新人教版高中数学五本书教材例题课后习题变式含答案5

第五章一元函数的导数及其应用

5.2导数的运算

5.2.1基本初等函数的导数

例1求下列函数的导数：

2

(1)y=尤3；

(2)y=log2x.

5(讣22T2」

解：(1)y'=x3=—X3――X3：

I)33

(2)y=(iog2x/--

xin2

例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位：元)与时间，

(单位：年)有如下函数关系

p(f)=p°(l+5%)',

其中p。为，=0时的物价.假定某种商品的p0=l,那么在第10个年头，这种商品

的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)？

解：根据基本初等函数的导数公式表，有

p'(f)=1.05,In1.05.

所以

p,(10)=1.05'°lnl.05«0.08.

所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.

练习

1.求下列函数的导数：

⑴y=\

X

(2)y=^

(3)y=3*

(4)y=(gx

(5)y=log4x

（6）y=i°g/

2

【答案】（1）y=-4%-5

41

(2)

3

(3)y'=3'ln3

(4)TW

/=

(5)71h

(6)-y'=，-xln2

【解析】

【分析】根据基本初等函数函数的导数公式计算可得;

【小问1详解】

解：因为丁二^二厂4,所以了=1-4j=_4尸5；

【小问2详解】

4<4Y.1

解：因为y=KF-^3）所以y==—W；

、J3

【小问3详解】

解：因为y=3",所以y'=3ln3；

【小问4详解】

解：因为>=（；）、，所以y'=（g）1ng

【小问5详解】

解：因为y=logy，所以y'=1二；

xln4

【小问6详解】

，1..1

解：因为>=l°g[x,所以'一,1--xln2;

2xln—

2

2.求下列函数在给定点的导数:

（1）y=炉在x=3处的导数；

2

(2)y=lnx在尢=：处的导数；

(3)y=sinx在工=2%处的导数；

(4)y=，在x=0处的导数.

【答案】⑴八3)=405；⑵/(|)=|；⑶/(2万)=1;(4)r(O)=l.

【解析】

【分析】运用求导公式对所给函数进行求导，然后再求所求点的导数值.

【详解】⑴因为y=「所以y=5/,所以在x=3处的导数为/'(3)=5x3,=405；

(2)因为y=lnx,所以y'=，,所以在x处的导数为；

x313/2

⑶因为y=sinx,所以y'=cosx,所以在尤=2%处的导数为

/(21)=cos2"=1；

⑷因为y=e1所以y，=e',所以在x=()处的导数为r(0)=e°=l.

3.求余弦曲线y=cosx在点(',0)处的切线方程.

【答案】y=

【解析】

【分析】求导得y=cosx的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线

方程.

【详解】因为y=8SX,则y'=-sinx,

可得曲线厂cosx在点(于0)处的切线斜率为左=一1,

TTTT

则曲线y=COSX在点弓,0)处的切线方程为y=—x+,,

故答案为：y=~x~^~-

4.求曲线)=，在点(4,2)处的切线方程.

【答案】y=^x+i

【解析】

【分析】先求导数，然后求出切线的斜率，即可得到切线方程.

1-11

【详解】解：•.•y'=；x2=,

22Vx

4

所以切线方程为y-2=J(x-4),即y=[x+l

44

5.2.2导数的四则运算法则

例3求下列函数的导数：

(1)y=x3-x+3；

(2)y=2x+cosx.

解：(1)y=(x3-X+3)

=0-(x)，+⑶，

=3x2-1；

(2)y'=(2'+cosx)

=(2，)+(cosx\

=2AIn2-sinx.

例4求下列函数的导数：

(1)y=x3ex；

解：（1）y'=^x3evj

=（d）e、+丁（炉）

=3x2e%+x3ex-

<2sinx

(2)

IK2

(2sinx)&22sinx(x2)2x2cos%4xsinx

2xcosx-4sinx

例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化

费用不断增加.已知将It水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为

5284

c(x)=--(80<x<l00).

100-x

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：

(1)90%；(2)98%.

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

5284]

c(x)=100-xJ

5284'x(100-幻-5284>(100-x)'

(1007)2

0x(100—x)—5284x(—1)

(1007)2

5284

(100-x)2'

(1)因为c'(90)=_9o)2=52.84,所以，净化到纯净度为90%时，净化费用

的瞬时变化率是52.84元/吨.

5284

(2)因为c'(98)=：CCQ=1321,所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的

(1UU—9o)

瞬时变化率是1321元/吨.

函数.f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可

知，^(98)=25^(90).它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大

约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明，水的纯净度越

高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.

