线性代数习题册(答案)

线性代数习题册答案

第一章行列式

练习一

班级学号姓名

1.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

(1)T(3421)=5:

(2)T(135642)=6;

(3)T(13…(2n-1)(2n)…42)=2+4+6+…+(2n-2)=n(n-1).

2.由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i=8、i=3.

3.在四阶行列式中，项4,汹汹外的符号为负.

003

4.042=-24.2[G

04-2“口"。

215二一2f或S)*2-4-3--24

0o3

5.计算下列行列式：

-122

(1)2-1-2=-1+(-8)+(-8)-(-4)-(-4)-(-4)=-5

2-2-1

或

-211

(2)11=—分+i+i—(—2)—(—2,)—(—4)

11-Z

=-分+3%+2=(2—2)(2+1)2

练习二

班级学号姓名

1.已知3阶行列式det(4)=l,则行列式det(—4；)=—1.(-1)31=-1

111

2.234=2.

4916

1012

-1103

3.已知D=则

1110

254

An+At2+443+444=----------zzl-----------'

用1,1,1,1替换第4行

4.计算下列行列式:

1+abc

(1)a1+bc

ah1+c

100

1-1

=/01=1+a+O+c

b1+c

ab1+c\ab1+c

x>x+y

(2)yx+yx

x+yxy

21-51

-30-6

⑶

02-12

14-76

1214

0131

5.计算下列n阶行列式:

xa■■■a

ax・•・ci

⑴D“=....（每行都加到第一行，并提公因式。）

aa■■■x

211

11•••n+\

练习三

____________姓名

-x2-x3=i

1.设线性方程组玉+丸工2+七=1有惟一解，则4满足的条件是什么？

-+X2+丸工3=1

%+%2+工3+14=5

玉+2X—忍+4%=-2

2.求解线性方程组＜2

2%1—3%2—演—54=—2

3%+工2+2工3+1114=0

Axj-x2-x3=0

3.已知齐次线性方程组（-玉+4/+马=°有非零解，求X的值。

—%—%+力尤3=0

32

4.求三次多项式/(x)=a3x4-a2x-\-aAx+a^,使得:

/(-2)=3J(—1)=4J(l)=6,/(2)=19o

自测题

1.n阶行列式D=det（他），则展开式中项“2。23%4…。自/”的符号为（T）"-'•

1二1

2.已知3阶行列式det(4)=Q,则行歹ij式det(-2为)=(—2)33=T.

1111

1-22X

3.方程0的根为12-2

144X2

1-88x3

2x+y+z=0

4.已知齐次线性方程组《/U+3y—z=0仅有零解，则；I的值应为/1工0,/1。1.

-y+Az-0

2xx12

1x1-1

5.设。，则D的展开式中/的系数为4

32x1

111x

6.计算下列行列式:

1-322

-3409

(1)

2-262

3-383

122…2

222…2

(2)2=223…2

222•••n

第二章矩阵及其运算

练习一

班级学号姓名

‘111、123、

1.设A=11—1,B=-1-24，求3AB-2A及48。

JT051,

2.设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。

由题意，得：A1=A,B'

3.矩阵A和B满足什么条件时，（A+5）2=A2+2AB+B2恒成立？

恒成立的条件是：AB=BA.

[-1、

4.设A=（l23）,8=1，求AB,BA及（RAP00。

n0、一*

5.设4=,求A2,A3,…，屋。

121J

练习二

班级学号姓名

1.求下列矩阵的逆矩阵：

’12-3、

(2)012

<001,

2.设方阵A满足A?—?1—2E=0,证明A及A+2E都可逆，并求及(A+2E)r。

’100、

3.已知A=0-20,A,BA=2BA-SE,求8。

、00"

4.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:

(1)若同=0,则⑷=0；⑵|A*|=|4]。

f-1-4>f-i01

5.设PTAP=A,其中尸=,A=，求A”。

(1"l02)

练习三

班级学号姓名

’3400、

4-300।„|

1.设A=，求不及Al

002011

、0022,

2.求下列逆矩阵：

200Y'

(1)0300

0020

、0034,

(OAY,

(2)，其中n阶矩

0)

阵A及s阶矩阵8都可逆。

自测题

一.填空题：

’12、'34、

1.若4=,P=，那么尸助4尸颈=

34,Uo;J2,

2.A、8为三阶矩阵，国=一同5|=2,则|208邛=8.

