小学奥数题库《数论》余数问题余数的判定1星题（含解析）全国通用版

数论-余数问题-余数的判定-1星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

余数的判定B1、理解并掌握余数的判定方法。少考

2、能够运用余数判定方法判断余

数。

知识提要

余数的判定

・概念

当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法求得余数，但当被除数位数较多时，

我们可以找到一个较简单的数，通过这个较简单的数除以除数得到的余数来得原来的数的

余数的方法叫做余数的判定。

•判定方法

1、末位判定法

整数N被2或5除的余数等于这个数的个位数被2或5除的余数；

整数N被4或25除的余数等于这个数的末两位数被4或25除的余数；

整数N被8或125除的余数等于这个数的末三位数被8或125除的余数；

2、数字求和法

整数N被3除的余数等于这个数的各位数字之和被3除的余数；；

整数N被9除的余数等于这个数的各位数字之和被9除的余数；

3、奇偶位求差法

整数N被11除的余数等于这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差被11

除的余数（如果不够减，适当加11的倍数再减）；

4、截断作和

整数N被99除的余数等于这一个数从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面

的可以是一位数)之和被99除的余数；

5、截断作差

整数N被7、11、13除的余数等于这一个整数，从个位开始每三位一截，奇数段之和与偶

数段之和的差被7、11或13整除的余数(如果不够减，适当加7、11、13的倍数再减)

精选例题

余数的判定

1.利用整除判断：

(1)14785369除以3的余数是；

(2)25896278除以9的余数是.

【答案】(1)1;

(2)2.

【分析】(1)(1+4+7+8+5+3+6+9)+3…1；

(2)(2+5+8+94-6+2+7+8)4-9-2

2.满足被7除余3,被9除余4,并且小于100的自然数有.

【答案】31、49

【分析】被9除余4的数100以内的有：4,13,22,31,40,49,58,67,85,94.

然后验证这些数被7除是否余3,可以找出31和94满足条件.

3.利用整除判断：

(1)360215除以7的余数是；

(2)110112除以13的余数是.

【答案】(1)2；

(2)2.

【分析】(1)(360-215)+7…5,所以原数除以7的余数为2；

(2)(112-110)4-13-2

4.整除判断余数:

(1)1024除以4的余数是:24除以4的余数是；

(2)1025除以4的余数是；25除以4的余数是；

(3)1026除以4的余数是；26除以4的余数是；

综上可得110029除以4的余数是；

所以：1428572+9…….

【答案】(1)0、0.

(2)1、1；

(3)2、2；1、2.

【分析】用整除特征可判断余数：110029除以4的余数只看末两位29除以4的余数即

可；1428572除以9的余数是(1+4+2+8+5+7+2)+9的余数.

5.利用整除判断：

(1)2374009除以8的余数是；

(2)654129除以125的余数是.

【答案】(1)1:

(2)4.

【分析】⑴9-8-1；

(2)129+125…4

222-22

6.2222个除以13所得余数是.

【答案】9

【分析】利用13的整除特征，三位一段，奇段和减偶段和差为22,用整除特征来判断余数

22+13……9,所以原式除以13所得余数是9.

7.1234567除以3、5、9的余数分别是多少？

【答案】1;2；1

【分析】简答：利用特性求余法计算.

8.151515151515除以8、11、7的余数分别是多少?

【答案】3,2,0

【分析】简答：利用特性求余法计算.

9.(1)20132013除以4和8的余数分别是多少？

⑵20142014除以3和9的余数分别是多少?

【答案】(1)1；5(2)2；5

【分析】一个数除以4和8的余数，只要分别看这个数末两位和末三位除以4和8的余数

即可.一个数除以3和9的余数.只要分别看这个数的数字和除以3和9的余数即可.

10.188+288+388+...+2088除以9、11的余数各是多少？

【答案】8；11.

【分析】根据等差数列求和列式：188+288+388+...+2088=22760,所以

22760+9……8；227604-11--1.

11.将10,11,12,13,…，40从左往右依次排列成一个62位数，这个数被11除的余数是

多少？

【答案】9.

【分析】记它的个位为第1位，十位为第2位，那么：

它的奇数位数字和为：

0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+3+2+2-+2+1+1-+1=78

10不210冷1.

4+3+3-+3+(9+8+74-6+5+4+3+2+1)X2=124

它的偶数位数字和为：1。43；

它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为78+55-124=9,所以这个数除以11的余数为

9.

12.将1,2,3,30从左往右依次排列成一个51位数，这个数被11除的余数是多少？

【答案】7.

【分析】1,2,3,…，30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：

123456…910…15…192021…25…2930

记个位为第1位，十位为第2位，那么：

它的奇数位数字和为：

0+9+8+7+6+.・.+1+9+8+7+6+.・・+1+9+7+5+3+1=115；

3+2+2+2+...+2+1+1+1+...+1+8+6+4+2=53

它的偶数位数字和为：1叫1稣；

它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53=62.而62除以11的余数为7.即这个

51位数除以11的余数是7.

评注：如果记个位为第1位，十位为第2位，那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和4

减去偶数位数字和B的差4-8=C,再用C除以11所得的余数即是原来那个数的余

数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和4,求得B-4=C,再求出C除以

11的余数。，然后将11-。即为原来那个数除以11的余数).

如：123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字

和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3.

又如：654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数

字和减不开偶数位数字和，那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用

11-3=8,这个8即为654321除以11的余数.

200320032003-2003

13.2003^2003除以9的余数是多少？除以11的余数是多少？除以99的余数是多

少？

【答案】7；1；34

【分析】详解：除以9的余数，按，，特性求余"数字和为

200320032003-2003

(2+0+0+3)xX2003=10015,而1+0+0+1+5=7,所以，2003^2003除

以9的余数是7；除以11的余数，也可用“特性求余法”；除以99的余数，两位截段求和判

断即可.

14.(1)418X814X1616除以7、8、9、11的余数分别是多少？

(2)289除以7的余数是多少？

(3)14389的个位数字是多少？除以7的余数是多少？除以11和13的余数呢？

【答案】⑴4、0、8、0；(2)4；⑶3；5；0；0

【分析】详解：(1)按替换求余计算即可；(2)按周期求余：2、2\2\2、…，除以7

的余数依次是2、4、1,2、4、…，每三个数一个周期，所以，289除以7的余数是4；口)

按周期求余即可，143=11X13,143是11和13的倍数.

15.求(2013X2014X2015)+7的余数

【答案】1.

【分析】根据任何一个数除以7的余数求法，因为13-2=11,11-7=1……4,所以

20134-7=……4,同理，2014+7=……5,2015+7=……6,(2013X2014X2015)+7的

余数为(4X5X6)+7的余数，计算得1.

777……777

16.20127除以41的余数是多少？

【答案】28

【分析】找规律：7+41=。…7,77-?41=0-36,777+41=。…39,

7777+41=