中考数学考试考点解密分类讨论(含解析)

2012年中考数学二轮复习考点解密分类讨论

I、专题精讲：

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质地差异，分各种不同情况予以考查.这种分类思考地方法是一种重要地数

学思想方法，同时也是一种解题策略.

分类是按照数学对象地相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类地思想方法，掌握分类地方法，领会其实质，对

于加深基础知识地理解.提高分析问题、解决问题地能力是十分重要地.正确地分类必须是周全地，既不重复、也不

遗漏.

分类地原则：(1)分类中地每一部分是相互独立地；(2)一次分类按一个标准；(3)分类讨论应逐级进行.

n、典型例题剖析

【例1】如图3—2—1,一次函数与反比例函数地图象分别是直线AB和双曲线.直线A8与

双曲线地一个交点为点C,CD±x轴于点D,0力=2。8=4。4=4.求一次函数和反比例

函数地解析式.

解：由己知00=208=404=4,

得A(0,-1),B(-2,0),D(-4,0).

设一次函数解析式为y^kx+b.

点A,8在一次函数图象上，

Jb=T，即卜T，

[~2k+b=O,

b=-l.

则一次函数解析式是＞'=4X-L

点C在一次函数图象上，当x=-4时;y=\,即C(-4,1).

设反比例函数解析式为＞=-.

X

点C在反比例函数图象上，贝打=里，m=-4.

-4

故反比例函数解析式是：y=_3.

X

点拨：解决本题地关键是确定A、B、C、D地坐标.

【例2】如图3—2—2所示，如图，在平面直角坐标系中，点01地坐标为(-4,0),以点O1为圆心，8为半径地圆

与x轴交于A、B两点，过点A作直线/与x轴负方向相交成60°角以点(13,5)为圆心地圆与x轴相切于点D.

(1)求直线/地解析式;

(2)将。Ch以每秒1个单位地速度沿x轴向左平移，同时直线/沿x轴向右平移,当。。2第一次与。。2相切时,

直线/也恰好与。。2第一次相切，求直线/平移地速度;

(3)将。沿x轴向右平移，在平移地过程中与X

轴相切于点E,EG为。。2地直径，过点A作。。2地切

线，切。。2于另一点F,连结AO2、FG,那么FG«AO2

地值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；

如果变化，求其变化范围.

图3-2-2

图3-2-3

解（1）直线/经过点A（-12,0）,与y轴交于点（0,T2百）,

设解析式为y=kx+b,则b=-i26，k=-x/3,

所以直线/地解析式为y=-GxT26.

（2）可求得。Ch第一次与。Oi相切时，向左平移了5秒（5个单位）如图所示.

在5秒内直线/平移地距离计算：8+12一卡=30—16,

所以直线/平移地速度为每秒（6—正）个单位.

3

(3)提示：证明RtZ\EFGsRtA,AEC)2

于是可得：/FC=浅FC"(1其中O?E=；EG)

O,EAO,2

所以FG•A02=_LEG-即其值不变.

2

点拨：因为。。2不断移动地同时，直线1也在进行着移动，而圆与圆地位置关系有：相离（外离，内含），相交、相切（外

切、内切），直线和圆地位置关系有：相交、相切、相离，所以这样以来,我们在分析过程中不能忽略所有地可能情况.

【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,点A地坐标为（1,0）,以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点

M为圆心.设过A、B两点抛物线地解析式为丫=2*2+6*+6顶点为点N.

（1）求过A、C两点直线地解析式；

（2）当点N在半圆M内时，求a地取值范围；

（3）过点A作0M地切线交BC于点F,E为切点，当以点A、F,B为顶点地三角形与以C、N、M为顶点地三角形相

似时，求点N地坐标.

解：（1）过点A、c直线地解析式为y=2x—2

33

（2）抛物线y=ax?—5x+4a.顶点N地坐标为（一方，—a）.

由抛物线、半圆地轴对称可知，抛物线地顶点在过点M且与CD垂直地直线上，

又点N在半圆内，1<一；a<2,解这个不等式，得一楙<a<-f.

⑶设EF=x,则CF=x,BF=2-x.