练习

1.运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解5.1节例2.你是否感觉到

运算法则给解题带来的方便简捷？

5.求下列函数的导数：

(1)y=2x3-3x2-4；(2)y=3cosx+2'；(3)y=e'Inx

(4)y=(x2+2x)y[x；(5)y=—,(6)y=tanx

x

【答案】(1)y=6X2-6X；(2)/=-3sinx+2v-*ln2；(3)y'=ex}nx+—；(4)

X

V211_Inr1

y=2/+3/；(5)y'=——；(6)y'=——

2cosx

【解析】

【分析】运用导数求导法则直接求导即可得到结果.

【详解】(1)y'=6x2-6x

(2)y=-3sinx+2r-In2

(3)y'=exlnx+—

x

L1-1

(4)y-(2x+2')\/x+—(x2+2x)x2

521

=-x2+3x2

2

1,

(5),,_x_l-\nx

y~7=?-

XXT

/八，/、，sinx

(6)y=(tanx)=(z----)xz

cosx

_cosxcosx+sinxsinx

9

COS-X

1

cos2X

6.求曲线y=/+二在点0,4)处的切线方程.

x

【答案】x+y-5=0

【解析】

【分析】先求解出尸(力，然后求解出了'(1),/。)，由此可写出切线的点斜式方程并

将其转化为一般式方程.

【详解】因为y=r(x)=2x-£,所以/‘⑴=2-3=T,/⑴=1+3=4,

所以切线方程为：y-4=-(x-1),

即为x+y-5=0.

5.2.3简单复合函数的导数

例6求下列函数的导数：

(1)y=(3x+5)3；

(2)y=e-o<>5x+i；

(3)y=ln(2x-l).

解：(1)函数y=(3x+5)3可以看作函数y=/和”=31+5的复合函数.根据复合

函数的求导法则，有

工=%4

=(/j.(3x+5)，

=3M2x3

=9(3x+5>.

(2)函数,=/必.可以看作函数y=e"和〃=-0.05x+l的复合函数.根据复合

函数的求导法则，有

弘=乂“

=(e,,)，-(-0.05x+D，

=-O.O5eH

=—0.05建如+1.

（3）函数y=ln（2x-l）可以看作函数y=ln〃和w=2x-l的复合函数.根据复合

函数的求导法则，有

乂=%4

=(lni/),-(2x-iy

2x-

u

2

2x-l

例7某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间，（单位：s）的

函数满足关系式＞=18sin（夸一]].求函数y在，=3s时的导数，并解释它的实

际意义.

解：函数y=18sin（2ff—可以看作函数y=18sin“和”=生/-•乙复合函数，根

O2）32

据复合函数的求导法则，有

y；=y：U

=（18sinu）,-f—Z--

I32）

,c2万

=18cos»x——

3

当f=3时，X=12^cos|^—J=0.

它表示当，=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为Omm/s.

练习

7.求下列函数的导数：

(2)y=(l-2x)3

(3)^=log2(2x+l)

X

(4)y=cos—

.3

y=sin(^-—3x)

(5)

y=22x-1

3

【答案】(1)y=-3(3x+lp

(2)y=-6(l-2x)2

2

⑶〉~(2x+l)ln2

(4)/=--sin—

-33

(5)/=3sin3x

(6)y'=4'ln4

【解析】

【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得;

【小问1详解】

2_1「1T3

解:因为y=百言=2(3x+1户，所以y，=2(3x4-Ip=-3(3x+lp

【小问2详解】

解：因为y=(l_2x)’，所以了=[(1=—6(1—2x)2

【小问3详解】

解:因为丁=1暇(2%+1),所以y'=[log?(2x+1)]'=.

【小问4详解】

解：因为y=cos?,所以y='os2)=-，sin2

3、3J33

【小问5详解】

31,

解：因为y=sin（万-3x）=-cos3x,所以｝/=（—cos3x）-3sin3x

【小问6详解】

解：因为y=22，—1=4,一1,所以y，=（4-l）'=41n4

8.求下列函数在给定点的导数：

（1）y=在处的导数；

（2）y=ln（5x+2）在％=1处的导数.

【答案】（1）—Ze」；（2）1.

【解析】

【分析】（1）先根据复合函数的求导法则求解出y=e-2'T的导函数y',然后将x=g

代入导函数计算出结果即可；

（2）先根据复合函数的求导法则求解出y=ln（5x+2）的导函数y',然后将x=l代

入导函数计算出结果即可.

