小学奥数题库《数论》质数与合数分解质因数5星题（含解析）全国通用版

数论-质数与合数-分解质因数-5星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

分解质因数C1、了解质因数和分解质因数的定少考

义。

2、可以熟练对一个合数分解质因

数。

3、能够运用分解质因数来解决因倍

质合的相关问题。

知识提要

分解质因数

•定义分解质因数是指把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。如：

100=2x2x2x5x5

・分解质因数的标准形式。=「£XPgXP如•…

・分解质因数的方法短除法

精选例题

分解质因数

1.三个最简真分数的分母分别是6,15和20,它们的乘积是!，那么在这三个最简真分数中，

最大的数是.

【答案】I-

【分析】设这三个真分数分别为募募其中。不含因数2和3：坏含因数3和5；c不含因数2和

5,且a力,c均为非。自然数.

依题意：:乂舐捻=1，abc=60=22x3x5,所以a=5,b=4,c=3.

所以最大数为:I

2.四位数双成成双的所有因数中,有3个是质数，其它39个不是质数.那么，四位数成双双成

有个因数.

【答案】12

【分析】双成成双共有3+39=42个因数,且有3个质因数，所以它的质因数分解形式为

双成成双=&xb2xc6,

而________

双成成双..

=双00双+

=双X1001+成X110

=11、（双X91+成乂10）

所以三个质因数中有一个是11,所以双成成双=axb2xc?至少是

11x32X26=6336,

稍微大一点点就是

11X52X26=17600,

已经是五位数了，所以双成成双=6336,双=6,成=3所以

成双双成=3663=32X11X37,

有3X2X2=12个因数.

3.对于自然数N,如果在19这九个自然数中至少有六个数可以整除N,那么称N是一个“六合

数"，那么在大于2000的自然数中，最小的“六合数”是.

【答案】2016

【分析】六合数肯定是1的倍数，所以剩余8个数中有5个可以整除六合数，29中有4个奇数，

4个偶数，所以5个可以整除六合数的数字中至少有1个偶数，所以六合数也肯定是2的倍数。

大于2000的偶数有2002,2004,2006,2008,2010,2012,2014,2016,……

2002=2X7X11X13,只能被1,2,7整除，不是六合数；

2004=22X3>167,只能被1,2,3,4,6整除,不是六合数;

2006=2X1003,只能被1,2整除，不是六合数；

2008=23X251只能被1,2,4,8整除，不是六合数；

2010=2X3X5X67,只能被1,2,3,5,6整除，不是六合数；

2012=22X503,只能被1,2,4整除，不是六合数；

2014=2X1007,只能被1,2整除，不是六合数；

2016=25X32X7,能被1,2,3,4,6,7,8,9整除，是六合数.

4.9,逋都是最简真分数，并且它们的乘积是不那么x+y+z=.

【答案】21

【分析】

xyz1

_7___xz___—_

91514-61

6xyz=9x15x14,

xyz=3x3x5x7,

X与9互质，X不含因数3；

y与15互质，y不含因数3,5;

z与14互质，z不含因数7；

并且x,y,z均不能为1〔否那么，必有假分数出现），所以y=7,x=5,z=9,

x+y+z=7+5+9=21.

5.两数乘积为2800,而且己知其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1,那么这两个数分

别是、.

【答案】16、175

【分析】先将2800分解质因数：28OO=24X52X7,由于其中一数的因数个数比另一数的因

数个数多1,所以这两个数中有一个数的因数为奇数个，这个数必为完全平方数.又是2800的

因数，故这个数只能为22、2\52、2?x52或24x52,另一个数相应地为2?x5?x7、

52x7、24x7、22x7或7.经检验，只有两数分别为24和5?x7时符合条件，所以这两个数

分别是16和175.

6.假设2017,1029与725除以d的余数均为r,那么d-r的最大值是.

【答案】35

【分析】(1)2017-1029=988,1029-725=304,因为2017,1029与725除以d的余数均

为r,所以d|988,d|304,d是988和304的公约数.

(2)988=22X13X19,304=24X19,所以d可以是2,4,19,38,76.

