天津市南开区2021-2022学年高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）

2.《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在

后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取

一数，则其差的绝对值为5的概率为

CHXXXXX）

3.设。为坐标原点，P是以尸为焦点的抛物线V=4x上任意一点，M是线段Pb上的点，且PM=MF,则直线

OM的斜率的最大值为（）

D.更

4.若2"+3a=3〃+26则下列关系式正确的个数是（)

①bvavO②a=b③()v〃<Z?vl®\<b<a

A.1B.2C.3D.4

5.已知集合?=｛1|1—2＜0｝,。='幻亍一＜01,贝！]（«尸）口。为（）

A.[0,2）B.（2,3]C.[2,3]D.（0,2]

6.已知数列｛4｝是以1为首项，2为公差的等差数列，｛"｝是以1为首项，2为公比的等比数列，设，“=%,,

1=。+，2+…+q,（"wN*）,则当《＜2020时，〃的最大值是（）

A.8B.9C.10D.11

7.如图是一个算法流程图，则输出的结果是（）

A.3B.4C.5D.6

8.根据如图所示的程序框图，当输入的工值为3时，输出的）'值等于（）

编入X/

A.1B.eD.r

z.

9.已知复数4=6-81,Z2=-i,则一=()

A.8—6iB・8+6iC.—8+6iD.—8—6i

10.如图，长方体ABCO-AgCQ中，2AB=3AA1=6,乖=2对，点7在棱A4上，若7P_L平面PBC.则

UUUUU

TPB]B=()

A.1B.-1C.2D.-2

11.若集合A={x|mwo},5={x[-l<x<2},则AD6=()

A.[-2,2)B.(-1,11C.(-L1)D.(一1,2)

12.已知函数/(x)=幽(xeH),若关于x的方程/(x)-机+1=0恰好有3个不相等的实数根，则实数〃，的取值范

ex

围为()

A.(学，1)B.(0,华)C.(1,(+1)D.(1*+D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩J服从正态分布N(100,(T2),已知

P(80<(^<100)=0.40,若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为

14.已知三棱锥尸―ABC的四个顶点都在球。的球面上，PA=PB=PC,/W=2,BC=45,AC=3,E,F

3

分别为AC,总的中点，EF=~,则球。的体积为_____.

2

15.12五-六)的二项展开式中，含«项的系数为

16.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是一，则磔,=,该几何体的表面积为

10K

什aN*21

±

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设数列｛q｝的前列项和为S,,,已知4=1,二(〃22).

幺+an-\

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)求证:)9S"噂

18.(12分)如图1,在等腰RrAABC中，ZC=90°.D,E分别为AC,AB的中点，尸为8的中点，G在线

段上，且3G=3CG。将A3沿。E折起，使点A到4的位置(如图2所示)，且

(2)求平面4FG与平面所成锐二面角的余弦值

19.(12分)传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方

能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们

出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层

抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联

表:

戴口罩不戴口罩

青年人5010

中老年人2020

(1)能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？

(2)用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

20.(12分)某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每

天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走

步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”,

步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：

运动达人非运动达人总计

男3560

女26

总计100

(1)(0将2x2列联表补充完整；

(«)据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？

(2)将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期

望.

附：

网片“0)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

〃(ad-be)"

(a+Z?)(c+d)(a+c)(/?+d)

21.(12分)AA3C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知A45C的面积为

4sinA

(1)求sinBsinC；

(2)若10cosBcosC=—l,Q=0,求AABC的周长.

22.(10分)设函数/(x)=sin(竽—J)—2cos24+1(。＞0),直线y=百与函数〃x)图象相邻两交点的距离为

366

2〃.

(I)求①的值；

(II)在AABC中，角A,8,C所对的边分别是“，"c,若点(弓,。］是函数y=/(x)图象的一个对称中心，且力=5,

求AABC面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

其中AA8C,ABCD,AADC为直角三角形.

该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.

2.A

【解析】

阳数：1,3,5,7,9,阴数：2,4,6,8,10,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.

【详解】

因为阳数：1,3,5,7,9,阴数：2,4,6,8,10,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5x5=25个，满足差的绝

对值为5的有：（1,6）,（3,8）,（5,10）,（7,2）,（9,4）共5个，则2=言=（.

故选：A.

【点睛】

目标事件的个数

本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：尸=百丁士与郊奏照.

基本本事件的2总个数

3.A

【解析】

设尸（里，%），M（x,y）,因为得到x=4+W，y=萼，利用直线的斜率公式，得到

2p44P2

A

,T2

k°M=,2=不一I，结合基本不等式，即可求解.

44。%。

【详解】

由题意，抛物线V=4x的焦点坐标为尸（^,0）,

设,y0),M(x,y),

因为PA/=A7F,即A/线段PR的中点，所以x=+fy=斐，

222P4^p2

所以直线QM的斜率-----~———=-------------

p+yL上+%一2叵五

44p%PV%P

当且仅当上•=&,即%=p时等号成立，

%P

所以直线OM的斜率的最大值为1.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运

算能力，属于中档试题.

4.D

【解析】

a,5可看成是^=，与/(x)=2'+3x和g(x)=3*+2x交点的横坐标，画出图象，数形结合处理.