【详解】（1）因为y=e-2，T可以看作函数＞=e"和”=一2》一1的复合函数，

所以"'=%',〃；=卜"），（一2%-1）=-2e"=-2edT,

所以当x=］时，”'=—2e~2;

（2）因为y=ln（5x+2）可以看作函数y=lnM和〃=5x+2的复合函数，

所以=yj-u'=（InM）’.（5x+2）'=2=—，

u5x+2

所以当x=l时，y；=g

9.求曲线y=场二T在点（I，1）处的切线方程.

【答案】y=

【解析】

【分析】求出曲线y==T在点处的切线的斜率，利用点斜式可得出所求

切线的方程.

【详解】设y=/(x)=(3x-l1，则r(x)=3x；(3x-l)《=(3x-l)《，贝1」广图=1,

因此，曲线y=酝万在点(1,1)处的切线方程为y-l=x-g,即y=x+g.

习题：5.2

10.求下列函数的导数；

(1)y=2V-3/+5

x

(3)y=2+log2x

(4)y=xV

/r\*3-1

(5)y=----

sinx

“、sinx

(6)y=----------

sinx+cosx

【答案】(1)y=6x2-6x

(2)y=-2%-2-4(x+l)-2

(3)y=2'ln2+-l-

xln2

(4)y'=nxn-'ex+xnex

,、3x2sinx—cosxlx3—1)

(5)y，=--------------1----L

sin2x

(6)y=-~—

l+sin2x

【解析】

【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得;

【小问1详解】

解：因为y=2%3-3炉+5,所以炉=6/一6x；

【小问2详解】

24一i_

解：因为丁=1+标=2尸+4(1+1］，所以y=—2/2-4(x+l「9；

【小问3详解】

解:因为y=2*+log,x,所以了=2-2+—二；

xln2

【小问4详解】

解：因为y=x"e'，所以:/=(x")Z+x"(e'j=Mx"Te'+x"e，；

【小问5详解】

初mu,x3-l，(-«3-1)sinx-(sinx)7?-l)3x*2s3456inx-cosx(x3-1)

解：因为y=-------，所以y，=A--------L----------1岁.人'------L=-------------------1-------L

smx(sinx)~siirx

【小问6详解】

解：因为y=.smx_,所以

sinx+cosx

,(sinx)(sinx+cosx)-(sinx+cosx)sinxcosx(sinx+cosx)-(cosx-sinx)sinx1

(sinx+cosx)2(sinx+cosx)21+sin2x

11.求下列函数的导数.

(1)y=(x+i)”

x

(2)y=

J2fx+1

(3)y=(2x-3)sin(2x+5)；

cos(3x-2)

(4)y=-------------

2x

(5)^=(3x+l)2ln(3x)

(6)>=351

【答案】(1)y=99(x+l)98

J2x+1-x(2x+1)2

2x+l

(3)y，=2sin(2x+5)+(4x-6)cos(2x+5)

,-6xsin（3x-2）-2cos（3x-2）

（4）

4尤2

（5）y=6（3x+l）ln（3x）+（3x+D

（6）y=3'e-31n3—3-3'e-3x

【解析】

【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的

导数计算法则求解.

【小问1详解】

解：•.-y=（x+l）99,...y'=99（x+1严（x+l）'=99（x+1产；

【小问2详解】

（）

Xxj2x+lJ2x+1xJ2x+1-x（2x+l）2

解：因为y=所以y'=—

J2x+12x+l

【小问3详解】

解：因为y=（2x-3）sin（2x+5）,所以

y，=（2x-3）sin（2x+5）+（2x-3）［sin（2x+5）］=2sin（2x+5）+（4x-6）cos（2x+5）

【小问4详解】

、，cos（3x-2）”

解：因为y=-------------,所以

2x

,［cos（3x-2）］2x-（2x）cos（3x-2）-6xsin（3x-2）-2cos（3x-2）

>=（5^=

【小问5详解】

解：因为y=（3x+l『ln（3x）,所以

y=［（3x+l）［ln（3x）+（3x+l）2［in（3x）］=6（3x+l）ln（3x）+0二+1）

【小问6详解】

解：因为y=3'e3，所以了=6'/*+3'卜力'=35/3—3.35,

12.已知函数”x）=13-8x+缶2,且广⑻=4,求为.

【答案】3也

【解析】

【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得；

【详解】解：因为/（力=13-8%+缶2,所以广（%）=一8+2血》，因为解小）=4,

所以一8+2及%=4,解得面=30

13.已知函数y=xlnx.

