椭圆-2022年高考数学学霸纠错（新高考专用）

考点11椭园

学生海选错题

，，

【易错点1】对椭圆标准方程把握不准确

椭圆的标准方程需要注意a^b

22

例1.若方程一二+二7=1表示椭圆，则k的取值范围

5—k5—k

【错解】由《解得3<k<5.

"3<0,

【错因】错节中没有注意到椭圆的标准方程中a工人这一条件，当这一条件，不表示椭圆.

5-左〉0,

【错解】由题意可知—3<0,,解得3<左<5,且

5-kk-3,

【易错点2】忽略了对椭圆焦点位置的讨论

椭圆焦点可能在x轴上可能在y轴上需要注意分类讨论.

例2.已知椭圆二+2-=1的离心率6=典，则m的值为（）

5m5

A.3B5J，或Jl5C.y/5D.—或3

33

2c25—m2

【*曰解】Ae~=————--=（---）~=—»所以m=3

【错因】由于本题中椭圆的焦点位置不确定，因此注意进行分类讨论.

【正解】D当焦点在x轴上时，同错解，当焦点在y轴上时，e2=[=t±=（叵尸=2

a2m55

2525

所以机=一，故m的值为一或3

33

【易错点3】忽略了椭圆本身应该满足的条件

注意椭圆成立的条件a

例3.已知椭圆土+二=1,直线/:y=/nr+l,若对任意的me直线/与椭圆C恒有公共点，则实数b

5b

的取值范围是

【错解】b>\直线/:y=mx+l恒过点M(O,1),要使直线与椭圆总有公共点，则点”(0,1)必在椭圆内

02I2

或椭圆是上，由此上+―<1,解得

5b

【错因】错解中忽略了三+汇=1为椭圆应满足的条件否则给定的椭圆就变为圆了.

5b

JV

【正解】1且力。5,同错解得到621,又C一+乙=1为椭圆方程，故匕。5,

5b

所以人且力。5

解题必备知识

1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于

|F1F2|,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.

2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭

圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方

程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定片,〃的值，代入所

设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为〃/

+〃y2=l(m>0,〃>0且m^n).

3.判断直线与椭圆的位置关系主要是代数法，即通过联立直线方程和椭圆方程所得的二次方程

的根的个数来进行，当直线过某一定点时，也可利用该定点与椭圆的位置关系，来判断直线与

椭圆的位置关系.

4.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建

方程求解参数、计算弦长、表达函数.

归纳解题方法技巧解

如何求椭圆的离心率

1.由椭圆的定义求离心率

例1以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组

成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为

【解析】如图所示，设椭圆的方程为1+*=1（。＞。＞0），半焦距为c,由题意知NQAF2

=90°,/AF2FI=60°".|AF2|=C，

|AFi|=2c-sin60°=小c.

.,.|AFi|+|g|=2a=（小+l）c.

.c

2=巾一1.

【答案】＜3-1

【点评】本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决.通过椭

圆的一些几何意义从而求得离心率.

2.解方程（组）求离心率

22

例2椭圆兴+方=13〃＞0）的左焦点为尸1（一c,0），A（~a,0）,仇0,份是两个顶点，如果Q到直线AB的

距离为高

则椭圆的离心率0=

【解析】如图所示，直线AB的方程为士+方=1,

BPhx-ay+ah=0.

..才1士小、AJLLf、，bbI-bc-¥ab\

•点尸i（—c,0）到直线A8的距禺为；・72+年

・••市I。一（=\标+62,即la2—]4ac+lc2=a2+b2.

又,.》2=〃2—c2,整理,得5标-14ac+8c2=0.

两边同除以层并由e=。知,8/—14e+5=0,

解得e=1或e=!（舍去）.

【答案】3

【点评】通过已知条件构建关于a、c的齐次线性方程组从而得到关于e的一元二次方程.

3.利用数形结合求离心率

22a"

例3在平面直角坐标系中，已知椭圆x今+方v=1（〃》＞0）,圆。的半径为。，过点P（三,0）作圆。的两条切

线，且这两条切线互相垂直，则离心率6=.

【解析】如图所示，切线布、P8互相垂直，PA^PB.