⑶经检验2017,1029与725除以76的余数依次为41,41,41；2017,1029与725除以38

的余数依次为3,3,3；(2017,1029与725除以2的余数均为1,2017,1029与725除以4的

余数均为1,2017,1029与725除以19的余数依次为3,3,3；)

(4)d-r的最大值是35.

7.小于200且与200互质的所有自然数的和是.

【答案】8000

【分析】200分解质因数得200=23x52,所以小于200且与200互质的数不能有质因数2或者

5.而200以内2的倍数有2、4、6、…、198,和为

2+4+••-+198=9900;

200以内5的倍数有5、10、15、…、195,和为

5+10+-+195=3900;

既是2的倍数又是5的倍数有10、12、…、190,和为

10+20+-+190=1900;

所以所求数和为

1+2+3+-+199-9900-3900+1900=8000.

8.有20个约数，且被42整除最小的自然数是.

【答案】336

【分析】因为被42整除，所以一定含有质因数2,3,7.

20=lx20=2x10=4x5=2x2x5,

有20个约数的自然数有：因为必须含有3个不同的质因数，所以最小的只能是：

2x2x2x2x3x7=336;

所以有20个约数且被42整除的最小自然数是336.

9.能够被1到11的所有自然数整除的最小自然数为.

【答案】27720

【分析】1到11这11个数分解质因数后所包含的质数有2、3、5、7、11,因此这个自然数最少

包含质因数2、3、5、7、11.

1=I1,2=21,3=31，4=22,5=51，6=2x3,

7=71，8=23,9=32,10=2x5,11=II1,

所以这个自然数最小为

23x32x51x71xII1=27720

10.所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个因数？

【答案】6

【分析】设70的N倍恰有70个因数.70=2X5X7,有：

(1+1)x(1+1)x(1+1)=23=8,因为8不整除70,所以N内可能有2、5、7.假设有4个

不同质因数，但70只能表示为2X5X7,所以N内必含2、5、7中几个，即

70/V=2a+1x5z,+1x7c+1,(a+1+1)X(b+1+1)X(c+1+1)=70,&力,(7分别是0,3,

5中一个.N^23X53,23X73,25X23,25X73,53X75,55X73,一共6组.

11.请将2、5、14、24、27、55、56、99这8个数分成两组，使得这两组数的乘积相等.

【答案】第一组：27、55、56、2；第二组：5、14、24、99.

【分析】要使所分的2组的乘积相等，就要使得2组的乘积的质因数完全一样，将它们分解质因

数有2=2；5=5；14=2X7；24=23X3；27=33；55=5X11；56=23x7；

99=32X11.

现在要将其分为两组，假设为第一组与第二组.

根据题意，考虑第一组.

如假设27在第一组，那么24与99均应在第二组；

从质因数11可以看出，55应在第一组.

从质因数5可以看出，5应在第二组；

现在第一组有：27、55；

第二组有：5、24与99；

从质因数2可以看出，56应在第一组；

从质因数7可以看出，14应在第二组，那么2应在第一组.

所以第一组有数：27、55、56、2；第二组有数：5、14、24与99.

12.在等差数列1,8,15,22,29,36,43,…中，如果前n个数乘积的末尾。的个数比前几+1个数乘积的

末尾。的个数少3个，那么n最小是多少？

【答案】107

【分析】末尾0是由因子2和因子5的乘积得到的.数列中因子2的个数足够多，因此第n+1个

数应为53的倍数，并且除以7余1.满足条件的最小数为750.而(750-1)+7+1=108,因此

n最小是107.

13.把假设干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果这个乘积的最末53位恰好都是零，那么

最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？

【答案】224

【分析】1到1。的乘积里会出现2X5和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是

40+8+1=49个0,还要扩大至220时再增加4个0,所以最小的数应该是220,而最大应该是

224.

14.老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数.这个四位数是5的倍数.贝贝计算出它与5!的

最小公倍数，晶晶计算出它与10!的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5

倍.请问：这个四位数是多少？

【答案】3000

【分析】设所求四位数为小那么n的质因数都小于10,不然【风5!]中有这个质因数，而5,10!)

中没有这个质因数，那么不可能是5倍关系.

设71=2。*36*5。、7",那么

[2ax36x5Cx7d,23x3x5]=5x(2。x3。x5。x7d,28x34x52x7).

