第六章三角（6大知识归纳9大题型突破）（原卷版）

第六章三角（知识归纳+题型突破）一、角的概念的推广与弧度制1、正角、负角、零角：正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的.零角：当一条射线没有旋转时，称为零角.零角的始边与终边重合.【小结】这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过的角.2、象限角和轴线角（1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限.如图，和都是第一象限角，和都是第二象限的角.（2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角.3、终边相同的角我们把所有所有与角终边重合的角（包括角本身）的集合表示为.【小结】①终边在轴正半轴上的角的集合为；②终边在轴负半轴上的角的集合为；③终边在轴上的角的集合为；④终边在轴上的角的集合为；⑤终边在坐标轴上的角的集合为；⑥第二象限角的集合为.【注意】后缀表示射线，表示直线.二、角的度量1、角度制2、弧度制一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么就是角的绝对值，即，的符号由它的始边旋转至终边的方向决定【逆正顺负】.【注意】角度弧度（5）象限角的表示：第一象限的角的集合：第二象限的角的集合：第三象限的角的集合：第四象限的角的集合：【注意】二、任意角的正弦、余弦、正切、余切1、定义在任意角的终边上任取异于原点的一点，设其坐标为，并令，必有.这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切及余切为，，（），（）.2、任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦3、单位圆根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值.半径为1个单位的圆称为单位圆.本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆.设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知，，.因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）.三、同角三角关系1、同角三角关系角的终边经过异于原点的一点，并记.由定义，有，，（），（）.由，就有.当时，有.当时，有.当、都有意义时，有.2、常用转化(1)sin2α＋cos2α＝1⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,cosα＝±\r(1－sin2α)，,（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.))(2)对只含有sinα，cosα的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.(3)对于形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的分式，分子、分母同时除以cosα，cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.(4)对于形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,sin2α＋cos2α)的式子求值.四、诱导公式处理角度与角的关系，起到角的化简作用。结论：奇变偶不变，符号看象限：(1)默认为锐角，则角视作正半轴（角的终边已旋转后再逆时针旋转一个锐角即可），角视作正半轴（角的终边已旋转后再顺时针旋转一个锐角即可）；(2)默认为锐角，则角视作负半轴（角的终边已旋转后再逆时针旋转一个锐角即可），角视作正半轴（角的终边已旋转后再顺时针旋转一个锐角即可）；(3)默认为锐角，类比（1）（2）则角视作角的终边已旋转后再逆时针旋转一个锐角即可），角角的终边已旋转后再顺时针旋转一个锐角即可；五、常用三角公式1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）两角和与差的正弦：::（2）两角和与差的余弦：::（3）两角和与差的正切：:.:.2、辅助角公式：（1）对于形如的式子，可变形如下：=令，则==其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，（2）对于形如的式子，也可变形如下：=令，则==其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，3、积化和差与和差化积公式（1）积化和差（2）和差化积4、二倍角公式及其常用变形（1）二倍角公式①；②； ③；（2）降幂公式六、解三角形1、正弦定理与余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则正弦定理余弦定理适用范围(1)已知两角及任意一边.(2)已知两边及其中一边的对角.(1)已知两边和夹角或已知三边．(2)已知两边和一边的对角．公式变形与应用(1)，，.(2)，，.(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即.(4)，，(5)大边对大角大角对大边(6)合分比：，，.，，2、三角形内角和及三角形常见重要关系(1)内角和定理：（结合诱导公式），进而有等式子(2)三角函数关系：=1\*GB3①同理有：，.=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，；；．(4)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.即若AD为∠A的角平分线，则有比例关系：.3、三角形常用面积公式(1)(ha表示边a上的高).(2).(3)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.）(4)海伦公式：，即，其中为△ABC的半周长.4、正弦定理之齐次式结构结构特点：每一项中都有边或sin角且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化（1）整式齐次式①边的齐次式：②sin角的齐次式：（2）分式齐次式：5、拆角与合角的技巧（1）化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种①合角如：②拆角——拆单角（“单身狗角”）如：，，（2），6、常见等式的化简中：①②（舍去） ①②①②，则或7.三角形解的个数已知三角形的边角边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知边边角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：策略一：由正弦定理得，①若，则满足条件的三角形个数为0，即无解．②若，则满足条件的三角形个数为1，即一解．③若，则满足条件的三角形个数为1或2.策略二：结合图像A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解8、判断三角形形状的策略利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线1.先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.2.先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系.注意：等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．余弦定理判断三角形形状：（1）△ABC为直角三角形⇔或或.常见条件：∠C为直角，（2）△ABC为锐角三角形⇔，且，且.常见条件：（3）△ABC为钝角三角形⇔或或.其它常见条件：（4）若，则或.9、解三角形中的实际应用问题(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①).(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).(3)方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③).北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向.南偏西等其他方向角类似.(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角).坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度，i＝tanθ).坡度又称为坡比.题型一：任意角及其度量例1.1在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例1.2与终边相同的最小正角是（