又O4_LMOBVPB,OA=OB,

则四边形OAPB是正方形，

故OP=@OA,

即］=也小•,♦0=；坐

【答案】坐

【点评】通过已知的几何性质，得到a与c的关系，从而得到离心率.

4.综合类

22.

例4设M为椭圆/+%=1上一点，尸卜尸2为椭圆的左、右焦点，如果NMFiB=75。，ZMF2F\=\5°,求

椭圆的离心率.

【解析】由正弦定理得焉=*=摆

_|MFi|+|M&|_2a

sin150+sin75°sin150+sin750'

._c________1_____________1_____逅

•"=Z=sin150+cos15°=巾sin60°=3"

a+B

cos

【点评】此题可推广为若NMQF2=a，NMF2p=夕，则椭圆的离心率6=—二^

cos2

•学霸必做试题■

II

一I：/---------------------------„I

一、单选题

r2V2

1.关于椭圆C：匕+匕=1,有下列四个命题：甲：m=4；乙：〃=9；丙：C的焦距为6；T：C的

mn

焦点在X轴上.如果只有一个假命题，则该命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

22

【解析】当甲乙为真命题时，椭圆方程为上+汇=1,

49

椭圆的焦距为：2c=2V9-4=2>/5，且焦点在丁轴上，

此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题.

当乙，丙和J是真命题时，b=M=3，2c=6,

.,.<72=Z?2+c2=9+9=18,

此时椭圆方程为：工+二=1,符合题意，故甲是假命题.故选：A.

189

22

2.已知椭圆。：=+1=1（。〉/?>0）与双曲线£有公共焦点凡，F2,它们在第一象限交于点P,离心率

a~b~

11

分别为ei和ez,且线段PE的垂直平分线过R,则------=（）

%G

11C

A.---B.—2C.—D.2

22

【答案】B

【解析】由题意线段PE的垂直平分线过点K，则有「鸟=6鸟，则由椭圆和双曲线的定义计算PK得

2al—2c—2c+2a、q—a,—2c------——2故选.B

3.古希腊数学家阿基米德用"逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已

知椭圆C的中心在原点，焦点Fl,F2在y轴上，其面积为86兀，过点F1的直线/与椭圆C交于点4B

且回FzAB的周长为32,则椭圆C的方程为（）

22,,2丫2

A.土+匕=1B.匕+土=1

643643

2922

厂-1

C.D.—yjI——-11

64486448

【答案】B

【解析】自焦点Fi,F2在y轴上,

回可设椭圆标准方程为=1(〃>Z?>0),

部+F

4s

由题意可得——=2ax2h=4ab

71

团S=abjr-，即=8G,

配］F2A8的周长为32,

040=32,则。=8,回6=百，

22

故椭圆方程为匕+土=1.故选：B.

643

4.已知椭圆。：二+与=1（。>人>0）的左、右焦点分别是入，直线）'=也与椭圆C交于A,B两点,

6rb~

制=3|%|,且/耳48=60。，则椭圆。的离心率是（）

7J793

A.—B.----C.—D.一

164164

【答案】B

【解析】

由椭圆的对称性,得|A闾=|因|.设［4闾=加，则|做|=3见由椭圆的定义,知川耳|+|伍|=2a,即

m+3m-2a,解得，〃=■!■,故|/1用=弓，|A用

在△Af；用中，由余弦定理，得忻g「=|Aff+|A用「-21A4||A用cosN百Ag,即

*29a2a2.3aa1IcT,c21币„

4c~=----1---2x—x—x—=---，贝!|e~=r=—，故6=——-•故选：B.

442224a2164

5.“方程加+力2=1表示双曲线,，是“方程底一刀2=1表示椭圆,，的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若方程OX?+力2=1表示双曲线，则必<（）；

若方程依2—勿2=1表示椭圆，则。>0,b<os.a^-b；

则。6<0入a>0,6<0且a。一/?；a>0,b<0S.a—b=>ah<0

"方程a/+hy2=1表示双曲线"是"方程a?—力2=1表示椭圆，，的必要不充分条件.

故选：B.

