4.3指数函数与对数函数的关系（原卷版）

4.3指数函数与对数函数的关系TOC\o"13"\h\z\u题型1反函数存在的条件 ⑤y=f（x）与y=f1（x）具有相同的单调性.此时，如果y=f（x）是增函数，则y=f1（x）也是增函数；如果y=f（x）是减函数，则y=f1（x）也是减函数.知识点二.指数函数与对数函数的关系1.指数函数y=ax与对数函数y=logax（a>0且a≠1）互为反函数2.指数函数y=ax与对数函数y=logax（a>0且a=1）的图像关于y=x对称.由互为反函数的图像与性质可知，若函数y=f(x)的图像上有一点（a，b），则点（b，a）必在其反函数的图像上；反之，若点（b，a）在y=f(x)的反函数的图像上，则点（a，b）必在函数y=f（x）的图像上.知识点三.求给定解析式的函数的反函数的步骤1.求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；2.从y=f（x）中解出x3.x，y互换并注明反函数的定义域.题型1反函数存在的条件【方法总结】反函数的存在条件∶原函数中x、y是"一对一"确定的．一般来说，若f（x）在区间A上是单调的，那么f（x）在A上有反函数.【例题1】试判断函数y=xx【变式11】1.（2019·高一课时练习）下列函数中，存在反函数的是A．y=B．y=|x|C．y=D．y=【变式11】2.（2020·高一课时练习）判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域:(1)y=ln(2)y=-log【变式11】3.（2020·高一课时练习）分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数.（1）x12345f(x)00135（2）x12345g(x)-101-25【变式11】4.（2021·全国·高一课时练习）以下说法正确的有（

）①偶函数一定不存在反函数；②若函数y=fx和其反函数y③函数y=fx④定义域上严格单调的函数必存在反函数．A．①② B．②③ C．③④ D．①④题型2求反函数的解析式【方法总结】求反函数的两种方法（1）可以通过对调y=f（x）中的x与y，然后从x=f（y）中求出y得到反函数y=f1(x).（2）从y=f(x）反解得到x=f1（y），然后把x=f1（y）中的x，y对调得到y=f1(x）.【例题21】（2019·高一课时练习）求下列函数的反函数：（1）y=x3-1（2）y=x2 （3）y=x-1（4）y=-x-1 ，【变式21】1．（2021·高一课时练习）求下列函数的反函数．(1)y=1(2)y=5x+1；(3)y=x2（【变式21】2．（2020下·高一课时练习）求下列函数的反函数：（1）y=-25-9（2）y=x+2（3）y=【变式21】3.（2022·上海市七宝中学）函数f(【变式21】4．（2021·全国·高一课时练习）已知函数fx=log【变式21】5．（2021·上海市吴淞中学高三阶段练习）已知函数f(x)=ax+x+1(a【例题22】（2021·江苏·高一专题练习）与函数y=14xA．y=4xC．y=log1【变式22】1.（2019·高一课时练习）将y=2x的图象_________，再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=A．先向上平移一个单位长度 B．先向右平移一个单位长度C．先向左平移一个单位长度 D．先向下平移一个单位长度【变式22】2.（2020·上海·高三专题练习）与方程y=e2x-2A．y=ln(1+C．y=ln(1-【变式22】3.（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数y=lnx是与函数A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称【变式22】4.（2023下·云南临沧·高二校考阶段练习）设点P(a,b)(a≠0,b≠14)在函数y=A．y=log2x的图象上C．y=2log2x的图象上题型3反函数求值【例题3】（2022·北京·清华附中高一期末）已知f-1(x)是函数A．0 B．1 C．10 D．100【变式31】1.（2022·北京房山·高一期末）已知函数f(x)=2xA．1 B．12 C．-1【变式31】2．（2021·全国·高一课时练习）若函数y=f(x)的反函数是y=gA．a B．a-1 C．b D．【变式31】3.（2022·云南·昆明一中）函数y=fx的图像与函数y=3A．1 B．2 C．3 D．4【变式31】4．（2022·山东潍坊·高一期末）已知函数fx=log3x与gA．3 B．13 C．1 D．【变式31】5．（2021·吉林·长春市第二中学高一期中）已知函数y=ex的图象与函数y=fA．2e2 B．2e C．