经常阅读居民的情况有10种，

..所求概率为P=3.

21

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力.

对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，

属于中档题.

19.(I)?+<=1；(II)AAOB面积的最大值为百，此时直线/的方程为x=土坐y-6.

【解析】

(1)根据椭圆的定义求解轨迹方程；

(2)设出直线方程后，采用;x|AB|xd(△表示原点到直线AB的距离)表示面积，最后利用基本不等式求解最值.

【详解】

解：(I)由定义法可得，P点的轨迹为椭圆且2。=4,c=L

r2V2

因此椭圆的方程为土+L=1.

43

22

(D)设直线/的方程为x=-百与椭圆?+匕=1交于点A(x”x),

B(x2,y2),联立直线与椭圆的方程消去x可得⑶2+4)/-6石)-3=(),

□n6J3t__3

即x+%=E，、跖=京百

AAOB面积可表示为S^AOB=gI。。I•|y-必1=；,G•犯1+%)2-4凶为

」小J(坐)2-4--=亘坐・的产+3/+4=上•再小

2V3产+43产+423『+43『+4

_____6〃_6V百

令飞3尸+1=11，则〃与1，上式可化为1+3一,3、”，

UH--

U

当且仅当〃=&,即f=±如时等号成立，

3

因此MOB面积的最大值为6，此时直线I的方程为x=±gy-瓜

【点睛】

常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：

(1)已知点”(一c,0),N(c,0),若点P(x,y)满足|PM|+|PN|=2a且2a>2c,则尸的轨迹是椭圆；

(2)已知点M(-c,0),N(c,0),若点P(x,y)满足IIPMI-|PN||=2a且2a<2C,则尸的轨迹是双曲线.

20.(1)没有极值点；(2)证明见解析

【解析】

(1)求导可得/'(》)=%(2工-6"),再求导可得/〃(月=依2+依h)>0,则/'(X)在[3,+8)递增,则

/'(%)>/]£|>0,从而/。)在(；，+8)递增,即可判断；

(2)转化问题为存在西,々且玉<々,使8(工1)=8(々)，可得

机(In々Tn%)=(2+1)(^2一X；)+("仁-e~^)，由(1)可知f(x2)>f(x1)，即""_”3>-k(x；-x；)，则

(\2

mxj-x^--1x

机(In々-In%)>x；-x；，整理可得万>:%，则山—>强，设±=s>l,则可整理为s—L-21ns>0,设

2mt2m超玉％s

X]

〃(s)=s—21ns,利用导函数可得。(5)>〃(1)=0,即可求证.

S

【详解】

(1)当X〉；时,/'(x)=Z(2x-e*),f\x)=kQ+&*)>。，

所以f(x)在递增，所以r(x)〉/(g)=攵(i-e4)〉o,

所以/(x)在(g,+8)递增，所以函数fM没有极值点.

22kv

(2)由题,g(x)=/(x)+x-mlnx=(k+l)x-mlnx+e~9

若存在实数f,使直线y=r与函数g(x)的图象交于不同的两点A(X1,r),3(X2J),即存在X,4w(g,+8]且不<々,使

g(%)=g(X2).

由g(』)=g("2)可得皿In々-In玉)=(左+1)(%2-X；)+("3-e-^),x)<x2,

由⑴可知/(工2)>/(占)，可得”的一e*1〉一人(考一X；).,

2)

mx2-5

所以m(ln々TnX|)>考一x：，即221n员，

X

/、2

考-才强_]

下面证明三>“々，只需证明:I*".>寇,

21n寇罚

玉

X1c2-11

令—7=S>1,则证^__->S^S----21ns>0.

x\21nss

设/i(s)=s」-21ns,那么h'(s)="上>0，

ss

m

所以h(s)>//(1)=0,所以,>尤/2,即m>2再尤2

【点睛】

本题考查利用导函数求函数的极值点，考查利用导函数解决双变量问题，考查运算能力与推理论证能力.

1OZ

21.(1)4=一1；(2)-2e—-

e4d

【解析】

(1)根据解析式求得导函数，设切点坐标为(Xo，e"-2%),结合导数的几何意义可得方程x。1-+1=0,构造

函数〃(x)=xe、-e'+l,并求得〃'(x),由导函数求得〃(x)有最小值力(0)=0,进而可知由唯一零点/=。，即可

代入求得。的值；

(2)将/(%)解析式代入°(x),结合零点定义化简并分离参数得相=一，构造函数g(x)==