97

在Rt^ABF中，由勾股定理得x=*,BF=gI

①由得,得二题制二%=看F~~*~4

当点N在CD的下方时油-卷。=2-专嗤，求得乂信系｝

当点N在CD的上方时，-=2+春=!|,求得M（尚■疆）一可方’

②由AABFsAM得黑力即创=空仪笔

NMMGDF/

当点N在CD的下方时,由-为=2-苧=-竿，求得闻卷,考）

当点N在CD的上方时,-2=2+^=斗，求得N,信，笥.

［例4］在平面直角坐标系内，已知点A（2,l）,0为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得AAOP成为等腰三角形.在给

出地坐标系中把所有这样地点P都找出来，画上实心点，并在旁边标上PiR,……,Pk,（有k个就标到PK为止，不必写出画

法）

解：以A为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得々（4,0）和6（0,2）；

以0为圆心，0A为半径作圆交坐标轴得《（，?,（）），PJ$0）,4（0,石）和凡（0,-柄）；作0A地垂直平分线

交坐标轴得20，°）和

八y

尸2（o,2芹孽*型

；•「：泗2,D

P4/(-V5,0)••••....Pi(4,0)

IrII->

X

一.八

■-2TAto-75)

图3-2-7

图3-2-6

点拨：应分三种情况：①OA=OP时；②OP=P时；③OA=PA时，再找出这三种情况中所有符合条件地P点.

川、同步跟踪配套试题

（60分45分钟）

一、选择题（每题3分，共15分）

1.若等腰三角形地一个内角为50\则其他两个内角为（）

A.50°,80°B.65°,65°C.50°,65°D.50°,80°或65°,65°

2.若|。|=3,|。|=2,且。＞方,贝1」"+6=（）

A.5或一1B.-5或1;C.5或1D.-5或一1

3.等腰三角形地一边长为3cm,周长是13cm,那么这个等腰三角形地腰长是（）

A.5cmB.3cmC.5cm或3cmD.不确定

4.若。。地弦AB所对地圆心角NAOB=60°,则弦AB所对地圆周角地度数为（）

A.30°B、60°C.150°D.30°或150°

5.一次函数丫=13+1＞,当一3WxWl时，对应地y值为lWyW9,则kb值为（）

A.14B.-6C.-4或21D.-6或14

二、填空题（每题3分，共15分）

6.已知|x|=3,|y|=2,_i_vv＜。，则x+y=.

7.已知。O地半径为5cm,AB、CD是。。地弦，且AB=8cm,CD=6cm,AB〃CD,则AB与CD之间地距离为

8.矩形一个角地平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形地面积为.

9.已知。Oi和。Ch相切于点P，半径分别为1cm和3cm.则。O］和。。2地圆心距为.

10若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m地绝对值为1,则约+S+c）,〃-〃?2地值是.

m

三、解答题（每题10分，共30分）

11已知y=kx+3与两坐标轴围成地三角形地面积为24,求其函数解析式.

12解关于X地方程（a-2）x=b-l.

13已知：如图3—2—8所示，直线切。。于点C,AD为。0地任意一条直径，点B在

直线上，且/BAC=NCAD（AD与AB不在一条直线上），试判断四边形ABCO为怎

样地特殊四边形？

CB

IV、同步跟踪巩固试题

（10分60分钟）

一、选择题（每题4分，共20分）

1.已知等腰三角形地两边长分别为5和6,则这个三角形地周长是（）

A.16B.16或17C.17D.17或18

2.已知则地值为（）

aa

A±75B.X/5C.±6D布或1

3.若a为。+/+〃2+1—2加>=2a方，则a+力值为（）

A.2B.-2C.2或一2D.2或一2或0

4.若直线y=-4x+b与两坐标轴围成地三角形地面积是5,则b地值为（）

A±2y/5B.±2屈C.2屈£>.-2710

5.在同一坐标系中，正比例函数y=-3x与反比例函数y=与地图象地交点地个数是（）

x

A.0个或2个B.1个C.2个D.3个

二、填空题（每题4分，共24分）

6.已知点P（2,0）,若x轴上地点Q到点P地距离等于2,则点Q地坐标为.

