一元一次方程教材分析及命题技术培训共享-

楚才程硕一、对课本的分析

人教版新课标的主要内容：

1、一元一次方程的引入、定义、一元一次方程解的定义；等式的性质；

2、解一元一次方程；

3、一元一次方程的应用问题。本章知识结构图：

〔1〕利用一元一次方程解决问题的根本过程实际问题

数学问题〔一元一次方程〕数学问题的解(x=a)实际问题的答案设未知数列方程解方程检验本章知识结构图：〔2〕本章知识安排的前后顺序由于教材中列方程解应用题是始终贯穿于全章的主线，对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，都是先给出实际问题，然后根据实际问题列出一元一次方程，再进行方程解法〔例如移项、合并同类项、去括号、去分母等〕的教学，难点过于集中，不利于学生对方程解法的理解和掌握，所以建议应把解决实际问题先往后挪，让学生好好掌握解方程的方法。本章知识结构图：〔2〕本章知识安排的前后顺序教师用书上的知识结构图：一元一次方程等式的性质结合实际问题讨论解方程〔合并与移项〕解一元一次方程的一般步骤对利用一元一次方程解决实际问题进行进一步探究

实际问题结合实际问题讨论解方程〔去括号与去分母〕本章知识结构图：〔2〕本章知识安排的前后顺序建议修改为：一元一次方程等式的性质方程的解法〔合并与移项〕解一元一次方程的一般步骤利用一元一次方程解决实际问题简单实际例子方程的解法〔去括号与去分母〕二、教学分析

课时安排：〔一元一次方程预设课时18节〕一元一次方程的引入和定义，等式性质：2课时一元一次方程的解法：6课时一元一次方程的应用：7课时汇总或验收：3课时二、教学分析具体教学建议：这局部知识在2021年中考考试说明中的要求：方程：体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；方程的解：了解方程的解的概念，经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程，运用方程的解的概念解决相关问题；一元一次方程：体会一元一次方程是从实际问题中抽象出的数学模型，感受用数学模型解决问题的思想，会根据实际问题列一元一次方程；一元一次方程的解法：经历求一元一次方程的解的过程，理解解法中各个步骤的依据，能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数〔无需讨论〕的一元一次方程的解；二、教学分析课程学习目标：1．经历“把实际问题抽象为数学方程〞的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。2．通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。3．了解解方程的根本目标〔使方程逐步转化为x=a的形式〕，熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。4．能够“找出实际问题中的数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系〞，体会建立数学模型的思想。5．通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的根本过程〔见上图〕，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。1、方程的定义、等式性质：

1、方程的定义、等式性质：

再定义一元一次方程“只含有一个未知数且未知数的次数是1的整式方程〞；直接给出：使方程成立的未知数的值叫“方程的解〞；只有一个未知数的方程的解也叫方程的根；求方程解的过程叫“解方程〞。如何解方程是初中代数非常重要的内容，在求出未知数值的过程中，需要理论的支持，要保证每一步变形后得到的新方程的解和原方程的解必须是相同的。用什么做理论支持？可以提醒学生回忆小学学过的等式性质，复习“等式的性质〞。等式性质1：等式两边加〔或减〕同一个数〔或式子〕，结果仍相等。等式性质2：等式两边乘同一个数、或是除以同一个不为零的数，结果仍相等。注意等式性质2与1的区别，方程两边加减的可以是数或式子，而乘除只能是数，不能是式子。2、解一元一次方程：

课时安排给了6节，重点是能正确解出一元一次方程。由于绝大局部学生在小学学过解一元一次方程，对方程过程的讲解可以直接进行，并提醒学生每个步骤的依据是等式性质。在一开始讲解如何解方程的时候，建议老师们从简单题入手，不要太着急，把每个步骤带着学生夯实，急于求成有时会埋下隐患。

2、解一元一次方程：

课时安排给了6节，重点是能正确解出一元一次方程。由于绝大局部学生在小学学过解一元一次方程，对方程过程的讲解可以直接进行，并提醒学生每个步骤的依据是等式性质。在一开始讲解如何解方程的时候，建议老师们从简单题入手，不要太着急，把每个步骤带着学生夯实，急于求成有时会埋下隐患。常见的错误有：(1)移项不变号导致错误；(2)解简易方程时常出现的错误；(3)去分母时漏乘不含分母的项，尤其项为1时；(4)对方程的本质理解不清，如：解方程：，写成：原方程=，注意关系和关系之间不能用“等号〞连接。