0、ct~—3a+5

3.已知./(x)=x^—3x+5,4—，则/(A)

b)、0廿一3"5j

4.若A、B。均为n阶矩阵，且AB=6C=C4=£,则舟+82+。2=3E.

'1-11、

T则

5.a是三维列向量，aa-11-1，d=.3

J-1L

'1-52、

用初等变换法求4=-211-3的逆矩阵.

J一51,

‘100、

三.设矩阵A=110,求4”.

、。1b

四.证明：n阶矩阵A对称的充分必要条件是A—A，对称。

’1-20、

五.A、B为三阶可逆矩阵，2ATB=8—4E,若3=120，求A.

J02,

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

练习一

班级学号姓名

1.判断题（正确打J,错误打X）：

1）某矩阵的行（列）阶梯形矩阵是唯一的（X）

2）某矩阵的行（列）最简形矩阵不是唯一的（X）

3）某矩阵的标准形矩阵不是唯一的（X）

4）矩阵的初等变换都有逆变换，且逆变换与原变换同属一类（V）

5）任何一个矩阵总能通过初等变换化为标准形（J）

玉-2龙2_%3+九4=]

2.已知线性方程组（2尤2-2马+6%=2,写出其增广矩阵，并将增广矩阵通过初等行变

2%1—3%2+2——9

换化为阶梯形、行最简形。

<20、

3.已知A=[]32I'将A化成标准形。并写出P、Q,使A的标准形等于PAQ。

'02]、

4.已知A=2—13,利用矩阵的初等变换，求A-'

、—33一4,

’1-10、

5.已知A=01-1,AX=2X+A,求X。

、—1。1,

练习二

班级学号姓名

1.选择题：

1）4批的行阶梯形中只有前r（rVm且r<n）行为非零行，则R（A）为（C）

（A）0；（B）m；（C）r；（D）n.

2）非零矩阵A,"x“（m<n）中的所有的2阶子式全为0,则A的标准形为（D）

(E0、fo0、fo0}’10、

(A)m；(B)；(C):(D)

10loEm)(ooJ

0>mxn\mxn\\00/7mxn

3)方阵A”的秩H(A)=n,则A“必定不满足(D)

(A)可逆；(B)A“与E等价；(C)R(A*)=〃；(D)存在8。O,使A8=O

4)A”为奇异矩阵，下列的错误的是(C)

(A)R(A)=R(A「)；(B)R(A)<n；(C)1A*卜0；(D)不与单位阵E等价

’3102、

2.已知矩阵4=1-12-1,求R(A)。

J3-44,

R(A)=2

’1-23k、

3.设A=-12k-3，问人为何值时，可分别使(1)R(A)=1；(2)R(A)=2；(3)/?(A)=3?

、k-23,

4.已知n阶方阵A,使A—2E为不可逆矩阵，求证：A不为零矩阵。

练习三

班级学号姓名

1.选择题：

1)当(D)时，齐次线性方程组4,*“尤=0一定有非零解。

(A)mWn；(B)m=n；(C)m>n；(D)m<n.

2)设A为n(，2)阶方阵，且R(A)=n-l,%,％是的两个不同的解向量，左为

任意常数，则Ac=。的通解为(C)

(A)ka}；(B)ka2；(C)-a2)<(D)k{a}+a2).

2.填空题：

1)设4阶方阵A=('a2a3%)，且4=卬-%+%一%,则方程组4=尸的一个解

向量为(1-11-1)\

2)设方程组A〃+i)*"X=b有解，则其增广矩阵的行列式|蝴=_2_。

X]+%2=~«|

4

x2+x3=a2

3）若《有解，则常数4,42，”3，“4应满足条件_24=0-。

x3+x4--a3

A+Xi=«4

121、

4）已知方程组23。+23无解，则ci=___」

-2，°,

玉+*2+%=0

3.求齐次线性方程组，%!+x2-x3=0的解。

x3+x4+x5=0

23、。0

4.解矩阵方程:X=

231J、01

/I%）+x2+x3=1

5.4取何值时，非齐次线性方程组＜芭+/1々+%3=丸（I）有唯一解；（2）无解；（3）有

X1++2工3=

无穷多解？并在有解时，求解。

解：

I1222

(1)当-2,271时，有唯一解；Af01一4

(1+4

0014+2J

(2)当丸=一2时，无解;

I11

(3)0000

0003

%是任意实数）

自测题

1.选择题:

1）设A为n（22）阶奇异方阵，A中有一元素陶的代数余子式4H0,则方程组Ax=O

的基础解系所含向量个数为（B）

(A)i；(B)1；(C)j；(D)n.

