概率论与数理统计§3.1二维随机变量及其函数§3.2二维随机变量的分布

概率论与数理统计§3.1二维随机变量及其函数§3.2二维随机变量的分布汇报人：AA2024-01-20二维随机变量基本概念二维随机变量函数二维随机变量的分布类型二维随机变量的独立性二维随机变量的条件分布二维随机变量的变换二维随机变量基本概念01定义：设$X$和$Y$是两个随机变量，定义在同一概率空间$(Omega,mathcal{F},P)$上，则称$(X,Y)$为二维随机变量。性质：二维随机变量$(X,Y)$的性质由其联合分布函数$F(x,y)$确定。联合分布函数$F(x,y)$是一个二元函数，对于所有$x,yinmathbb{R}$，满足以下三个条件1.$F(x,y)$对$x$和$y$都是单调不减的。2.$0leqF(x,y)leq1$，且$F(-infty,y)=0$，$F(x,-infty)=0$，$F(infty,infty)=1$。3.$F(x,y)$关于$x$和$y$都是右连续的。定义与性质定义：对于二维随机变量$(X,Y)$，其联合分布函数定义为$F(x,y)=P{X\leqx,Y\leqy}$，表示事件${X\leqx}$和${Y\leqy}$同时发生的概率。联合分布函数性质：联合分布函数$F(x,y)$具有以下性质1.$F(x,y)$对$x$和$y$都是单调不减的。2.对于任意实数$a<b$和$c<d$，有联合分布函数联合分布函数01$$02P{a<Xleqb,c<Yleqd}=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)$$03边缘分布函数030201定义：二维随机变量$(X,Y)$的边缘分布函数定义为$F_X(x)=P{Xleqx}=F(x,infty)$，表示随机变量$X$的分布函数。$F_Y(y)=P{Yleqy}=F(infty,y)$，表示随机变量$Y$的分布函数。性质：边缘分布函数具有以下性质1.$F_X(x)$和$F_Y(y)$都是单调不减的。2.$0leqF_X(x)leq1$，且$F_X(-infty)=0$，$F_X(infty)=1$；同理，$0leqF_Y(y)leq1$，且$F_Y(-infty)=0$，$F_Y(infty)=1$。3.如果$(X,Y)$是独立的，则$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$。边缘分布函数二维随机变量函数02函数的定义与性质定义设$(X,Y)$是二维随机变量，对于所有$x,y$，若有规则$f$，使得$Z=f(X,Y)$是一个随机变量，则称$Z$是$X,Y$的函数。性质若函数$f$连续，则$Z=f(X,Y)$也是连续的；若函数$f$可微，则$Z=f(X,Y)$也是可微的。离散型若$(X,Y)$是离散型随机变量，则$Z=f(X,Y)$也是离散型随机变量，其分布律可通过$(X,Y)$的分布律和函数关系$f$求得。连续型若$(X,Y)$是连续型随机变量，且函数$f$连续，则$Z=f(X,Y)$也是连续型随机变量，其概率密度函数可通过$(X,Y)$的概率密度函数和函数关系$f$求得。函数的分布若$(X,Y)$的数学期望存在，且函数$f$满足一定条件（如连续、有界等），则$Z=f(X,Y)$的数学期望也存在，且可通过$(X,Y)$的数学期望和函数关系$f$求得。数学期望若$(X,Y)$的方差存在，且函数$f$满足一定条件（如连续、有界等），则$Z=f(X,Y)$的方差也存在，且可通过$(X,Y)$的方差、协方差和函数关系$f$求得。方差函数的数学期望和方差二维随机变量的分布类型03定义离散型二维随机变量是指其所有可能取值的集合为有限个或可列个的二维随机变量。分布律离散型二维随机变量的分布律可以用一个二维表格来表示，其中表格的每个元素表示随机变量取对应值的概率。独立性如果两个离散型随机变量相互独立，则它们的联合分布律等于各自分布律的乘积。离散型二维随机变量03概率密度函数连续型二维随机变量的概率密度函数是一个描述随机变量取值概率分布情况的函数，其值等于分布函数的导数。01定义连续型二维随机变量是指其可能取值的集合为一个连续区域的二维随机变量。02分布函数连续型二维随机变量的分布函数是一个二元函数，表示随机变量落在某个区域内的概率。连续型二维随机变量混合型二维随机变量混合型二维随机变量的独立性需要根据具体情况进行判断和分析，一般需要通过计算联合分布函数或联合概率密度函数来判断。