比拟各个质因数的次数，有：34a48,14匕44,c=3,04d《l.所以n最小是

23X3X53=3000,第二小是6000,因为n小于5000,所以n是3000.

15.一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数

与原数的最大公约数是63,那么原四位数可能是多少？

【答案】1638、8631、2709、9702

【分析】设这个四位数为丽(a40,dRO),那么千位与个位数字调换后形成的新数是

砺.直接分析最大公约数不好分析，先令砺>砺，然后分折63|旃-砺，位值原

理展开化简得631999("d),所以7|a-d,可能的情况有｛馨器登

接下来先寻找的和斓中能被63整除的数，利用整除判定的方法很容易得出8631、9702和

9072这三个数符合，下面分别验证.8631=3?X7X137,1638=2X32X7X13,

9702=2X32X72X11,2709=32X7X43,9072=24X34X7,2079=33X7X11,只

有(8631,1638)和(9702,2709)这两组符合.注意到这些是在砺>砺的前提下得到的，根

据对称性，原四位数为8631、1638、9702、2709.

16.有一个自然数，它的个位是零，并且它有8个因数，这个数最小可能是多少？

【答案】30

【分析】因数个数定理：8=1X8=2X4=2X2X2,分解质因数后：a7、ab\abc,因为

这个自然数的个位是零，因此必有质因数2和5,因此可能是23x51或2Ix3ix51，比拟可知

最小的数是21x3]>51=30.

17.用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数4和2请问：4B、630这三个数

的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？

【答案】最大公约数最大可能是21,最小公倍数最小可能是6930.

【分析】(1)这三个数的最大公约数也是630的约数，630=2X32X5X7.由于

1+2+3+4+5+6=21,所以不可能组成两个都是9的倍数的三位数；由于只有1个5,所

以不可能组成两个都是5的倍数的三位数，因此该最大公约数至多为2X3X7=42,可能为21

或6等.

假设最大公约数为3的倍数，那么由同余法知两个三位数的三位除以3的余数分别是0、1、2；

假设还为7的倍数，尝试可知231和546、315和462等都满足条件；而无法再满足为2的倍数，

所以最大公约数为21.(或者枚举出123~654之间所有有符合题意的42的倍数也可以看出没

有符合题意的，进一步枚举出123〜654之间所有符合题意的21的倍数即可找出符合的情

况).

(2)解法一：枚举最小公倍数为630、630X2、630X3、…的情况.

假设最小公倍数为630,那么4、B均为630的三位约数，630的三位约数是105、126、210、

315、630,没有符合题意的.

假设最小公倍数为630X2,那么4、8均为630的三位约数，630X2的三位约数是105、126、

140、180、210、252、315、420、630,没有符合题意的.

假设最小公倍数为630X11,那么4、8均为630的三位约数，630X11的三位约数是105、

110、126、154、165、198、210、231、315、330、385、462、495、630、693、770、

990,其中315和462符合题意.(当然这组数在(1)中出现时分解质因数过的话，这种情况

就可以直接写出来了.相信绝大多数在(2)中打算按这个方式来做的人都会提前分解一下

231和546、315和462,同时一般多问的题目的前面问题的解决对后面问题会有帮助.)

所以最小公倍数最小可能为630Xll=6930.

解法二：1~6这六个数字的分组有10种情况，分别为(123,456)、(124,356)、(125,346)、

(126,345)、(134,256)、(135,246)、(136,245)、(145,236)、(146,236)、(156,234),每一种

分组中的两个三位数又各自有六种可能性，分别枚举这些情况，即可找到想要的答案.由于我

们已经知道315和462这组可以让最小公倍数小到630X11,所以枚举其他组的时候只要看能

不能使得最小公倍数更小即可.

对于(123,456),由于123这边的数字较小，所以考虑123的变化.123含41；

132=22x3x11,最小公倍数最小也是630X22；213含71；231=3x7x11,可能使得最

小公倍数是630X11；312含13；321含107.由于没有1个可以使得最小公倍数比630X11更

小，所以(123,456)这种情况排除.

同理，分别验证其他情况，发现最小公倍数最小只能到达630X11.