（1）求这个函数的导数；

（2）求这个函数的图象在点（1,0）处的切线方程.

【答案】（1）yC=lnx+l；（2）y=x-\.

【解析】

【分析】（1）运用函数乘积的求导法则即可求出导数；（2）求导后计算出切线斜率,

然后计算出切线方程.

【详解】（1）由题意，y=xlnx

/./=lnx+x«—=lnx+1

x

故函数y=xlnx的导数为理=lnx+l

（2）易知所求切线的斜率存在，设斜率为3

则k=y'Li=ini+i=i,

又当％=1时，y=。，

所以切点为（1,0）,

则切线的方程为y-0=ix（x-1）

即y=x-l,

故这个函数的图象在x=l处的切线方程为y=x-L

14.求曲线>在点M（肛0）处的切线方程.

【答案】万=0.

【解析】

【分析】由题意可得y,并得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.

txcosx-sinx

【详解】由函数的解析式可得:y=

所LL求切IF线/的人斜、I率为：1k=yt'\\=--C--O-S-T-C-—-S-I-H-7-1

7V

由于切点坐标为(乃,o),故切线方程为：y=--(x-^,

7T

为x+%y-;r=0.

15.已知函数/(x)满足/(x)=/'g)sinx—cosx,求在x=(的导数.

【答案】亚+1

【解析】

7T

【分析】首先求出函数的导函数'再将x=］代入计算可得;

【详解】解：因为/(x)=./i'(£)sinx—cosx,所以/''(x)=/'(Wcosx+sinx,所以

16.设函数/(x)=l-e、的图象与x轴相交于点P,求曲线在点P处的切线方程.

【答案】x+y=0

【解析】

【分析】结合导数的几何意义即可.

【详解】令/(x)=l-e'=0得x=0,则点尸的坐标为(0,0).

•.•/⑴〜，AZ(O)=-l.

曲线在点P处的切线方程为y=-X,即X+y=0.

2

17.已知函数/(x)=5+2x-31nx,求“力的导数，并求出/'⑴>0的解集.

【答案】r(x)=x+2-pr(x)>o的解集为(i,+8).

【解析】

【分析】先求导函数，再解了'（可＞0,得到r（x）＞。的解集.

2

【详解】/（x）=、+2x—31n尤的定义域为（0，+8）,

＜2V,q]

所以/'（x）=]+（2x）-（31nx）=x+2——=—（x2+2x-3）＜＞

令/'（x）＞0,解得：x＞l.

所以r（x）＞o的解集为：。,+8）

18.氨气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500g氯气，那

么t天后,氨气的剩余量为A«）=500x0.834'g.（参考数值lnO.834“Y）.1815,

0.8347»0.2806）

（1）氨气的散发速度是多少？

（2）4（7）的值是什么（精确到0.1）?它表示什么意义？

【答案】（1）A'⑺=500x0.834'In0.834

（2）A（7）=_25.5,表示在第7天附近，氨气大约以25.5克/天的速度自然散发.

【解析】

【分析】（1）根据基本初等函数的导数公式计算可得；

（2）将f=7代入求值即可；

【小问1详解】

解：氨气的散发速度就是剩留量函数的导数.

•.•A（f）=500x0.834',

r.A'⑺=500x0.834'In0.834.

【小问2详解】

解：因为4（7）=500x0.834'In0.834

所以4（7）=500x0.8347In0.834«-25.5.

它表示在第7天附近，氨气大约以25.5克/天的速度自然散发.

19.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程/(单位：m)与时间/(单

位：s)满足关系式/(。=2/+二f.

2

(1)求关于f的导数，并解释它的实际意义；

(2)当r=3s时，求运动员的滑雪速度；

(3)当运动员的滑雪路程为38m时，求此时的滑雪速度.

3

【答案】(I)m=4/+-,它的实际意义是滑雪时在/时刻的瞬时速度；

2735

(2)—(m/s)；(3)—(m/s).

22

【解析】

【分析】(1)求出/'⑺由导数的几何意义可得答案；

(2)把1=3代入/'⑺可得答案；

(3)由题意得2/+]/=38,解得f代入?⑺可得答案.

2

【详解】(1)由已知得/'")=4f+|,它的实际意义是滑雪时在f时刻的瞬时速度.

3327

(2)因为/'⑺=4，+力所以/，(3)=4x3+q=?,

222

27

所以运动员的滑雪速度二(m/s).

2

319

(3)由题意得2/+二，=38,解得,=4或/=--(舍去)，

24

3335

因为/'。)=4，+二，所以1(4)=4x4+q