(5)错的最多是去括号时的符号运算。为保证解的正确，在平时练习中最好能养成学生将“解〞代回原方程检验的习惯，也可以让学生们自己总结解方程时易犯的错误。3、一元一次方程的应用问题：

课时安排给了7节，这一局部应该是整章的重点和难点，是以后学习的根底，也是中考的考点，应给予重视。我认为可以将应用问题分成两类：一是依题意列方程解决常规应用题，二是利用一元一次方程解决生活中的实际问题。前者是学生在小学常见的，他们很擅长列算式解决，后者更加灵活有挑战性，为近几年中考所青睐。对于第一类依题意列方程解决常规应用题主要是“通过分析，找出等量关系，列出方程〞，但是这种说法太抽象含混，可操作性差，对于较为简单的问题我们可以换种说法：“分析题目内容，利用一个未知量，依题意用两种方法表达成代数式，中间用等号连接可成方程〞。找准等量关系是列方程解应用题的重要环节。在教学中要着重分析量、未知量之间的关系，善于把握规律，归纳类型，甚至借助形象的图表帮助发现等量关系。列方程是将等量关系“符号化〞。3、一元一次方程的应用问题：对常规问题可以分以下几局部认识：〔1〕直接由题目找出等量关系：有和差倍分问题、盈亏问题、劳力调配问题、产品配套问题、比赛积分问题等等。这类问题比较简单，等量关系明显、可以直接列方程。对于这类问题也可以设计一些问题让学生讨论解决，让数学问题更贴近生活。例如：小明和小宁在课外学习中，用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个或者做盒底盖3个，现一个盒身和2个盒底盖恰好做成一个包装盒，为了充分利用材料，使做成的盒身和底盖正好配套，小明和小宁设计了如下方案：〔方案一〕把这些白卡纸分成两局部，一局部做盒身，一局部做底盖；〔方案二〕先把一张白卡纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白卡纸分成两局部，一局部做盒身，一局部做底盖。想一想，小明和小宁设计的方案是否可行，谁的更好？

3、一元一次方程的应用问题：对常规问题可以分以下几局部认识：〔2〕经典问题：工程问题：全部工作量=各局部工作量之和=1；工作量=工作效率工作时间；工作效率是工作时间的倒数。〔打字问题、注〔排〕水问题可类比工程问题分析求解。〕行程问题：相遇问题：相遇时间速度和=路程和；追及问题：追及时间速度差=被追及距离；航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度水流速度；顺水速度+逆水速度=2水流速度〔飞行问题与此同类。〕环形跑问题：同向跑相当于追及问题，异向跑相当于相遇问题；车上〔离〕桥的问题：与常规行程问题的不同点在于其中有一个物体是静止的〔桥〕。车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长；车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段过程，所走路程为一个车长；车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段过程，所走路程为一个车长+桥长。

3、一元一次方程的应用问题：对常规问题可以分以下几局部认识：〔3〕探究数的问题：多位数的表示：如〔a、b、c、d均为大于或等于0而小于10的整数〕年龄问题、探究规律的问题都可以归结成数的问题，要求学生学会用整体代换的方法解决数字问题。

例题1：一个四位数的首位数字是7，如果把首位上的数字放在个位上，那么所得到的新的四位数比原四位数的一半多3，求原四位数。分析：设原四位数的后三位数为x，那么原四位数为71000+x，新四位数为10x7，得方程为：71000+x=2(10x+73)，解之有x=368，所求四位数为7368。

例题2：有一数列，按规律排成是：1、3、7、11、，〔1〕求这数列中第100个数；〔2〕2005、2007是否是这列数的数，假设是，是第几个数？假设不是，请说明理由。分析：由数列得一般性规律为4n5，〔1〕当n=100时得395，〔2〕设2005是这数列中的数，那么有4n5=2005，解得n=502.5，因502.5不是整数，故不是数列中的数，同理可以判断2007是这个数列中的数，且是第503个数。

3、一元一次方程的应用问题：对常规问题可以分以下几局部认识：〔4〕营销和储蓄问题：打折销售：如进价a元、售价b元、利润p元、利润率w，那么有商品打x折是指按定价的销售；〔1+提价的百分数〕原价=现价；销售利润=商品售价商品进价；

储蓄问题：我国从1999年底开始征收利息税，即征收所得利息的20%，教育储蓄和购置国库券不需要纳利息税，做题时可按题目给的利息税来计算。利息=本金利率期数。纳税问题也属此类，答题要注意分清纳税数额、税率和纳税方式。