6.如图，圆柱。。1的轴截面ABBM是正方形，分别是AA和B用的中点，C是弧A8的中点，则

经过C、。、E的平面与圆柱0Q侧面相交所得到的的曲线的离心率是（）

A.1B.—C.72D.逅

22

【答案】B

【解析】设轴截面的正方形边长为2,设G是弧的中点，且与C关于圆柱的中心对称，由题意可知截

面曲线为椭圆，椭圆的短轴2,长轴。£=20,

回半长轴。&，半短轴b=1,团半焦距为c=加一廿=1

椭圆的离心率为6=£=立,故选：B.

a2

7.如图所示，点F是椭圆历：=l（a>Z?>0）的右焦点，A,C是椭圆上关于原点。对称的两点,

直线AF与椭圆的另一个交点为8,若AF_LFC,\AF\=2\BF\,则椭圆M的离心率为（）

【答案】A

【解析】如图，作耳为椭圆M的左焦点，连接AK，C6,电.^\AF\=x,

则忸尸|=5，|CF|=2a—x,B£=2a-

因为A,C是椭圆上关于原点。对称的两点，直线AF与椭圆的另一个交点为8,AF1FC,

所以AF_LA耳

(2。一无)~+x~-4c~,

可得£=好.

所以《

(2a—x)~+a3

22

8.已知椭圆C:，+}=1（4＞人＞0）的一个焦点为*1,0）,一个顶点为A（2,o）,设3&0）,点P是

椭圆C上的动点，若|产即习4到恒成立，贝V的取值范围是（）

A.0,gB.—,+oojC.[—2,2]D.（2,+oo）

【答案】B

J________r22

【解析】由已知条件可得c=l,a=2,则叫==5椭圆。的方程为亍+g_=i.

22/2A

设P（Xo，%），则+等=1=>尤=3丫一个，

因为|PB345],所以归B「N|A砰，

（2\

2

所以（工0-，）+得之（?-2）=>XQ—2txQ+Z+31—■2广一4f+4.

\4J

因为手一2%+2n2f（2一/）21-4

因为一24%42,所以2-/20.

①当2—%=0时，即当天=2时，可得2rx020,此时reR；

②当2-x0>0时，即当一2Wx0<2时，可得以2百当，

4

而21（）40,1）,故力之1,解得tzg.

综上所述，实数，的取值范围是g,+8）故选：B.

二、多选题

9.已知AABC中，角A、B、C的对边分别为仇C,且满足。sinA=（48一c）sin8,则下列判断错误

的是（）

A.ci+c4b

B.若&=2,则,+工之工

ac2

C.若6=2,则顶点3所在曲线的离心率为:

7

D.若cosB=_,贝！]〃=c

8

【答案】BD

【解析】由正弦定理和hsin4=（4人一。）5由8得，ba=（4b-c）b,

因为6N0,所以a=4/7—C,即a+c=4。，故A；

若b=2,则a+c=8,

a+c-S

当且仅当<ca即a=c=4,故B正确;

.ac

若Z?=2,则a+c=8,即BC+/W=8>AC=2,

所以3在以A、。为焦点的椭圆（除去A、。两点）上运动,

其中椭圆的焦距为2C'=2,C'=1,

c']

而2a'=8,所以a'=4,椭圆的离心率e=^=一,故C错误；

a4

722(a+c]2

若cosB=d，则有a2+c2-b2a+C一〔4J7,

2aclac8

a2+c2+2ac7

即有a?+/-=—ac

164

整理有a2+c2_2ac=0,所以（a—c）2=0,得。=。，故D正确.故选：BD.

22

10.已知椭圆c：、+/=1（3＞匕＞0）的左、右焦点分别为耳、心，。为坐标原点，P是椭圆上一点,

延长产工与椭圆交于点A,若［0四=|。4|,△。片A的面积为2,则|A用的值可以为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】BD

【解析】连接的，因为|。4|=|0耳|=|0可，则NQ4《=NO6A,ZOAF2=ZOF2A,

TT

因为NOA6+NO耳A+AOAF2+AOF2A=2AF{AF2=兀,/6人居=—,

1fmn=8

记A耳=机,\AF-\=n,则S△尸6=2sAOAF=-mn=A,由椭圆的定义可得小+〃=6,所以，〈

1212［机+〃=6

〃2—4m—2

解得J，或C，所以|A6=2或4.故选：BD.