独立性混合型二维随机变量是指其一部分分量是离散型随机变量，另一部分分量是连续型随机变量的二维随机变量。定义混合型二维随机变量的分布函数和概率密度函数需要分别考虑离散部分和连续部分的情况，并进行相应的组合和计算。分布函数与概率密度函数二维随机变量的独立性04输入标题02010403独立性的定义与性质定义：设$(X,Y)$是二维随机变量，如果对于所有的$x,y$，都有$P{Xleqx,Yleqy}=P{Xleqx}P{Yleqy}$，则称$X$与$Y$是独立的。如果$X$与$Y$独立，且$g(X),h(Y)$是$X,Y$的连续函数，则$g(X)$与$h(Y)$也独立。如果$X$与$Y$独立，则对于任何实数$a,b$，事件${Xleqa}$与事件${Yleqb}$独立。性质联合分布函数法01通过比较联合分布函数$F(x,y)$与边缘分布函数$F_X(x),F_Y(y)$的乘积来判断。若$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则$X$与$Y$独立。联合概率密度法02对于连续型随机变量，如果联合概率密度函数$f(x,y)$可以表示为两个边缘概率密度函数$f_X(x),f_Y(y)$的乘积，即$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，则$X$与$Y$独立。条件概率法03对于离散型随机变量，通过比较条件概率$P{X=x_i|Y=y_j}$与无条件概率$P{X=x_i}$来判断。若对于所有的$i,j$，都有$P{X=x_i|Y=y_j}=P{X=x_i}$，则$X$与$Y$独立。独立性的判定方法独立重复试验在伯努利试验中，每次试验的结果不影响其他试验的结果，因此各次试验是相互独立的。这种独立性使得我们可以方便地计算多次试验的总概率。随机抽样在简单随机抽样中，每个样本被选中的概率是相同的，且不受其他样本的影响。因此，各样本之间是独立的。这种独立性保证了抽样结果的公正性和准确性。信号处理在信号处理中，经常需要将一个复杂的信号分解为多个独立的分量进行分析。这些分量通常是相互独立的随机变量，因此可以利用独立性的性质进行信号的处理和分析。独立性的应用举例二维随机变量的条件分布05条件分布的定义与性质设(X,Y)为二维随机变量，对于固定的x，若P{X=x}>0，则称P{Y≤y|X=x}为在X=x条件下Y的条件分布函数，记为FY|X(y|x)。条件分布的定义条件分布函数FY|X(y|x)具有一般分布函数的性质，即单调不减、右连续且FY|X(−∞|x)=0，FY|X(+∞|x)=1。条件分布的性质离散型二维随机变量的条件分布若(X,Y)为离散型二维随机变量，其联合概率分布列为pij=P{X=xi,Y=yj}，则对于固定的xi，若P{X=xi}>0，则在X=xi条件下Y的条件分布列为P{Y=yj|X=xi}=pij/P{X=xi}。连续型二维随机变量的条件分布若(X,Y)为连续型二维随机变量，其联合概率密度为f(x,y)，则对于固定的x，若fX(x)>0，则在X=x条件下Y的条件概率密度为fY|X(y|x)=f(x,y)/fX(x)，其中fX(x)为X的边缘概率密度。条件分布的求法在保险精算中，经常需要考虑在某种事件发生（如某类保险索赔）的条件下，另一事件（如另一类保险索赔）发生的概率或分布。这时就需要用到条件分布的概念和方法。在金融工程中，条件分布被广泛应用于风险管理和资产定价等领域。例如，在期权定价中，需要计算在股票价格满足某种条件（如达到某个执行价格）时，期权的收益或损失的分布情况。在医学研究中，经常需要考虑在某种疾病发生的条件下，另一疾病或症状出现的概率或分布。这时也可以利用条件分布来进行分析和推断。条件分布的应用举例二维随机变量的变换06线性变换设$(X,Y)$是二维随机变量，对$X$和$Y$进行线性变换得到新的随机变量$U=aX+bY+c$，$V=dX+eY+f$，其中$a,b,c,d,e,f$是常数。性质线性变换保持了一些重要的概率性质，如期望、方差和协方差。应用在图像处理、信号处理和金融等领域中，线性变换被广泛应用。定义定义性质应用非线性变换设$(X,Y)$是二维随机变量，对$X$和$Y$进行非线性变换得到新的随机变量$U=g(X,Y)$，$V=h(X,Y)$，其中$g$和$h$是非线性函数。非线性变换可能会改变原始数据