3、一元一次方程的应用问题：对常规问题可以分以下几局部认识：〔4〕营销和储蓄问题：还可以把问题设计成探究问题，比方应用“打折〞“讲价〞，带出活泼的课堂气氛，让学生感悟数学在生活中的应用。例如：某服装在销售中只要高出进价的20%便可盈利，但商家常以高出进价50%---100%标价，假设你准备买一件标价为200元的服装，应如何还价？分析：计算进价在100—133元之间，因商家要保证20%的差价，因此在120—160之间还价。课堂教学可以设计成让学生讨论。

3、一元一次方程的应用问题：对常规问题可以分以下几局部认识：〔5〕等积变形：在图形形状改变时其面积或是体积不变。例1：如图，一个长方形恰分成六个正方形，其中最小的正方形面积为1，求这个长方形的面积。

分析：设正方形E的边长为x，那么正方形D、C、B的边长分别为〔x+1〕,(x+2)，(x+3)，原长方形的长为〔3x+1)，宽为(2x+3)，由题意可得：3x+1=2x+5，解之有x=4，所求面积为143。3、一元一次方程的应用问题：对常规问题可以分以下几局部认识：〔5〕等积变形：在图形形状改变时其面积或是体积不变。例2：将图〔1〕三角形纸片沿虚线叠成图〔2〕，原三角形图〔1〕的面积是图〔2〕〔粗实线图形〕面积的1.5倍，图〔2〕中阴影局部的面积之和为1，求重叠局部的面积。

分析：设重叠局部面积为x，将折叠复原后，原三角形的面积是〔2x+1〕，图〔2〕中粗实线局部面积是〔x+1〕,依题有1.5(x+1)=2x+1，解得x=1。3、一元一次方程的应用问题：第二类问题，即实际问题与一元一次方程：课本安排了三个探究问题：“销售中的盈亏〞、“油菜种植的计算〞、“球赛积分表问题〞。这局部教学为老师们提供了较大的发挥空间，可以设计不同的教学方法，比方由学生自由讨论解决问题。例1：某校科技小组的学生在3名老师带着下，准备前往某公园考察。当地有甲、乙两家旅行社，其定价都一样，但表示对师生都有优惠。甲旅行社表示带队老师免费，学生按8折收费；乙旅行社表示师生一律按7折收费。经核算，甲、乙两家旅行社的实际收费正好相同。第一个问题：问该科技小组共有多少学生？第二个问题：假设小组增加学生人数，那么选哪家旅行社较合算？第三个问题：老师人数变为2人，打折情况不变，选择哪家旅行社合算？进一步思考：利用第一问的结论，当甲、乙旅行社价格一样时，老师人数与学生人数比为1/7，现老师人数减为2人，可以推算出学生人数为14人时甲、乙旅行社价格一样。为什么会有这样的结论呢？楚才程硕一、对课本的分析本章是初中阶段“空间与图形〞领域的起始章，主要内容是图形的初步认识。在前两个学段，学生已了解了一些简单几何体和平面图形的根本特征，但较为浅薄，本章从大量的实例入手，通过实物和具体模型，让学生了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念，能识别一些根本几何体〔长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等〕。初步了解立体图形与平面图形的概念．在此根底上，通过从不同方向看立体图形和展开立体图形等活动，在立体图形与平面图形的转换中开展学生的空间观念。本章知识结构图：