）A． B． C． D．例1.3已知角.(1)将改写成的形式，并指出是第几象限的角；(2)在区间上找出与终边相同的角．例1.4若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．【巩固练习】1.若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2.从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（

）A． B． C． D．3.如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．（2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角．题型二：扇形周长与面积公式应用例2.1已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（

）A．1 B．4 C．1或4 D．9例2.2杭州2022年第19届亚运会会徽（图1）象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，也象征亚奥理事会大家庭团结携手､紧密相拥､永远向前.图2是会徽抽象出的几何图形.设的长度是的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，若，则.【巩固练习】1.已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（

）A． B．3C． D．62.若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（

）A． B．C． D．题型三、任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义与符号例3.1已知角的终边上有一点，求的各三角函数值.例3.2求值：（1）；（2）.例3.3已知角是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（）A．B．C．D．【巩固练习】1.若点在角的终边上，则下列函数中不存在的是（）A．B．C．D．2.是的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件3.已知角的终边经过点，求的值.题型四、应用同角三角函数关系、常用三角变换、诱导公式化简、求值例4.1已知，，则（

）A． B． C． D．例4.2已知是三角形的内角，且，则的值是（

）A． B． C． D．例4.3化简：(1)－；(2)；(3)．例4.4（）A．B．C．D．例4.5若，则.例4.6已知，则的值为（）A．B．C．D．例4.7若，则（）A．B．C．D．例4.8化简下列各式：（1）；（2）．例4.9化简：（）A． B． C． D．例4.10已知，且，则（

）．A． B． C． D．例4.11计算：（

）A． B． C． D．例4.12的值为（

）A． B．0 C．1 D．2例4.13已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【巩固练习】1.计算：(1)已知，，求的值.(2)已知，求，的值2．已知为锐角，且，则（

）A． B． C． D．3.（1）若是的一个内角，且，求的值;（2）若，求的值;4．设为第二象限角，若，则.5．化简：(1)；(2)．6.的值为（）A．B．C．D．7.已知，且，则的值可能是（）A．B．C．D．8.已知则=（）A．B．C．D．9.已知为锐角，且，则（）A．B．C．D．10.已知，且，化简并求的值.11.若，则（

）A． B． C． D．12．，，则（

）A． B． C． D．13．已知，则（

）A． B． C． D．114．等于（备注：）（

）A．1 B．2 C． D．15．设，，，则有（

）A． B． C． D．16．已知，则a的值为（

）A． B． C． D．17．已知，则.18.若，则（

）A． B． C． D．题型五：单位圆与三角方程、三角不等式例5.1已知，且和均为钝角，则的值为（

）A． B． C．或 D．例5.2设，且，则（

）A． B．C． D．例5.3若，证明：（1）；（2）.【巩固练习】1．已知且.(1)求的值；(2)求的值．2．已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．3．若，，，，则.4.若，证明：，且.题型六：证明三角恒等式例6.1求证：.例6.2证明：.【巩固练习】已知，．求证：．求证：=.题型七：正余弦定理基本运算例7.1在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．例7.2三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为___________.例7.3在中，“”是“”的（

）．A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则______．例7.5在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，例7.6中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是________【巩固练习】若在中，是的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要在中，若，则（

）A．25 B．5 C．4 D．若中，，，，则______．在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（

）A． B．C．或 D．或在中，已知，，，b＝5，则c＝______．在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（

）A．，，，有两解 B．，，，有一解C．，，，有一解 D．，，，无解在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是A． B． C． D．，中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是________题型八：已知边角关系解三角形例8.1已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为____________．例8.2在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4例8.3记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求角B.例8.4在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且