高考数学一轮复习 练案（26）第三章 三角函数、解三角形 第七讲 解三角形的综合应用（含解析）-人教版高三数学试题

[练案26]第七讲解三角形的综合应用A组基础巩固一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(D)A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东80° D．南偏西80°[解析]由题意可知∠ACD＝40°，∠DCB＝60°，CA＝CB，所以∠CAB＝∠CBA＝40°，又因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，∠DBA＝10°，故灯塔A在B的南偏西80°.2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(D)A．①② B．②③C．①③ D．①②③[解析]由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.3．如果D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(D)A．10m B．5eq\r(3)mC．5(eq\r(3)－1)m D．5(eq\r(3)＋1)m[解析]eq\f(AB,tan30°)－eq\f(AB,tan45°)＝10，解得AB＝5(eq\r(3)＋1)．故选D.4．(2020·广东中山上学期期末)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(A)A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D．eq\f(25\r(2),2)m[解析]由题意，得B＝30°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．故选A.5．(2020·武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝(D)A．10eq\r(3)nmile B．eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile[解析]由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得eq\f(10,sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，所以BC＝5eq\r(6).故选D.6．(2020·深圳模拟)一架直升飞机在200m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为(A)A．eq\f(400,3)m B．eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)m D．eq\f(200,3)m[解析]如图所示．在Rt△ACD中可得CD＝eq\f(200\r(3),3)＝BE，在△ABE中，由正弦定理得eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(BE,sin60°)⇒AB＝eq\f(200,3)，所以DE＝BC＝200－eq\f(200,3)＝eq\f(400,3)(m)．7．(2020·云南红河州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝(D)A．5eq\r(6) B．15eq\r(3)C．5eq\r(2) D．15eq\r(6)[解析]在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).故选D.8．(2020·河北保定模拟)如图，某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12eq\r(6)nmile，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8eq\r(3)nmile，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C与D的距离为(B)A．20nmile B．8eq\r(3)nmileC．23eq\r(2)nmile D．24nmile[解析]在△ABD中，因为灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12eq\r(6)nmile，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，所以B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理eq\f(AD,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，可得AD＝eq\f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24nmile.在△ACD中，AD＝24nmile，AC＝8eq\r(3)nmile，∠CAD＝30°，CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos∠CAD＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)×cos30°＝(8eq\r(3))2，∴CD＝8eq\r(3)，故选B.二、填空题9．(2020·佛山模拟)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为eq\r(6)千米．[解析]∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(2,sin45°)，AC＝eq\r(6)千米．10．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°方向，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为__700__米．[解析]由题意，△ABC中，AC＝300，BC＝500，∠ACB＝120°，利用余弦定理可得，AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，∴AB＝700.11．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为eq\f(\r(21),14).[解析]由△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)⇒sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).12．(2020·山西五校联考)如图，飞机的航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108s后看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为__6_340__m.(取eq\r(3)＝1.732)[解析]∵108s＝0.03h，∴AB＝1000×0.03＝30km，∵∠C＝75°－15°＝60°，∴eq\f(AB,sin60°)＝eq\f(BC,sin15°)，∴BC＝eq\f(ABsin15°,sin60°)，∴C到AB边的距离为h＝BCsin75°＝20eq\r(3)sin15°sin75°＝10eq\r(3)sin30°＝5eq\r(3)＝5×1.732＝8.66km，∴山顶的海拔高度为(15－8.66)km＝6340m.三、解答题13．已知函数f(x)＝1＋2eq\r(3)sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)－2cos2eq\f(x,2)，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求f(A)的取值范围；(2)若A为锐角且f(A)＝eq\r(2)，2sinA＝sinB＋eq\r(2)sinC，△ABC的面积为eq\f(3＋\r(3),4)，求b的值．[解析](1)f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx＝2sin(x－eq\f(π,6))，∴f(A)＝2sin(A－eq\f(π,6))，由题意知，0<A<π，则A－eq\f(π,6)∈(－eq\f(π,6)，eq\f(5π,6))，∴sin(A－eq\f(π,6))∈(－eq\f(1,2)，1]，故f(A)的取值范围为(－1,2]．(2)由题意知，sin(A－eq\f(π,6))＝eq\f(\r(2),2)，∴A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z，即A＝eq\f(5π,12)＋2kπ，k∈Z，∵A为锐角，∴A＝eq\f(5π,12).由正、余弦定理及三角形的面积得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝b＋\r(2)c，,\f(1,2)bc·sin\f(5π,12)＝\f(3＋\r(3),4)，,cos\f(5π,12)＝\f(b2＋c2－a2,2bc)))解得b＝eq\r(2).B组能力提升1．(2020·河北武邑中学调研)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(A)A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里[解析]如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理可得BC＝eq\f(AB,sin45°)×sin30°＝10eq\r(2).2．(2020·西安模拟)如图，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是(D)A．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500m[解析]设塔高为xm，则由已知可得BC＝xm，BD＝eq\r(3)xm，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为(B)A．0.5小时 B．1小时C．1.5小时 D．2小时[解析]根据题意画出相应的图形，如图所示．BE＝BF＝30km，△ABD为等腰直角三角形且AB＝40km，由勾股定理得AD＝BD＝20eq\r(2)km，由BD⊥AD，可得ED＝DF，在Rt△BED中，由勾股定理得ED＝eq\r(BE2－BD2)＝10km，所以EF＝2ED＝20km，因此B市处于危险区内的时间为20÷20＝1(h)．4．如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝45°，∠ADB＝30°，BC＝1，DC＝2，cos∠BCD＝eq\f(1,4)，则BD＝__2__；三角形ABD的面积为eq\r(3)－1.[解析]在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝1＋4－2×1×2×eq\f(1,4)＝4，则BD＝2.在△ABD中，∠BAD＝180°－30°－45°＝105°，sin105°＝sin(45°＋60°)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，由正弦定理可得AD＝eq\f(BD·sin45°,sin105°)＝eq\f(2×\f(\r(2),2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝2(eq\r(3)－1)，则S△ABD＝eq\f(1,2)×2(eq\r(3)－1)×2×sin30°＝eq\r(3)－1，故BD＝2，△ABD的面积为eq\r(3)－1.5．(2020·河北衡水中学三调)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m＝(coseq\f(3A,2)，sineq\f(3A,2))，n＝(coseq\f(A,2)，sineq\f(A,2))，且满足|m＋n|＝eq\r(3).(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝eq\r(3)a，试判断△ABC的形状