2

2x,+x2+A,X3=0

2)方程组＜%+/1工2+%3=0的系数矩阵记为A，若存在三阶方阵BHO,

xt+x2+AX3=0

使得AB=O,则(A)

(A)2=1,|B|=0；(B)/iHl,冏00；(C)|B|=0；(D)4=1,忸艮0.

3)设A与B是n阶方阵,齐次线性方程组Ax=O,Bx=O有相同的基础解系。，专，

则以下方程组以4,女，4为基础解系的是(D)

(A)(A+8)x=O；(B)ABx=O；(C)BAx=O}(D)x=O.

\B)

2.判断题：

1)初等矩阵与初等变换是一一对应的(V)

2)任一秩为r的矩阵A必与(6等价(J)

[00)

3)Ar=。与A'Ar=0为同解方程组(V)

4)方程组加=匕有无穷多个解的充分必要条件是=6有两个不同的解(V)

3.设n阶方阵A的列向量为%(i=l,2,3,…，n),n阶方阵8的列向量为

+a2,a2+a3,---,an_l+an,an+al,试问:当R(A)=〃时，&=。是否有非零解？

试证明你的结论。

4.若齐次线性方程组A„,x„x=0的解均为齐次线性方程组B.x=0的解，

试证明R(A)NR(8)。

x,+x,=0%,-x,+x,=0

5.求方程组12与，2"的非零公共解。

%—%4=°［工2一七+工4=0

解：

/\

X,㈠

非零公共解为x2=c1(cwO,c是任意实数)

X312,

<X4>

6.设非齐次线性方程组A„,x„x=b的系数矩阵4,*,,的秩为r,久虞，…,…是A,mnx=0的

一个基础解系，？7是4“*/=人的一个解。证明：4,*/=方的任一解可表示为

7.设/,%,%，&，尸为四维列向量，4=(匈,%,。3，%)，已知/卜=£的通解为

-12121

x=+勺+k,其中，为对应的齐次方程组的基础解系，尢,网为

02

J

任意常数，令8=(4,。2。3)，试求为=用的通解。

第四章向量组的线性相关性

练习一

班级学号姓名

1.己知向量&=(1,1,0,—1),4=(一2,1,1,2)，7=(—1,2,0,1),试求向量J=3a—24+九

解：＜^=3a-2/7+/=3(1,1,0,-1)-2(-2,1,1,2)+(-1,2,0,1)=(6,3,-2,-6)

2.已知向量组A:%=(0,1,2,3)，4=。，0,1,2)，？=0，3,0,1)，,

=(2,l,l,2)r,分=(0,-2,1,1/,^=(4,4,1,3)，证明3组能由A组线性表示，但A

组不能由8组线性表示。

解：

R(A)=3=R(A8),所以5组能由A组线性表示。

R(B)=2,R(BA)=3,所以4组不能由B组线性表示。

3.设夕可由a1,%，线性表示，但不能由.,。2,…，。“I线性表示，证明：a,“可由

名,1T，尸线性表示，而不能由…,。吁|线性表示。

4.已知%=(1,4,0,2)',%=(2,7,1,3)，%=(0,1,—1,4)’,夕=(3,10也44，问:

(1)a,b取何值时，夕不能由%线性表示？

(2)a,力取何值时，夕可由%,巴，线性表示？并写出此表达式。

解：

(I)当a=l,人工2或awl,Z?w2时，H(A)#R(AQ),夕不能由q,a2,火线性表示。

030-1

0-12002

(2)当。工1,匕=2时，(A0

00a-10000

0000000

R(A)=R{A/3)=3,4可由线性表示，/?=-«+2a2+0,。3

(1203](102-1]