7.已知两圆内切，一个圆地半径是3,圆心距是2,那么另一个圆地半径是.

8.等腰三角形地一个内角为70°,则其预角为.

9.要把一张面值为10元地人民币换成零钱，现有足够地面值为2元、1元地人民币，那么有种换法.

10已知等腰三角形一腰上地中线将它地周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为.

11矩形ABCD,AD=3,AB=2,则以矩形地一边所在直线为轴旋转一周所得到地圆柱地表面积为.

三、解答题（56分）

12.（8分）化简|x-l|+J（x-9）2.

13.（9分）抛物线y=a^+c与y轴交点到原点地距离为3,且过点（1,5）,求这个函数地解析式.

14.（13分）已知关于x地方程W-（2左一3）+^+l=0.

⑴当k为何值时，此方程有实数根；

⑵若此方程地两实数根X”X2满足以|+41=3,求k地值.

15.（13分）抛物线y=2x2+bx-2经过点A（l,0）.

⑴求b地值；

⑵设P为此抛物线地顶点，B（a,0）（aWl）为抛物线上地一点，Q是坐标平面内地点.如果以A、B、P、Q为顶

点地四边形为平行四边形，试求线段PQ地长.

16.（13分）已知矩形地长大于宽地2倍，周长为12,从它地一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个

梯形，且这条射线与矩形一边所成地角地正切值等于义，设梯形地面积为S,梯形中较短地底地长为x,试写出梯

形面积S关于x地函数关系式，并指出自变量x地取值范围.

专题复习二分类讨论

皿.一、LD点拨:题中没有确定内角为50°的角是顶角还是底角，所以分

两种情况.

2.C点拨；因为|。|=3,仍|=2,所以。=士3,6=±2.又因为所以

a=3,5=±2.所以a+6=5或1.

3.A点拨：①当3为腰长时，底边长=13-2X3=7.此时3+3V7,不合

题意，舍去；②当3为底边长时,腰长为(13—3)+2=5.此时3+5>5成立.

4.D点拨：注意弦所对的圆周角与弧所对的圆周角的差别.

5.D点拨：由题意，得①当忆=一3时，；y=l；当z=l时，y=9,所以

・3万+6=1,〜4=2,

"9.解得,②当％=-3时，）=9.当1=1时,？=1,所

b=7.

-3^+6=9.k=—2

以.L'L】,解得_所以M=14或一6.

k~rb—1.b—3.

二、6.士1点按：由题意，知JC=39y=­4或JC=—3,3/=4.所以工+2=

士1.

7.1cm浸7cm点拨：分A6、。》在点O的同倒囊两侧两种情况讨论.

8.12cm24cm2

9.2cm或4cm点拨：两圆相切分内切和夕卜切两种情况.

IO.O或一2点按：由题意知ab=1，占+c=O,z=±1,所以尝+〈6+c)N—

mz=O或一2.

三、11.解：设,=々工+3与工铺交于点A(—1-,o),与，铀交于点BCO,3)»

以==X|?IX3=24.以|？=16.fiFf以k=士.

所以，=言工+3•或、==一备N+3.点按：直线、=々工+3可能与n铀

交于正半轴，也可能与n轴交于负半袖，所以分两种情况.

12.艇：(1)当a—2KO时，方程有唯一解工=会.

<2)当a—2=O且h—1=0时，即。=2,6=1时，方程有无数多个解.

〈3)当a—2=0且6—1KO时，方程无解.

点拨：分类讨论时，要注意不要重复也不要遗漏.

13.解：①当DA与1不平行时.如答图3-2-1所示.因为在0。中，tOC=

OA,所以』1=』2.又因为之1=』3,所以』2=』3.所以<DC//A.B.又

因为OO与直线，相切于点C,所以上0c6=90°.又因为AD与直线/不

②当AD与直线I平行时，如答图3-2-2所示.同理可得AB/7CJC,OC_L_

I.又因为AO〃Z,所以四边形ABCO为矩形.又因为OC=OA,所以四边

形ABCO为正方形.综上，四边形AAOO为直角梯形或正方形.