11.如图所示，"嫦娥五号"月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心尸为圆心的圆形轨道回上绕月

飞行，然后在P点处变轨进入以尸为一个焦点的椭圆轨道团上绕月飞行，最后在。点处变轨进入以尸为圆

心的圆形轨道团绕月飞行，设圆形轨道团的半径为R,圆形轨道回的半径为乙则以下说法正确的是（）

A.椭圆轨道团上任意两点距离最大为2R

B.椭圆轨道回的焦距为R-r

C.若「不变，则R越大，椭圆轨道团的短轴越短

D.若R不变，则「越小椭圆轨道团的离心率越大

【答案】BD

【解析】设椭圆轨道回的长轴长为2“，短轴长为2A,焦距为2c.

a+c=RR+尸R-r

依题意得《，解得。c------

a—c-r22

椭圆轨道回上任意两点距离的最大值为2a=R+r,故A错误;

椭圆轨道团的焦距为2c=R—r,故B正确；

椭圆轨道回的短轴长处=2j?^7=2j瓦，若「不变，火越大，则处越大，故C错误；

cR_T2/?

椭圆轨道团的离心率e=—=——=-1+——，若R不变，尸越小，贝I"越大，故D正确.故选：BD.

aR+rR+r

22

12.已知椭圆C:=+4=l(a>b>0)的左.右焦点分别为6,6,P是圆。：F+y2=a2上且不在*轴上

a~b~

的一点，且APK居的面积为且〃.设c的离心率为e,则()

^FXPF2=O,

一2

A.\PFt\+\PF2\>2aB.西朋=ab

C.eegslD.tan6=

3J3

【答案】AC

【解析】如图,

连接“i，PF2,设PFa交椭圆于。，则I。用+|QR|=2a,

\PFl\+\PF2\=\PFl\+\PQ\+\QF2\>\QF]\+\QF2\=2a,故A正确;

设P(acos2Msina),月(一c,0),F2(c,0),

PF}=(-c-acosa,-asina),PF2=(c-acosa,-asina),

22122222

PF、•PF2=acosa-c+asina=a-c=b<ah,故5错误；

设P(%,力)，则S；晔=glEKI」yp|=|aLsina|,,ac,

又回尸£鸟的面积为3万，...等沆,即行(/-c2),,2ac,

.'-43e2+2e-y/3..O，又0<e<1,，虫,，e<1，故C正确；

3

I_______n

由所•房=|西II困|cose=〃，S弁",=-\PF\\\PF^\sin0=^-b2,

两式作商可得：tanO=J5,故。错误.故选：AC

三、填空题

13.已知。为坐标原点，双曲线:=-1=1(a>0,Z?>0)的左焦点为口，左顶点为A,过点尸向

a2h2

双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P,且|A司+|码=|0/1,则该双曲线的离心率为

【答案】V2

【解析】F(-c,O),设一条渐近线方程为y='x所以|闭=

又因为|4丹=°一。，|0月=。,

所以c-a+/?=c,即。=匕，故离心率6=e-

故答案为：y/2

14.焦点在坐标轴上，焦距为2指，短轴长为4的椭圆的标准方程为.

r2v2v2X2

【答案】'+乙=1或匕+土=1O

104104

【解析】设椭圆的焦距为2c,短轴长为2A,长轴长为2〃，且2c=2遍,28=4,

所以公=)2+/=10力2=4,

当焦点在X轴上时，椭圆的标准方程为：—+21=1,

104

当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为：工+三=i,

104

2222

故答案为：—+^—=1^4——F——1.

104104

的离心率是巫，斜率为的直线过且与椭圆交于两点,。

15.椭圆与十1M(b,0)4B

a~b~2

---►32

为坐标原点,若OA,OB=------------,则椭圆的标准方程是.

5tanNAOB

x22

【答案】—+匕=1

164

【解析】由题意6=走=£,b2=a2

2a

22

可得4=452,所以椭圆的方程为：木+/=1,.