二、教学分析课时安排：〔图形认识初步预设课时15节〕多姿多彩的图形：4课时直线、射线、线段：2课时角的度量、比较、运算：6课时汇总或验收：3课时二、教学分析本章重、难点：二、教学分析教学内容具体安排：教学内容课时具体课时安排教学目标4.1多姿多彩的图形4（1）生活中的立体图形利用教学媒体展示生活中的立体图形（2）由立体图形到视图指导学生画出从不同方向看一些基本几何体以及它们的简单组合得到的平面图形；了解直棱柱、圆柱、圆锥的展开图（3）由视图到立体图形组织学生以小组合作形式制作立体模型，融合“课题学习”让学生能根据展开图想象相应的几何体，（4）点、线、面、体通过实物和具体模型，引导学生从物体外形抽象出几何体、平面、直线和点等概念，介绍点的几何语言表示二、教学分析教学内容具体安排：教学内容课时具体课时安排教学目标4.2直线、射线、线段2（1）线的概念要求学生掌握直线、射线、线段的几何语言表示掌握公理：两点确定一条直线（2）线段的比较会用量度或尺规比较两条线段的长短介绍线段的中点，并要求用几何语言表示（3）两点间的距离会用尺规画一条线段等于已知线段能根据语句画出相应的图形掌握公理：两点之间，线段最短二、教学分析教学内容具体安排：教学内容课时具体课时安排教学目标4.3角6（1）角的概念与线的学习类比，学习角的概念、角的比较、角平分线的概念，要求学生会用几何语言表述（2）角的比较（3）角的运算认识度、分、秒，并会进行简单的换算，会计算角度的和与差（4）余角和补角的概念及性质了解余角和补角的概念，并能用几何语言描述知道“等角的补角相等”“等角的余角相等”的性质二、教学分析二、教学分析教学建议：教学过程中，应该先注意小学阶段的学习根底，按课程标准的要求把握好教学要求，不要刻意拔高。具体在下面几个环节作好教学工作：1〕看图教材起始的几句话就明确说出：“数学关注的是物体的形状、大小、和位置，而其颜色、重量、材料等那么是其它学科所关注的〞，开篇就提出了在数学中研究“形〞的注重点和关注的目标，明确地告诉同学们，数学中研究几何就是要研究形状和位置关系。所以在看图欣赏如此多姿多彩的图形的时候，特别要关注的除了图形的美之外，尤其要关注图形之间的形状和位置关系。二、教学分析教学建议：教学过程中，应该先注意小学阶段的学习根底，按课程标准的要求把握好教学要求，不要刻意拔高。具体在下面几个环节作好教学工作：2〕读图在认真看图、努力寻找图形之间形状和位置关系的根底上，教学中要重视让学生多从事一些动手操作、观察、区分等学习活动，给学生提供一些现实的图形作为学习材料，开展数学交流，引导他们在观察图形的活动中分析和讨论图形和图形之间的位置关系，比方线段之间、各个面之间、图形的边之间的位置关系，学习寻找图形之间的异同，获得建立几何图形的知识和技能。有意的去引导学生慢慢忽略图形的其它非数学特征，进入初步的抽象化，为建立点、线、面、体等概念打好根底。二、教学分析教学建议：教学过程中，应该先注意小学阶段的学习根底，按课程标准的要求把握好教学要求，不要刻意拔高。具体在下面几个环节作好教学工作：2〕读图教材在编写过程中也遵循着这样的规律：最开始的几幅图形是实物照片，是作为题头图片要学生欣赏的；接着就是在4.1.1对帐篷、茶叶盒、金字塔的数学抽象，做出了三棱柱、六棱柱、棱锥这三种典型的数学图形〔线条图〕，并且有虚线和实线的区分，立体感强；接着在练习中只给出线条图形要学生思考相关问题，说明平面图形在立体图形中的位置，初步涉及平面和立体的关系；接着在4.1.2开始讨论抽象的概念点、线、面、体。正式从“欣赏〞美丽的图片进入到真正的数学活动，“研究〞根本的数学概念和数学实事。二、教学分析教学建议：教学过程中，应该先注意小学阶段的学习根底，按课程标准的要求把握好教学要求，不要刻意拔高。具体在下面几个环节作好教学工作：3〕识图要通过对丰富的实例的剖析，认识一些常见的几何图形，脱离开实例抽象出点、线、面、体，进一步认识点、线、面、体。在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步建立空间观念，开展几何直觉；进一步认识直线、射线、线段和角，理解它们的概念，了解有关的一些性质，并能初步应用。认识图形之间的联系，认识概念之间的联系和区别。二、教学分析教学建议：教学过程中，应该先注意小学阶段的学习根底，按课程标准的要求把握好教学要求，不要刻意拔高。具体在下面几个环节作好教学工作：3〕识图这个过程在教学中特别要注意两点：一是平面图和立体图之间的联系，以及如何转换，寻找一些实物图片和图形要学生进行操作，加深对展开图和立体图的认识，并交给一些根本的方法。比方教材中有正方体的展开图的学习内容，在教学调查中老师们都感到这局部内容学生学习感到不太容易，好似只要是展开成六个正方形都是可以围成正方体的。为了进一步加深学习效果，可以要学生自己剪出习题中的平面纸形再试折是否可以复原成正方形，也可以在学习过后作为课后探究对下面问题进行分析：二、教学分析教学建议：教学过程中，应该先注意小学阶段的学习根底，按课程标准的要求把握好教学要求，不要刻意拔高。具体在下面几个环节作好教学工作：3〕识图例：六个正方体A,B,C,D,E,F的可见局部如图，右边给出的展开图是其中两个正方体的侧面展开图，那么它是正方体____和____的侧面展开图。