【详解】

令f(x)=2'+3x,g(x)=3'+lx,

/(O)=g(O)=l,〃l)=g(l)=5,②正确；

xe(-oo,0),有/?<a<0,①正确;

X€(O,1),/(x)>g(x),有Ocacbcl,③正确；

XG(1,+8),有l<Z?<a,④正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.

5.B

【解析】

先求出P={x|xW2},Q={x|0<xW3},得到6RP={X|X>2},再结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】

由题意，集合P={x|x_2W0},Q={x|—W()),

所以P={x|x«2},Q={x|()<x«3},则6j={x|x>2},

所以©P)nQ={x|2<xW3}=(2,3].

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能

力，属于基础题.

6.B

【解析】

根据题意计算4=2〃-1,bn=2"-',7；=2田一〃-2,解不等式得到答案.

【详解】

•••{”“}是以1为首项，2为公差的等差数列，4=2〃-1.

•••也}是以1为首项，2为公比的等比数列，•••bn=2"T.

:.Tn=c,+c2+•••+%=%+%+,•,+%=«,+a2+a4

=(2xl-l)+(2x2-l)+(2x4-l)+---+(2x2n-1-l)=2(1+2+4+---+2,,-1)-H=2xl^--n=2"+,-n-2.

V7；,<2020,.\2n+,-n-2<2020,解得〃49.则当2020时，〃的最大值是9.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

7.A

【解析】

执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，执行上述的程序框图：

第1次循环：满足判断条件，x=2,y=l；

第2次循环：满足判断条件，x=4,y=2.

第3次循环：满足判断条件，x=8,y=3：

不满足判断条件，输出计算结果.v=3,

故选A.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止

循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

8.C

【解析】

根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值.

【详解】

由题x=3,x=x-2=3-l,此时x>0继续运行，x=l-2=-l<0,程序运行结束，得'=/,故选C.

【点睛】

本题考查程序框图，是基础题.

9.B

【解析】

分析：利用『=_1的恒等式，将分子、分母同时乘以i,化简整理得五=8+6i

z2

详解：—==8+6/,故选B

Z2—I~1~

点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的

模、共朝复数以及复数的乘除运算，在运算时注意产=7符号的正、负问题.

10.D

【解析】

根据线面垂直的性质，可知7Plp3;结合率=2函即可证明=ASPB],进而求得力i.由线段关系及平

IU1IILU1

面向量数量积定义即可求得77工4分

【详解】

长方体ABC。—A4G〃中，2AB=3AA=6,

点7在棱A%上，若7P_L平面PBC.

则7PLP6，书=2而；

则ZPTAX=NBPB],所以"力41=\BPBX,

则必=PB]=1,

uuruuir

所以TPB、B=TP.B{B-cosZPL4

=722+12X2X-=-2,

故选：D,

【点睛】

本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.

【解析】

求出集合A,然后与集合B取交集即可.

【详解】

由题意，A=1x|再<()]={x[—2<x<l},8={x[-l<x<2},则人口台=3—1<x<1},故答案为C.

【点睛】

本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题.

【解析】

讨论x>0,x=0,x<0三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.

【详解】

当x>()时，/(x)=g，故/'3=£卷，函数在(0，；)上单调递增，在上单调递减，且

当x=0时，/(O)=Os

当x＜0时，/。)=中I，/'(回=一l—£2后x＜°，函数单调递减;

4X.八>j2e[、

如图所示画出函数图像，则0＜加—1〈/9故ftl€(1,-----F1)•

2e

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.10

【解析】

由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率，乘以1()()可得.

【详解】

解：P("120)=—2P(80<^<100)]=0.10,

所以应从120分以上的试卷中抽取100x0.10=1()份.

故答案为：1().

【点睛】

本题考查正态分布曲线，属于基础题.

14.4岳

【解析】

可证NABC=90°,则E为AABC的外心，又B4=PB=PC则PE_L平面43C

即可求出尸B,PE的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得.

【详解】

解：•.•AB=2,BC=V5，AC=3

AB2+BC2=AC2

：.ZABC=90°,因为E为AC的中点，所以E为AA3C的外心,

13

22

B

因为PA=PB=PC,所以点P在八ABC内的投影为AABC的外心E，

所以PEL平面ABC,

•.•BEu平面ABC

：.PE±BE,

所以PB=2EF=3,

所以PE=yPB2—BE2=一百,

2

又球心。在尸E上，设尸。=「，贝(乎一厂+(|)=产，所以所以球。体积，V=g乃，=4岳.

故答案为：464

【点睛】

本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题.

15.-160

【解析】

写出二项展开式的通项，然后取x的指数为:求得广的值，则五项的系数可求得.

【详解】

酊=禺.（26『'卜?）=（-iy-26---C；-x

由3—.=,，可得’・=3.

62

，含4项的系数为(―1户26-3.或=一160.

故答案为：一160

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.