由题意可得直线AB的方程为：y=x-b,

8,

y^x-bx--b

x=05

联立《元2/,解得,,或，

y=-b3,

行+*1y=­b

-5

所以设砺=(0,询,丽=微|“,OAOB=-^b2

5

cosZAO^丽丽力3

649

+b

2525

所以tanNA。"牛8

3

______3c32

—­—►32OAOB=--b2=—

因为QA0B二------------，所以59

5tan/AO33X

2222

所以y=4,所以桓圆的方程为：土+匕=1,.故答案为：三+汇=1.

164164

29

x~

16.已知A、B、P是椭圆C：=+=l(tz>Z?>0)上的三个不同的点.。为坐标点，OP+OA+OB=6>

6r

且须8-k<*=-3，则椭圆C的离心率为.

【答案呼

【解析】因为赤+砺+砺=6，点。是八旬?/5的重心，设点A(x”y),3(々,%)，

则点尸(一七一马，—y—%)•

22

因为A,8在椭圆C:，y+q=l(a>/?>0)上,

iii

2+12=2才-

所以《匕,两式相减得五三

即2

44=i6不一

a+b-

又因为配・%=上&.山=牛父

xx-X2Xj+尤2%一

,故答案为：旦

所以。2=3。2,则椭圆。的离心率e

3

四、解答题

TT

】7.在平面直角坐标系g中，已知椭圆「：/+*9。>。)的长轴为4.过左顶点A且倾斜角为押

直4线与椭圆的另一个交点为3,与>轴交于点c,且A&=2fib-

(1)求椭圆r的标准方程;

(2)过点“(1,0)且不与X轴重合的直线交椭圆「于点M，N,连接NO并延长交AM于点尸.若

AP^AAM'求实数X的取值范围•

【解析】(1)由题知，。=2,4：y=x+2,A(—2,0),C(0,2),又6=2/，

24

贝|]58+2,y8)=2(一%8,2—}^)，解得/=一§,ys=-,

(_2)2(&2

代入椭圆方程有，3「天I，解得}=◎，

4b-

r22

则椭圆方程为土+v匕=1

42

（2）设直线l2:x=my+l,M（占，y）,N（x2,y2）,

x=my+1

联立椭圆方程If2，化简得（苏+2）y2+2m），-3=0,

—+—=1

142

2m3

则x+%=--=，y%=―--，

m+2772+2

直线AM:x=±Ny-2,直线。N:x=±y,

y%

2yly2

联立得力又还=x京’

272y+2%

力_XP______2y2___________________2%____________2y2_2

则Xxty2-x2yt+2y2。劭+1）%-（，研+1）X+283y2一必3一工，

%

4m2

令"且，则（$+%）=（+1+2484

---------=--+-----e--（-一§'3，

2

%x%t3（/77+2）--33（川+2）

==Ze（,）

则由对号函数性质知，re（-3,--）,w/3_A3735

3%

22

18.已知椭圆C：*+/=1（〃>/,〉0）的左、右焦点分别是6（-73,0）和F2（73,0）,点p在椭圆C上，

且鸟的周长是4+26.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点（0,-2）的直线/与椭圆C交于不同的两点C、D,且OC_LOD（。为坐标原点），求直线/的

方程.

【解析】⑴因为|P6|+|%|+闺舄|=4+26,阳闾=26,所以|P£|+|P闾=4,

r2

即2。=4M=2.因此方2=/-2=4一3=1.故椭圆。的方程是土~+丁=1.

（2）当直线/的斜率不存在时，不满足题意.

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为丁=丘一2,）,£＞（%,%）•

回反•历=0，回玉9+＞/2=°-Syl=kxl-2,y2=kx2-2,

回y%=42内.马一2斤（％+/）+4.回（1+左2）%/2-2左（玉+々）+4=0.①

V2=

联立消去y得（1+4公卜2-16日+12=0.

y=kx-2

△=256/-4＞＜（1+4%2）＞＜12＞0解得）＞B或k〈-皇

22

则为+x2=-^y,中々=上万，代入①得（1+%2卜上方一2左』^+4=0

'为l+4k2121+4-JJ1+4左21+4公

即1=4,解得左=2或%=—2,满足女〉也或女＜一无

22

故直线/的方程是2x-y-2=0或2x+y+2=0.