二、教学分析教学建议：教学过程中，应该先注意小学阶段的学习根底，按课程标准的要求把握好教学要求，不要刻意拔高。具体在下面几个环节作好教学工作：3〕识图

分析：这一问题可用以下方法加以解答：

1)

将展开图〔图1〕围成正方体时，右下角的正方形A的上边应与正方形B的右边重合，所以可将A逆时针旋转90度，得到图2

2)

将展开图〔图1〕围成正方体时，正方形A的右边应与正方形C的左边重合，所以可将A向左平移，得到图3。由图3观察六个正方体此题就简单多了，正确答案应为C和E。

二、教学分析教学建议：教学过程中，应该先注意小学阶段的学习根底，按课程标准的要求把握好教学要求，不要刻意拔高。具体在下面几个环节作好教学工作：3〕识图

二是学生对概念的理解，要特别注意认识各个概念的区别和共同点，比方线段和射线、线段和直线、射线和直线的关系；角概念的实质；各种角的概念、角的书写等，都是学生在学习中容易出错的地方。将教材问题稍加推广，我们可以要学生探究如下形式的问题:例:如图，C、D、E是线段AB上的三个点，图中共有多少条线段？

方法：1.以线段的端点为顺序来数

2.以根本线段的数量为顺序来数

3.递推法二、教学分析教学建议：教学过程中，应该先注意小学阶段的学习根底，按课程标准的要求把握好教学要求，不要刻意拔高。具体在下面几个环节作好教学工作：3〕识图推广：直线上有n个点时，可以确定多少条线段？总结：当直线上有n个点时，可以确定n(n-1)/2

条线段。与之类比，继续可以向学生提出以下问题：

①

从一点引n条射线,共构成多少个角?

②

平面上有n个点,经过每两个点作一条直线,最多能做多少条直线?

③

平面上有n条直线,最多能有多少个交点?

④在一个平面上,假设一个角内有n条射线,可以构成多少个角?

注：第④题学生在练习时，错误较多，大多数学生照搬n(n-1)/2

的结论，未意识到此时构成角的边数为(n+2)条。

二、教学分析教学建议：教学过程中，应该先注意小学阶段的学习根底，按课程标准的要求把握好教学要求，不要刻意拔高。具体在下面几个环节作好教学工作：4〕想图教科书中，设置了很多习题，一般都是需要看了问题后先在脑袋里想象立体图形的“样子〞来答复，比方三视图。也设置了许多“思考〞“探究〞等栏目，如从一些图案中发现平面图形；画出由9个正方体组成的立体图形从不同方向看到的平面图形；探索一些常见几何体的展开图；通过观察思考生活中的现象得到关于直线、线段的性质；探索画一个角等于角的方法等等。通过这些“探究点〞，鼓励学生勤思考、勤动手、多交流。其中，动手操作是学习开始阶段重要的一环，它可以帮助学生认识图形，丰富直观，验证学生的空间想象。只有真正的有了一定的想象能力，学习几何才可以说是开始了。要想象图形，在教学的开始阶段，应鼓励学生先动手、观察，后分析、思考，逐步过渡到先思考、后动手验证，做到脑中有图，并能将脑中的图在笔下画出来。教材中这类的练习很多，教学的关键是教师不要包办代替孩子的思维和想象，要做到脑中有图需要一个比较长的过程。

二、教学分析教学建议：教学过程中，应该先注意小学阶段的学习根底，按课程标准的要求把握好教学要求，不要刻意拔高。具体在下面几个环节作好教学工作：5〕说图学习是需要交流的，学生学习几何要能看懂、会分析、有思想，更重要的还需要能够用语言文字和他人进行交流，进行数学交流。几何图形是“空间与图形〞的研究对象，对它的一般描述表示是按“几何模型→图形→文字→符号〞这种程序进行的。其中，图形是将几何模型第一次抽象后的产物，也是形象、直观的语言；文字语言是对图形的描述、解释与讨论；符号语言那么是对文字语言的简化和再次抽象。显然，首先建立的是图形语言，其次是文字语言，再次是符号语言，最后形成的应是对于对象的三种数学语言的综合描述，有了这种整体认识，三种语言到达融汇贯穿的程度，就能根本把握对象了。在教学中要有意识的加强学生说数学的能力训练，从直观看到的图象，经过内心的分析和抽象，说出或者写出其数学关系，准确地答复数学问题。要落实好的着重点是平时学生对物体描述的准确和课堂上学生答复以下问题的数学化，以及学生作业的标准化。前提是对数学对象的准确认识以及对数学概念的准确理解！

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