2024年1月苏州高三期末第21题导数题的命制思路及解析

2024年1月苏州高三期末第21题导数题的命制思路及解析文/刘蒋巍【试题呈现】（苏州市2023~2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷第21题）已知函数.（1）求的极值；（2）证明：.2024年1月苏州高三期末第21题导数题是怎么出的？又怎么解？【出题背景】说明：“出题背景部分”为教师阅读部分。【出题背景1】（凸函数的“切线不等式”）若是区间上的可微凸函数，则经过点的切线一定在曲线的下方，即成立不等式又若为严格凸函数，则上述不等式成立等号的充分必要条件是.简证：将上述不等式的右边移项到左边，应用拉格朗日中值定理有：其中.又是区间上的可微凸函数，则在上为增函数；则，又，则即：若为严格凸函数，则在上严格单调增加。因此，当且仅当时，等号成立。【出题背景2】（上凸函数的“切线不等式”）若是区间上的可微上凸函数，则经过点的切线一定在曲线的上方，即成立不等式又若为严格上凸函数，则上述不等式成立等号的充分必要条件是.简证：将上述不等式的右边移项到左边，应用拉格朗日中值定理有：其中.又是区间上的可微上凸函数，则在上为减函数；则，又，则即：若为严格上凸函数，则在上严格单调减少。因此，当且仅当时，等号成立。本题第（2）问就是以此为背景命制而成。【命制手法】注意到下凸函数在处的切线为：，即：；由“出题背景1”可知：；当且仅当时，取等号.由“”（当且仅当取等号）放缩得：（注意等号不同时取得）因此，（*）也可理解为：直线为下凸函数与上凸函数的公切线，如下图所示：演绎深化，让出题背景更加隐蔽对（*）式两边同除以，得：，移项得：，令，则：，即为本题第2问。为了设置梯度问题，让不同水平的学生都能拿到应得的分数，设置第1问——求的极值.至此，苏州市2023~2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷第21题命制完毕！组织教师做题，并完善评分标准。本题方法多样，下面提供一种评分标准，供师生参考：【评分标准】写在后面通过深入剖析2024年1月苏州高三期末第21题导数题的命制思路及解析，我们不难发现，这道题目融合了凸函数与上凸函数的切线不等式等命题背景，巧妙地将理论背景与实际命题相结合。本题可视为“隐零点问题”，也可视为“切线放缩法”的考察。命题研究专家刘蒋巍老师清楚地解读命题者精湛的命制手法，将复杂的数学理论转化为具有层次感和思维深度的试题解读。本题注重考察学生的导数基础知识、函数性质理解以及不等式处理能力。通过设置梯度问题，使得不同水平的学生都能在这道题目中找到自己的切入点，充分展现自己的数学才能。此外，这道题目还体现了数学命题的严谨性和科学性。在命题过程中，不仅注重题目的知识覆盖面和难易程度，还充分考虑了学生的实际解题情况，力求让每一个学生都能在解题过程中得到锻炼和提升。总之，这道题目是一道充满智慧和匠心的优秀命题。它不仅考察了学生的数学知识掌握情况，更在无形中培养了学生的数学思维和问题解决能力。相信在未来的数学学习和考试中，这样的优秀命题将继续发挥着重要的引领和示范作用。作者简介刘蒋巍，中国数学会会员，中学数学创新思维联盟公益大使，《江苏高考数学复习指南》《中考数学解题策略》《学会编题:教师培训用书》《新时代人力资源管理教程》等20余本图书作者。联系作者2733725655@或15