19.椭圆£:0+白=1（。＞。＞0）的离心率为乎，长轴长为2#.

（1）求椭圆G的标准方程；

|UUU1||UUII|

（2）直线/与圆。2：/+产=2相切于点机交G于两点4B,试问：是否为定值？如果是,

请求出该定值；如果不是，请说明理由.

C1

【解析】（1）由题意，q=旦2a=，解得：a-A/6，c—V3,所以A?=a?—c?=3，

则椭圆G：〈+m=i；

（2）当直线/的斜率不存在时，不妨令M（&,0）,故A（行,&）,5（V2,-V2）,则卜2

当直线/的斜率存在时，设直线/：y=kx+m,M（x0,y0）,A（X1,yJ,网%,力），

故，圆心到直线的距离。='@==机2=2口2+］）,且女=一工

_02/；12W2+4Z7TU+2W2

联立：〈\kx+m>+-6=0,

%2+2/=6I)

c4km2加一6口2,2c

团百+%2=一,Xyx2=-~审■，且尤0+%=2,

I十1+Z/C

方法一:

由于A,M,B三点共线，贝4HMM=一加.砺,

MA-MB=(^xt—x0)(x2_/)+(依+m—y0^kx2+m—y0)

-2

=(1+女2)内电+{km-ky()-^o)(^1+A:2)+%0+(m-j0)-

(1+%2)(2,7T-6)4km(km-ky0-x0)

+x^+y^-2my+m2

1+2公1+2公n

2m(kx。-m)

+2

1+2公

注意到女=一5•且为=5+机，则/=一7^-，代入上式，

%K+1

c22k2m2,、

2

即得.--------—2m-2-4(2Z:+1)

噌MAMB=---------JiL+2=————L+2=-2

1+2攵21+2公

树加4卜|网=_加.丽=2

方法二:

OAOB=xiyl+x2y2=(1+后2)工］工2+版(X+%)+加2

二（1+2（2加-6）4如.

On

1+2公1+2左2

△AOB为直角三角形，由射影定理有：|朋冲|儿倒=|。叫2=2为定值.

22

20.已知椭圆C：,+方=1的右焦点为（百,0）,且经过点.点M是x轴上一点.过点M的

直线/与椭圆C交于A,3两点（点A在X轴上方）.

(2)^\AM\=2\MB\,且直线/与圆0：f+y2=B相切于点N,求|网的长.

4+2=1的右焦点为（6,0），且经过点（一1，日），

【解析】（1）由椭圆c：

a2-b2=c2=3

2

可得」,解得/=4乃2=1,所以椭圆。的方程为工+y2=l.

2在丫

(T)24

一十J1

a2b2

(2)设”(加0),直线/:x="+〃z,A(%,y),B(x2,y2),

由=可得x=-2%,

9

厂2一]

+>

由＜T一，整理得(r+4)产+2)>+/”2-4=0,

x=ty+m

2tmm2-4

所以X+%=一

百牙^2=774

由y%=-2¥，x+必=-2%+必=一%，

则X%=—2[—(%+%)了=~2(y,+%)?，

可得第2tmY

=—2—,化简得（加2—4乂/+4）=—8〃加2.

产+4,

山原点。到直线的距离。=

4|m|[47

又由直线/与圆O：Y+y2=1相切，所以六亍=即/=1加

(〃/一4)(r+4)=-8/

由<7，整理得21加1一16〃/—16=0，

I4

即（3〃一4）（7/+4）=0,解得机2=g,

此时产=g,满足A＞（）.此时M±2『,o

4721

在RtAONM中,4T,所以|MN|的长为

21

已知椭圆C:，+，=1（。＞b＞0）的离心率为当,一条准线方程为％=竽

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点A是椭圆的右顶点，点P,Q均在椭圆上且均在x轴上方.

①若点E（-1,0）,且直线针与EP垂直，求点P的坐标；

②若直线AP,AQ的斜率之积为三，求直线PQ的斜率的取值范围.

4

【解析】⑴设椭圆半焦距为c,则离心率6=£=@,准线方程》=《=虫

a2