18.我们将具有如下性质的自然数K称为“高思数"：如果一个整数M能被K整除，那么把M的各

位数字按相反顺序重写时所得到的数也能被K整除，请求出所有的“高思数”.

【答案】1、3、9、11、33、99

【分析】易知，1必为“高思数〃；因为一个数反序重写数字和不变，所以3、9为“高思数”；

因为一个数反序重写奇位和与偶位和之差也不变，所以11为“高思数"，由整除规律，33、99

也是“高思数”.除此之外，感觉是没有了，下面给出证明.

引理(可以看做是先证明一个小结论)：对于任意的不含2或5的正整数凡形如1、11、111、

1111、…的数中一定有无数个是兀的倍数.

1,11,111,1111,-,H-1

证明：由于”+1个1这兀+1个数中一定存在2个数关于“同余，那么这两个数的

11-100-011--1

差一定是n的倍数，而这两个数的差是形如邱1邱。的数，说明邱1是”的倍数，同理可得

这里面有无数个数是兀的倍数.

首先说明“高思数”的个位数字只能是1、3、7、9.因为，“高思数”肯定不是偶数，否那么肯

定能得到它的某个倍数的首位是1,那么这个偶数就无法整除这个倍数的反序数.同理，“高思

数"的个位数字也不能是5.所以“高思数”的个位数字只能是1、3、7、9.

Kill…1KI77…7

假设K是“高思数”，根据引理得一定存在某个自然数”吏得陛1,那么评7,进一步得

K\77-l00-0+77-1K\77-78477-7K\77-74877-7

悴7(LT)个。抨7,即分个7(/-»个7,利用“高思数”的性质得个7a-力个7,

K\77-78477-7-77-74877-7K|9900-0

利用整除的性质得力个7«-W(Lt)个7(L乃个7,即(b力个0.因为“高思数”的个

位数字只能是1、3、7、9,所以“高思数”分解质因数后一定不含质因数2和5,故K|99,所以

K只可能是1、3、9、11、33、99,经验证这6个都是“高思数〃，至此己求出所有的“高思

数”.

19.三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理游戏.小强和小花各选了一个自然数并分别将它告

诉小安，小安告诉小强和小花，他将分别把两个数的和与乘积写在不同的纸上.小安写好后，

将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2008）.小安请小

强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，

也说她无法确定小强所选的数.请问：小花所选的数是多少？

【答案】1004

【分析】首先小强和小花肯定都没有选0,否那么一看就知道2008是和，就能知道对方的

数.设这两个数分别为强和花，首先，很明显强12008,否那么立刻盼断出2008是和，

花=2008-强，此时小强是因为无法确定2008是和还是积导致无法判断出小花的数.同理，

花12008.

此时小花也知道了强12008,小花会这样进行推理：如果2008是积，那么与的情况都符合：如

果2008是和，那么由强12008知2008-花12008,如果2008-花不能整除2008,小花立刻就知

道2008不是和，是积，就能知道小强的数.由于实际上小花无法确定小强的数，说明花12008

的同时2008-花12008.而2008=23x251,枚举出它所有的约数：1、2008、2、1004、4、

502、8、251,经检验只有1004符合，所以小花所选的数是1004.

/20092009X11

20.计算（旃而一而匐X丽（结果表示为循环小数）.

【答案】0.00000002011009

1..1.

【分析】由于而而5=0.00001,99990=0.00001,

所以^5-^90=O.OOOOi-o.ooooi=0.00000000900991,

而900991=7X13X9901=91X9901,

所以，

（20092009111

199900—99990/X9901

11

=0.00000000900991X2009X——

9901

=0.00000000000091x11x2009

=0.00000000001001X2009

=0.00000002011009.

21.是否存在一个完全平方数，它的每一位上的数字都完全相同（至少是两位数）？如果存

在，请写出一个；如果不存在，请说明理由.

【答案】不存在.

【分析】不存在.

利用平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9,可以直接排除掉很多情况.

利用完全平方数只能是4k或4k+1,把4k+2（全6）和4k+3（全1、全5、全9）的排除，还

剩全4.

由于44…4=22x1…1,且全1不是完全平方数，所以全4也不是完全平方数.

22.有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被

第三个数整除.请问：满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？

【答案】31

【分析】先证明这3个数每个都至少含有2种质因数.