IV.一、1.B点按：这个等腰三角形的三边长分别为5,5,6或5,6.6,所以

周长为16或17.

2.B点拨：因为‘----|a|=1,所以二-==IaI+1>O,所以a>O.因为

CLa

(2---FIa|)=(弓----142I)+4=12+4=5,所以2-----F|tz|=>/5".

2

3.Ca2勿+a2+夕+1—2a5=2,ab,UX<ab)—2ab-F1+CL2+

z

b—2ab=O.所以Cab—1)2+(a-6)2=o所以ab=19a=b.所以a=b=

士1.所以a+6=2或—2.

4.B点拨：直线y——4N+6与n轴、，袖的交点分别为(.0),<0,占)，

所以-1-X|母|X|6|=5.解得6=士2v/lO.

5.A

二、.6.〈0,0)或〈4,0)点拨：点。可能在点尸左侧也可能在点户右侧.

7.1或5点按：半径为3的圆.可熊是大圆也可能是小圆.

8.70°或40°点按：没有确定内角为70°的角是顶角还是底角.

9.6点拨：①当2元有。张时，1元有1O张，②当2元有1张时，1元有

8张；③当2元有2张时，1元有6张,④当2元有3张日寸，1元有4张，

⑤当2元有4张时，1元有2张.⑥当£元育5张时，1元有O张.

6.C点拨：由题意，得L|C-C解得N=O-

1IN|—2^0.

7.C点拨：G/^+Vy)2OO3〈公―々)2。。4=匚<斤+々)2。。3〈«-Q)2OO3口.

《户一4^>=匚〈公+々)G/F—Q)Z]20°34/一G)==(-1>2003==

<—1)(A/2'—^/3")=—y/2^~hy/3^.•

8.A点拨：因为"3、+4+,2—62+9=0,所以"3N+4+(，一3户=0.所

以(37t4°,解得J/3，JC=,,=3代人ctjcy—3jr=y,彳导

1,—3=0.U=3.3-

aX(------)x33x()=3,&X以a=-.

(fz~I~h1(b=1.

9.B点拔：由题意，得<人一，。解得《人八

12.k-\~b=—2.1,6=0.

(—2ab=1(a=-3

10.C点拔：由题意，得<…，r9解得<»「9所以〈a+6)(0—6)一

I—26+a=7.(6=一5.

(—8)X2=—16.

—.11.3点拨：由题意，得(?+”=3,解得(所以^2_„2=22-

12K=4.Iz?=1.

12=3.

(1?-r—5==O,51

12.2点拨：由四意，得L八所以———所以工+22=

I4〉+1=0.乙4

-1~+2X(―4-)=2*

13.3VNV17点按：根据三角形三边关系，得IO—7VNV1O+7.所以3V

.____(JC-3=O(JC=3

14.2，^点拨：由题意，得《、、9八所以《9

IJC—2+1=0.I>=4.

所以y/jc22+工，2+yL=J32X4+3X42+竽="36+48+4=

—2/22..

15.〈工一I)?点拔：因为点F(a+6,—5)与点B〈1,3a—6)关于原点对称，

所以《：+5人」'解得(;1，。所以工z_2ajc_=X2_2JC-4-1=

13a—6=5.1.6=—2.2

<07—I)2.

(3A+6=O,

点拨：设A、B、O所在直线为，=无工+6.由题意，彳导《入。解,

(6=-3.…

=1

二所以2=N—3.当工=1时,、=1—3=—2.所以2——2.

17.in点拔：观察图形，可得s+q>+q-H—^袅=1一熹=葵1--

ZooZ4o/bbZooZoo

三、18.解：如答图3-1-2.延长FA、CB交于点"，延长FE^CD交于点Z.

因为上广AJ3=120°,^2ABC=120°,所以』A4AB=RJVTBA=60°.所以

ZXMAH是等再三角形.所以=AB=10,』2Vf=60°.同理可得

Z\NDE是等边三角形.所以DZ==EZ=DJE；=40,NZ=60°.所以

上Azf=』Z.又因为Nk==­。