1+ln2题型4过定点问题【例题4】（2021·上海·高一专题练习）已知函数f(【变式41】1．（2021·云南·砚山县第三高级中学高一期末）函数y=loga(2x【变式41】2．（2021·山东德州·高一期末）已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，函数y=ax-2+3【变式41】3.（2021·全国·高一单元测试）已知函数y=fx存在反函数y=f【变式41】4．（2021·全国·高一专题练习）已知函数f-1x为函数fx的反函数，且函数fx-1题型5反函数含参问题【例题5】（2021·全国·高一专题练习）若函数f(x)=x-【变式51】1.（2021·全国·高一专题练习）已知常数m∈R，若函数f(x)=【变式51】2．（2021·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=2+loga(x+1)（a>0【变式51】3.（2022·全国·高一课时练习）函数y=ax（a>0，且A．2 B．12 C．2或1【变式51】4．（2021·广东·普宁市第二中学高一阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数f(x)的图象与y=ex的图象关于直线A．-e B．-1e C．e【变式51】5．（2021·全国·高一课时练习）已知fx=log4x+1，y=题型6反函数的图像【例题6】（2021·广东·西关外国语学校高一阶段练习）函数y=lgA． B．C． D．【变式61】1．（2019·陕西·镇安中学高一期中）已知函数fx=logaxa>0,a≠1A．gx=2x B．g【变式61】2．（2021·上海·高一专题练习）将函数y=log2x的图像沿x轴负方向移动1个单位，再沿y轴负方向移动2个单位，得到图像C，在下列函数的图像中，与图像A．y=2x+2+1 B．【变式61】3．（2021·上海·高一课时练习）将函数y=log3【变式61】4.（2021·海南二中高一期末）函数y=5xA．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y=题型7反函数的性质【例题7】（2021·全国·高一课时练习）函数fx是y=ax（A．fx2C．f12【变式71】1.（2021·全国·高一课时练习）已知函数y=ex的图象与函数y=A．f2xC．f2x【变式71】2．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数fx在定义域内是增函数，且f1=-1，若fA．f-1-1=1C．f-1-1=-1题型8反函数定义域【例题8】（2023上·高一课时练习）函数fx与函数gx互为反函数，若fx=1A．0,+∞ B．R C．0,1 D．【变式81】1．（2023上·辽宁营口·高一校联考期末）函数fx=logA．1,+∞ B．3,+∞ C．0,+【变式81】2.（2022上·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知函数fx的定义域为1,+∞，则函数A．2,3 B．-2,3 C．-2,3 D．0,3【变式81】3.（2023上·广西·高一广西壮族自治区百色高级中学校联考阶段练习）函数y=log3【变式81】4.（2023上·甘肃兰州·高一兰州一中校考期末）函数fx=log题型9反函数的值域与最值【例题9】（2022·全国·高一课时练习）设f(x)=log2(1x+A．(-∞,-12C．(-∞,-2)∪(2,+∞) D．(-2,2)【变式91】1.（2021·上海·高一课时练习）已知函数f(（1）求y=f(（2）若(7,2)是y=f-1【变式91】2.（2021·上海市进才中学高一期末）已知y=f-1(x)是【变式91】3．（2021·上海·高一专题练习）若f(x)=2x的反函数为fA．2 B．12 C．13【变式91】4．（2022·辽宁·东港市第二中学高一开学考试）已知函数f(x)=loga(1)求实数a的值；(2)g(x)=f(x2题型10反函数与单调区间【例题10】（2022上·广东惠州·高一惠州一中校考期中）已知函数fx=12x，函数y=gx的图象与A．0,1 B．1,+∞ C．-∞【变式101】1.（2019上·陕西西安·高一西安市铁一中学统考期中）若函数y=f(x)与y=10x互为反函数，则A．(2,+∞) B．(-∞,1) C．(1,+∞) D．(-∞,0)【变式101】2．（2022上·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）已知函数y=fx是函数y=(1)求函数y=fx(2)判断函数y=fx【变式101】3.（2020·上海·高三专题练习）已知函数f(x)=x-1x+12（1）求y=f（2）判断y=f（3）设g(x)=1f-1【变式101】4.