2023-2024学年高中数学人教A版2019课后习题第七章综合训练

第七章综合训练一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2019北京卷)已知复数z=2+i,则zz=()A.3 B.5 C.3 D.5答案D解析∵z=2+i,∴z=2i.∴zz=(2+i)(2i)=5.故选D.2.(2021安徽舒城校级月考)若i为虚数单位,则1-i1+3i在复平面上对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析∵1-i1+3i=(1-i)(1-3i)(1+3i)(13.(2019全国Ⅰ卷)设z=3-i1+2i,则|z|=A.2 B.3 C.2 D.1答案C解析∵z=3-i1+2i,∴∴|z|=152+-4.(2021四川郫都期中)复数i+i2+i3+…+i2021=()A.i1 B.i C.1 D.0答案B解析∵i4=1,i2021=(i4)505·i=i,∴i+i2+i3+…i2021=i(1-i25.(2021全国甲卷)已知(1i)2z=3+2i,则z=()A.132i B.1+3C.32+i D.3答案B解析由题意得z=3+2i(1-i)26.(2021甘肃靖远模拟)设复数z满足|z2i|=3,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x2)2+y2=9 B.(x+2)2+y2=9C.x2+(y2)2=9 D.x2+(y+2)2=9答案D解析因为z在复平面内对应的点为(x,y),所以z=xyi,故z2i=x+(y2)i.因为|z2i|=3,所以x2+(y+2)2=3,化简可得x2+(y+2)7.已知z是复数,且p:z=12+32i;q:z+1z∈R.则p是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析显然,当z=12+32i时,z+1z=12+32i+112+32i=12+32i+12-32i1=1∈R,但当z+1z∈R时,若令z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+1a+bi=8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是()A.3+4i B.4+3iC.403+3i D.3+40答案B解析设z=x+yi(x,y∈R),则有x2+y2+2x+2yi=13解得x=4,y=3或x=403,y所以x=403不符合要求,故z=4+3i二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.(2021湖南模拟)已知复数z=(1+2i)(2i),z为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.z的虚部为3iB.|z|=5C.z4为纯虚数D.z在复平面上对应的点在第四象限答案BCD解析因为z=(1+2i)(2i)=4+3i,所以z的虚部为3,故A错误;由|z|=|z|=42+32=5,故B正确;z4=3i为纯虚数,故C正确;z=43i在复平面上对应的点(4,3)在第四象限,故D正确10.已知复数z=a+bi(a,b∈R),且a+b=1,下列说法正确的是()A.z不可能为纯虚数B.若z的共轭复数为z,且z=z,则z是实数C.若z=|z|,则z是实数D.|z|可以等于1答案BC解析当a=0时,b=1,此时z=i为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为z,且z=z,则a+bi=abi,所以b=0,B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;由|z|=12得a2+b2=14,又a+b=1,所以8a28a+3=0,Δ=644×8×3=32<0,无实数解,即|z|不可以等于1211.(2021山东德州二模)已知复数z1=2-1+i(i为虚数单位),下列说法正确的是(A.z1在复平面上对应的点在第三象限B.z1的虚部为1C.z14D.满足|z|=|z1|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上答案AB解析复数z1=2-1+i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)12+12=1i.z1在复平面上对应的点(1,1)在第三象限,故A正确;z1的虚部为1,故B正确;(z1)4=(1i)4=(2i)2=4,故C不正确;|z1|=212.设f(θ)=cosθ+isinθ(i为虚数单位),则f2(θ)=cos2θ+isin2θ,f3(θ)=cos3θ+isin3θ,…,若f10(θ)为实数,则θ的值可能等于()A.π10 B.3π20 C.π答案AC解析f10(θ)=cos10θ+isin10θ,要使f10(θ)为实数,则sin10θ=0,10θ=kπ(k∈Z),故θ=kπ10(k∈Z),当k=1时,θ=π10,当k=2时,θ三、填空题13.若21-i=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=答案2解析因为21-i=2(1+i)(1-i)(1+i14.(2021湖南天心校级期中)已知2i3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根,则实数p=.

答案12解析∵2i3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根,∴2i3是关于x的方程2x2+px+26=0的另一个根,则(2i3)+(2i3)=p2,得p=1215.如果复数z满足|z+i|+|zi|=2,那么|z+1+i|的最小值是,最大值是.

答案15解析由于|z+i|+|zi|=2,则点Z在以(0,1)和(0,1)为端点的线段上,|z+1+i|表示点Z到点(1,1)的距离.由图知最小值为1,最大值为5.16.已知复数z满足|z+24i|=2,则|z1|的取值范围是.

答案[3,7]解析设z=(x,y)(x,y∈R),∵复数z满足|z+24i|=2,∴(x+2即(x+2)2+(y4)2=4.∴z在复平面内对应的点Z的集合是以(2,4)为圆心,r=2为半径的圆.|z1|表示的是点Z与(1,0)之间的距离.圆心与点(1,0)之间的距离d=(-2-1)2+42=5,则|z1|的取值范围是[四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数z满足|z|=1+3iz,求(1+i)解设z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=1+3iz,∴a2+b213i即a2+∴z=4+3i,∴(1+i)2(3+4i18.当实数m为何值或何取值范围时,复数z=m2+m-6m+((1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?解(1)若z为实数,可得m2-2m∴当m=2时,z为实数.(2)z为虚数,则虚部m22m≠0,且m≠0,解得m≠2,且m≠0.∴当m的取值范围为(∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)时,z为虚数.(3)z为纯虚数,则m2+m-∴当m=3时,z为纯虚数.19.(2021江苏连云港期末)在①z2=724i,②z=(|z|1)+5i,③z+1z是实数这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成解答已知z是虚数,且,求|z|.

解若选择①,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2=(a+bi)2=(a2b2)+2abi=724i,由a2-∴z=3+4i或z=34i,则|z|=5.若选择②,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z=abi=(|z|1)+5i=(a2+b由a=a∴z=125i,则|z|=13.若选择③,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则1z∵z+1z=a+bi+a-bia2+b2=a+aa∴bba2+又b≠0,∴a2+b2=1,则|z|=1.20.设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cosA+icosB,若复数z1z2为纯虚数,试判断△ABC的形状,并说明理由.解△ABC为等腰三角形或直角三角形.理由如下:因为z1=a+bi,z2=cosA+icosB,所以z1z2=(acosAbcosB)+i(acosB+bcosA).又因为z1z2为纯虚数,所以acosA由①及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因为A,B为△ABC的内角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π.所以2A=2B或2A=π2B,即A=B或A+B=π2.即A=B或C=π2.故△ABC21.已知复数z1=m+ni,z2=22i和z=x+yi,设z=z1iz2,m,n,x,y∈R.若复数z1所对应的点M(m,n)在曲线y=12(x+2)2+52上运动,求复数z所对应的点P(x,y)的轨迹解∵z1=m+ni,z2=22i,∴z=z1iz2=(mni)i(22i)=(n2)+(m+2)i∴x+yi=(n2)+(m+2)i.∴x=n2,y=m+2,即n=x+2,m=y2.又点M(m,n)在曲线y=12(x+2)2+52∴x+2=12[(y2)+2]2+52,整理上式,得点P(x,y)的轨迹C的方程为y2=222.(2021安徽庐阳校级期中)已知复数z1满足(1+i)z