16.胃珏感

【解析】

试题分析:如图：此几何体是四棱锥,底面是边长为谢的正方形,平面薮鳞_L平面雕图，并且至獭感=颤,,懒=嚼，

所以体积是浮=)湍s?岚级=多，解得寓=第四个侧面都是直角三角形，所以计算出边长，表面积是

鼻挈

掾=家普工禺4热工年，典鼓圆带旗甥斗」网加毒=售八房

受雪^

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)&=王匕(2)证明见解析

【解析】

12,

(1)由已知可得一=—+1,构造等比数列即可求出通项公式;

anJ

(2)当“22时，由a”〉—，可求------<S,3时，由a“<—=—r>可证S“<—(nwN),验证〃=1,2

〃2〃22〃r〃2〃2'i〃6、

时，不等式也成立，即可得证.

【详解】

a,12

(1)由4=丁”一("22)可得，一=---+1,

2+4Tana,-

1(1)

即---F1=2------F1,(〃22)

an)

所以'+1=2",

a.

解得an~亍—7»

(2)当”=1时，Si=at=l,

.・"I,

当"N2时，an>—,

„.111,42"+

S„>1+—r+—r+---+—=1+^~J

"22232".1

1-----

2

综上S.《-!(/eN*),

由%>0可得｛S,｝递增，

,I…21

4=1，4=§，a3时4<牙=西

c,111144-r41111111

S<1d---1——H-+•••H-------=1------；—=—I-----------=-----------<—

23

〃322311322”"62"一】6

1—

2

所以S]<邑<S3<—，

6

综上：S„<—(neNf

6'

<5„<—(neN*).

22""6、>

【点睛】

本题主要考查了递推数列求通项公式，利用放缩法证明不等式，涉及等比数列的求和公式，属于难题.

18.(1)证明见解析

【解析】

(1)要证明线面平行，需证明线线平行，取8C的中点M，连接。M，根据条件证明DM//BE,OM//FG,即

BE//FG；

(2)以尸为原点，尸C所在直线为X轴，过产作平行于的直线为y轴，F3所在直线为Z轴，建立空间直角坐标

系尸一个Z,求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：取3c的中点/，连接DM.

：BG=3CG,...G为CM的中点.

又F为CD的中剧，：.FG//DM.

依题意可知。则四边形。M8E为平行四边形，

ABEIIDM,从而BE//FG.

又FGu平面AFG,平面A/G,

二BE//平面4FG.

(2)•/DE±ADX,DE±DC,且4。口。。=。，

.,.上史，平面A£>C,平面AOC,

：.DEL\F,

■.■A.FLDC,且DEcDC=D,

4尸_1_平面BCDE,

以尸为原点，尸C所在直线为X轴，过户作平行于CB的直线为y轴，FA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系

F—xyz,不妨设CD=2,

则尸(0,0,0),A(0,0,6)，5(1,4,0),£(-1,2,0),G(l,l,0),

可=仅,0,百)，而=(1,1,0),“=(-1,2,-百)，E5=(2,2,0).

设平面的法向量为点=G，x，zJ,

万窃=0即产二°

则《

n-FG=Q［玉+X=0

令占=1,得3=(1,TO).

设平面ABE的法向量为质=(%,%，Z2)，

，不=0卜々+2%-昌=0

［沅・丽=012/+2%=0

令々=1,得机=(1,一1,一G).

从而cos<加3>=*^==叵,

5/2xV55

故平面4FG与平面4BE所成锐二面角的余弦值为叵.

5

【点睛】

本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档

题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行

四边形，这些都是证明线线平行的常方法.

19.(1)有99.9%的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.

,、80

(2)——

243

【解析】

(1)根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值K?，从而由参考数据作出判断•

(2)因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人，用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为

12

-,是老年人的概率为一.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果.

33

【详解】

(1)由题意可知KJ幽竺注亚血=殴

«12.698>10.828»

60x40x70x3063

.•有99.9%的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.

17

(2)由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为q,是老年人的概率为一.

33

二5人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率尸=《

U)243

【点睛】

本题主要考查独立性检验及独立重复事件的概率求法，难度一般.

20.(1)(I)填表见解析(n)没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”(2)详见解析

【解析】

(1)⑴由已给数据可完成列联表，(ii)计算出K?后可得;

2

(2)由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为［，4的取值为0」,2,3,3,,由二项分布

概率公式计算出各概率得分布列，由期望公式计算期望.

【详解】

解⑴(0

非运动达

运动达人总计

人

男352560

女142640

总计4951100

5)由2x2列联表得左=l0°x(35x26—14x25)一«5.229<6.635

60x40x49x51

所以没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”

2

(2)由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为方，.

(23-k

易知自~B3,-卜(i户叫身I#=o,l,2,3

k7

所以自的分布列为

0123

125150408

p

343343343343

_6

iB+lx当+2X㈣+3」

343343343343-7,

【点睛】

2

本题考查列联表,考查独立性检验,考查随机变量的概率分布列和期望.属于中档题.本题难点在于认识到匕~.

21.(1)；(2)V2+V7

【解析】

(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；(2)根据两角余弦公式可得cosA,即可求出sinA,再根据正弦定

理可得儿，根据余弦定理即可求出b+c,问题得以解决.

【详解】

(1)由三角形的面积公式可得SMBcntacsinBu—L

2