（2017上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知函数fx=x-4（1）求函数fx的反函数（2）判断f-1（3）解不等式：2【变式101】5.（2021下·高一课时练习）已知函数f(x)=x-1（1）求函数f(x)的反函数f-1（2）判断并证明f-1【变式101】6.（2021上·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数fx是函数y=ax（a>0且a≠0(1)求函数fx(2)设gx（i）写出函数gx（ⅱ）求gx在区间t,t+1（其中t∈R且t>0）上的最小值ht题型11奇偶性相关问题【方法总结】判断函数fx（1）先分析fx的定义域，若fx定义域不关于原点对称，则fx为非奇非偶函数，若f（2）若fx=f-x，则fx【例题11】（2022·上海徐汇·统考三模）设fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=ax【变式111】1．（2020下·高一课时练习）已知函数f(x)=12x(x>0)，函数y=g(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数，且当x>0时，有【变式111】2．(多选)（2021上·山东威海·高一统考期末）已知函数fx=2x，其反函数f-1x满足f-14=aA．a=2B．当x∈-∞,0时，C．若xgx<0D．函数gx在(-∞,0)【变式111】3.（2021·高一课时练习）设函数fx=a⋅（1）求a的值；（2）求fx的反函数f【变式111】4.（2021上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）设函数f(x)=a⋅ex（1）求a的值，并求函数f(x)的反函数f-1（2）若k为正实数，解关于x的不等式f-1【变式111】5.（2020上·辽宁大连·高一统考期末）已知函数f(x)=ex-ae-x（I）求函数f(x)的解析式；（II）判断函数f(x)的奇偶性，并证明．题型12反函数取值范围相关问题【例题12】（2021·高一课时练习）若函数y=x+4x在A．(1,4) B．(0,2] C．(2,4] D．[2,+∞)【变式121】1．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）定义在-1,2上的函数y=lgx+a不存在反函数，则实数【变式121】2．（2021下·上海宝山·高一上海交大附中校考开学考试）若函数y=x2+(a-4)x+3-a，x∈[0,1]【变式121】3.（2017下·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）若函数f(x)=|x|-1+ax(x∈R)存在反函数，则a的取值范围为.【变式121】4.（2017上·上海杨浦·高三统考期中）已知函数f(x)=ax+1-2（a>0且a≠1），设f-1(x)是f(x)题型13反函数与不等式【例题13】（2016上·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知函数fx=ax（a>0且a≠1）满足f2>f3，若y=【变式131】1．(多选)（2022·辽宁营口·高一期末）（多选）已知函数f(x)=ax(a>1)，其反函数为A．-1 B．12 C．23【变式131】2．（2022上·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数f(x)为函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数，f(5)<f(6)，且f(x)(1)求a的值；(2)解关于x的不等式f(2x)<f(1-x)．【变式131】3．（2022上·陕西渭南·高一统考期末）已知函数fx=ax（a>0且a≠1），(1)若gx在区间1,2上的最大值与最小值之和为2，求a(2)解关于x的不等式gx【变式131】4.（2011上·河南郑州·高三阶段练习）已知奇函数f(x)=a · 2（1）求实数a，（2）解关于x的不等式f题型14反函数与零点结合【例题14】（2022·湖南·高一阶段练习）已知函数fx=ex+x-π【变式141】1.（2021·陕西安康·高一期中）若实数a、b满足2a=2-a，log【变式141】2.（2019·云南省玉溪第一中学高一期末）已知函数y=10x的反函数为f（1）求F(x)（2）设a∈R，求函数题型15有解问题【例题15】（2019·山东宁阳县一中高一阶段练习）关于x的方程(1A．0≤a<1 B．1≤a<2【变式151】1．（2017·上海松江·高一期中）若关于x的方程lg(x2+ax)=1【变式151】2．（2021·全国·高