证法一：假设这三个数为人B、C,其中A只有一种质因数p,那么B不可能只有质因数p,否

那么B和4必定是倍数关系，同理，C也不可能只有质因数p.

根据CI4B,假设C有除p以外其他质因数q,可以得到同理，C所有除了p以外的质因数都

是8的质因数；再根楣B|C4同理得，B所有除了p以外的质因数也是C的质因数，那么B、C必

定是倍数关系，与题意矛盾.所以这3个数中不可能出现只含1种质因数的数，即每个都至少含

有2种质因数.

证法二：假设这三个数为人B、C,其中4只有一种质因数p,设4=p".因为川BC,所以乘积

BC中一定含有质因数p；但4不能整除B,也不能整除C,说明B、C中都含有p,且次数都低于

a；又B不能整除4,C也不能整除4所以艮C中都含打除了P以外的质因数，设B=?xp〃，

C=%xp",其中。b表示B分解质因数后不包含p的局部，气同理.

因为BIZC,所以。疝c；同理,因为CIAB,所以。。同，说明。c=?,那么B和C是倍数关系，与题

意矛盾.所以这3个数中不可能出现只含1种质因数的数，即每个都至少含行2种质因数.

假设这三个数里一共恰有2种质因数，最小为2和3,最小符合题意的情况是22x3?、2X33、

23X3,和为36+54+24=114；

假设这三个数里一共恰有3种质因数，最小为2、3、5,最小符合题意的情况是2X3、2X5、

3x5,和为6+10+15=31；

假设这三个数里一共恰有4种质因数，最小为2、3、5、7,在不考虑题意的情况下，3个不同

的各含两种质因数的数最小是2X3、2X5、2X7,和为30,但这组不符合题意，很明显如果

要符合题意，和肯定大于31；

假设这三个数里一共恰有5种质因数，最小为2、3、5、7、11,在不考虑题意的情况下，3个

不同的各含两种质因数的数最小是2X7、2X11、3X5,和为51,大于31；

很明显，当含有的质因数种类再增多时，三个数的和肯定都大于31；

综上，满足上述条件的3个自然数之和最小是31.

23.一个特殊的圆形钟表只有一根指针•，指针每秒转动的角度为连续自然数数列.现在设定指

针第一秒转动角度为a度3为小于360的整数），那么其第二秒转动a+1度，第三秒转动

a+2度……如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么a一共有几种设定方法？最小可以

被设定成多少？

【答案】5种;15度.

【分析】设转动了兀次，由题目条件得

a+(a+1)+(a+2)+■••+(a+n-1)=na+nX(n-1)-r2=360,

进一步整理得

2na4-nx(n-l)=nx(2a+n—1)=720=24x32x5.

当九=1时，a=360(舍去).

当n=3时，Q=119.

当ri=5时，a=70.

当n=9时，a=36.

当n=15时,a=17.

当n=16ft寸，a=15.

因此a一共有5种设定方法.最小可以被设成15度.

24.一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整

除.这个正整数最小是多少？

【答案】117

【分析】先将120分解质因数120=23x3x5,设这个数为4,依题意得后来的两个数分别是

A+75和4+48,这两个数相差(4+75)-(A+48)=27.

因为27是3的倍数，所以4+75和4+48除以3的余数相同；因为(4+75)(4+48)是120的倍

数，所以4+75和4+48都是3的倍数.

因为27不是5的倍数，所以4+75和4+48中只有1个是5的倍数；因为27和8互质，所以

4+75和4+48中只有1个是8的倍数；又因为4+75和4+48都不是120的倍数，所以不可能

有一个数既是5的倍数也是8的倍数，说明4+75和4+48中一个是5的倍数，另一个是8的倍

数.

综上，4+75和4+48中一个是15的倍数，另一个是24的倍数.

假设4+75是15的倍数.4+48是24的倍数，那么很明显4既是15的倍数又是24的倍数，最小

是120；

假设4+75是24的倍数，4+48是15的倍数，那么3所以人最小是1”.

所以这个正整数最小是117.

25.有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和

(至少2个)的形式时，恰好有20种方法.请问：这样的正整数最小是多少？(写出质因数分

解)

【答案】2X36X