五年级奥数牛吃草问题

★牛吃草问题

①牛吃草问题的数量关系

牛吃草问题又被称为消长问题。典型的牛吃草问题通常假设草的生

长速度是固定不变的，已知不同头数的牛吃光同一片草场的时间，求若

干头牛吃光这片草场的时间或若干天吃光这片草场的牛数。

牛吃草问题通常会涉及以下两个数量关系：

吃草总量=原有草量+新长草量

牛的总数=原草牛数+长草牛数

草场里的草可分为两类:原有草和新长草。吃草的牛也可分为两类:

吃原草的牛（简称原草牛）和吃新长草的牛（简称长草牛）。可以利用上述

两个数量关系来解决基础的牛吃草问题。

②牛吃草问题的解题步骤

牛吃草问题得以解决的前提条件是每头牛单位时间内吃的草量是

相同的。需要特别正意的是,若干头牛一定时间内的吃草总量与草场同

样时间的草总量是相等的。解题时要先求出长草速度，然后解得原草量

数，最后回答问题。完成上述三步，主要用到以下四个公式：

（1）长草速度=总草量差+总时间差

（2）原草量数=总草量数一长草速度X吃草时间

（3）吃草时间=原草量数+（牛的总数一长草牛数）

（4）牛的总数=原草量数♦吃草时间+长草牛数

第一个公式里的总草量差和总时间差,可以根据题目中的两组条件

求出。应用第二个公式时,可根据两组条件中的一个即可求解,要选取较

小的、好计算的那组条件。这四个公式可以概括为一个核心公式：

原草量数=（牛的总数一长草牛数）X吃草时间。掌提了这个公式就可以

解决典型的牛吃草问题了。

③牛吃草问题的核心思想

由于牛在吃草的过程中草是不断生长的，所以解决牛吃草问题的重

点是从变化中找到不变量。草场上原有的草是不变的，新长的草虽然在

变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。正是基

于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式，并应用解题步骤解决

变型的牛吃草问题。

例题1

一片草地，草匀速生长。该草地可供14头牛吃30天,或供20头

牛吃20天。那么该片草地原来有多少草？

【点拨】假设1头牛1天吃1份草，那么两种情况下牛的吃草总量

分别是多少份?对比下，能求出什么量？

练习1

牛小顿自制了一个大自然生态模拟圈，该生态模拟圈内的资源可以

自动匀速增长,它可供20只小昆虫生活10天,或供30只小昆虫生活6

天。为了保证该生态模拟圈平衡发展，牛小顿最多能在里面养多少只昆

虫？

例题2

一片草地,草匀速生长该草地可供70头牛吃3周，或供40头牛吃8

周。这片草地可供多少头牛吃1周？

【点拨】学习完例题1后,此题的长草速度如何计算呢?能够计算出

原有的草量吗？

练习2

牧场上有一片匀速生长的草地可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9

周，那么原有的草可供多少头牛吃18周？

例题3

由于天气逐渐转冷，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度减

少。照这样计算,某块草地上的草可供20头牛吃5天,或供15头牛吃6

天。请问这块草地可供多少头牛吃10天？

【点拨】本题属于减草问题，其实质与长草问题没有区别。根据前

两道例题,该题中的减草速度和原草量分别是多少呢？

练习3

由于天气逐渐转冷,牧场上的草每天以固定的速度减少。经计算,牧

场上的草可供20头牛吃5天,或供16头牛吃6天。那么该片牧场上的

草可供11头牛吃几天？

例题4

一片草地,草匀速生长。该草地可供18头牛吃30天,或供20头牛

吃24天。有群牛在该草地吃了5天后,有2头牛死亡,余下的牛又吃了5

天将草吃完。请问这群牛原来有多少头？

【点拨】此题可先求出长草速度和原草量，以及这群牛一共吃了多

少天。由此可以求出总的吃草量是多少吗？

练习4

一片草地,草匀速生长,这片草地可供12头牛吃10天或供14头牛

吃6天如果开始放进草地的牛为20头,吃完一天后牵走了10头,剩下的

牛在牧场吃儿天能将草吃完？

例题5

J博士的实验室内有一个水槽，水槽有1根注水管和6根排水管。打

开注水管后，水不停地匀速流入水槽。若干分钟后,J博士想把水排出。

如果将排水管全部打开,3分钟可以将水排光:如果只打开3根排水管,5

分钟可以将水排光。如果J博士同时打开4根排水管,多少分钟后可以

将水排光？

【点拨】本题为半吃草问题的另一种变型题目，关键是找到与

“草”和“牛”相对应的量。原水量和每根排水管的排水速度可以计算

出来吗？

练习5

水库原有一定的存水量，河水每天以均匀的速度入库。5台同样的抽

水机连续工作20天可将河水抽干、6台同样的抽水机连续工作15天可

将河水抽干。若要求6天将河水抽干,需要多少台同样的抽水机？

★课间分享

牛吃草问题

17世纪英国伟大的科学家牛顿提出了牛吃草问题:假设一片草地的

草生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地的天数不同。求若

干头牛吃这片草地可以吃多少天。

例如:一牧场上有一片青草,每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10

头牛吃20天,或供15头牛吃10天。这片牧草可供25头牛吃多少天？

解题方法:假设1头牛1天吃的草为1份,那么10头牛20天吃200

份草,草被吃完15头牛10天吃150份,草也被吃完。前者吃掉的总草量

是200份,后者吃掉的总草量是150份。前者吃掉的是原有的草加20天

新长出的草，后者吃掉的是原有的草加10天新长出的草。

200-150=50（份），20-10=10（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5

份也就是说,5头牛专吃新长出来的草刚好吃完,5头牛以外的牛吃的草

就是牧场上原有的草由此得出，牧场上原有草为（10-5）X20=100（份）或

（15-5）义10=100（份）

已知原有草100份,每天新长出草5份。当有25头牛时,其中的5

牛头专吃新长出来的草,剩下的20头吃原有的草,吃完需100-20=5（天）,

因此这片草地可供25头牛吃5天。

还有很多问题与牛吃草问题类似,如漏水问题（某船从船底匀速向

内渗水，同时船内人员向外舀水）、抽水问题（某水库河水匀速流入，同时

用抽水机向外排水）以又及生活中的检票问题（某人去公园排队检票,前

面已经有人在等候，同时排队的人不断增加）等这些问题都可以用牛吃

草问题的解题思路来解决,有兴趣的同学不妨试一试。

★课后作业

①一片草地,草匀速生长。该草地可供13头牛吃30天,或供19头牛吃

20天。这片草地每天新长的草可供1头牛吃多少天？

②一片草地,草匀速生长。该草地可供15头牛吃20天,或供60只羊吃

12天。另外1头牛每天的食草量相当于3只羊每天的吃草量。原有的草

可供多少头牛吃1天？

③一片牧场,草匀速生长。该牧场可供16头牛吃30天,或供18头牛吃

24天。那么该牧场上的草可供48头牛吃多少天？

④一片草地,草匀速生长。该草地可供10头牛吃12天,或供9头牛吃16

天。有4头牛在这片草地吃了6天后又增加了若干头牛,6天后将草吃完,

那么增加了多少头牛？

⑤安小珊在园博会入口处排队检票时发现，检票开始前的若干分钟已经

有游客开始排队，并且之后每分钟来的游客人数一样多。入口处若同时

开3个检票口，21分钟后队伍消失：若同时开7