01-1201-12

当a=l,Z?=2时，(A")------>------>

00000000

[oo0oj10000,

R（A）=R（A尸）=2,夕可由。3线性表示。

/7=（-1-2^）«1+（2+k）a2+k-a3（ZeR）

练习二

班级学号姓名

1.判断向量组四=（1,1,0,0）',。2=（0，1，1，0）'，4=（0，°，1，1）7，。4=（一1，0,0，1）7的线性

相关性。

2.讨论向量组%=（1,1,0），4=。,3,—1），%=（5,3,的线性相关性？即/取何值时，

向量组线性无关？/又取何值时，向量组线性相关？

3.已知向量组即％，%线性无关，判断2a1+3%,%-3%0+%+%的线性相关性。

4.如果向量夕可以用向量组名,七,…,火线性表示，试证表示方法是唯一的充要条件是

%,%,…,火线性无关。

练习三

班级学号姓名

I.已知向量组a=（1,2,3,4）,4=（2,3,4,5）,4=（3,4,5,6）,&=（4,5,6,7）,求该向量

组的秩。

2.求向量组因=(1,-1,254bo2=(0,3,1,2"=(3,0,7,14),a4=(1,-2,2,0)的秩和最大

无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。

T324、

3142

3.利用初等行变换求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量

2342

139,

用最大无关组线性表示。

4.设A为”阶矩阵（〃22）,A*为A的伴随矩阵，证明：

练习四

班级学号姓名

xt+x2-3X4一天=0

x.-x.+2x.=0—

i.求齐次线性方程组《'2345的基础解系。

4元1—2X2+6/—5/+/=0

2xt+4X2-2尤3+4X4-16X5=0

xt+3X2+3X3-2X4+毛=3

2x,+6x,+x,-3%=2

2.求非齐次线性方程组《1234的通解。

x}+3X2-2X3-x4-x5=-l

3X1+9x,+4X3-5X4+/=5

3.已知配自2看3是四元非齐次线性方程组4=人的解，R（A）=2,且

4.设是齐次线性方程组Ar=8的一个解，。,昆,…,当一是对应的齐次线性方程组的一

个基础解系，证明:⑴-线行无关；⑵…，〃*+4一

线行无关。

练习五

班级学号姓名

1.试判定集合V=｛（%,工2,…,x“）|%+/H--1■x”=一1,看eR｝是否构成向量空间？

4

2.求向量空间R的基冈=（1,2,—1,0）,4=（1,—1,1,1）,a.?=（-l,2,l,l）,a4=（-1,-1,0,1）

到基伍=（2,1,0,1）血=（0,122"=（-2,1,1,2）,A=（1,3,1,2）的过渡矩阵和向量的

坐标变换公式。

自测题

一、选择题：

1.设向量组（1）：与向量组（2）：4，片等价，则（A）„

（A）向量组（1）线性相关；（B）向量组（2）线性无关；

（C）向量组（1）线性无关；（D）向量组（2）线性相关。

2.设n维向量组%%4n线性无关，则（B）。

（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关；（B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关；

（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关；

（D）向量组中每个向量都任意增加一个分量后仍线性无关。

3.设三阶行列式。=同=0,则（A）。

(A)D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合；

(B)。中每一行向量都是其余行向量的线性组合；

(C)。中至少有两行向量线性相关；(D)。中每一行向量都线性相关。

4.设人：囚,是一组n维向量，且q,见，0^线性相关，则(D)。

(A)A的秩等于4；(B)A的秩等于n；(C)A的秩等于1；(D)A的秩小于等于3。

5.设£不能由非零向量4,a2，…,巴线性表示，则(D)»

(A)囚,％，…,4线性相关；(B)/,。2,…,鬼，万线性相关；

(C)夕与某个见线性相关；(D)夕与任一见都线性无关。

二、填空题：

I.设n维向量q,见，线性相关，则向量组%-%,%的秩r=0,1,2。

2.向量组a,夕,7线性相关的充分必要条件为秩分。

3.设线性无关，而,,%，见线性相关，则向量组风，2。2,3。3的极大无关组为

4.已知四=(1,3,2,4),4=(2,6,左,8)线性相关，则k=4

5.已知向量组a,民/线性相关，而向量组尸5线性无关，则向量组a,/7,7的秩为_2_。

伙=ax+a2+a3

三、已知＜夕2=。1+。2+2。3，证明与凡A，夕3等价。

用3=%+2a2+3a3

四、设有向量组A:(Z|=2,a2=1,a2试问当a,b,c满

jo