数学初高中衔接教材

第一篇知识篇

第一章数与式

第一讲实数

接前训练

1.北京市申办2020年冬奥会,取到了全国人民的热情支持，某日北京申奥网站的访问人次为201949,用四舍五

入法取近似值保留两位有效数字为（）

A.2.0xl05B.2.0xl06C.2xl05D.0.2xl06

2.计算|-3|+16+（-2）3+（2008--6tan60。+/=.

]

3.分母有理化:

V3+V22+百

1111

则计算-------------1------------------1------------------1-…H-----------------------（〃为正整数）.

i+夜无+6册

4.若实数a,仇c满足(“+l)2+M+2|+d=0,则3+c)〃=.

初高衔接

1.数系扩充

数的概念是由人类生产、生活的实践和科学研究的需要而逐渐形成和发展起来的，随着科学的发展，数的概念

也取到发展.

现在我们从“解方程”这个角度考察数的发展过程.

方程“x+l=0”在正整数范围内无解而在整数范围内有解，所以把数的概念从“正整数”扩展到“整数”,从

而解决了这类方程的解的问题

但“2x+l=0”这类方程在整数范围内还是无解,把数的概念从“整数”扩展到“有理数”，这类方程就变得

有解.

把数的概念从“有理数”扩展到“实数”，可以使“丁=2”这种原来在有理数范围内无解的方程，在实数范

围内变得有解.

但即使在实数范围内，像V+1=0这种的方程还是无解，所以人们考虑数的概念还应继续发展，到16世纪，人

们开始引进一个新的数i,叫“虚数单位”，并规定尸=-1,使数的概念发展到“复数”.这样,数的分类表可以扩充

为：

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「正整数

「自然数J

「整数4i°

-有理数一i负整数

＜实数Yl分数

一无理数

复数＜

、虚数

由于规定了i2=-1,那么方程尤2=7就可以变成f=i2,则x=±i,从中x=±i是方程幺=_1的两个根，事

实上,i还具有如下性质：

i'=i,

i2=-l,

i'--i2»i=(—l)«i=—i,

i4=(i2)2=(-l)2=l,

•S«4•«••

r=i•1==i,

i6=(i2)3=(-l)3=-l,

i7=i6»i=(—l)«i=—i,

i8=(i4)2=l,

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b+d)i

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

a+b\_{a+b\\c-di)_(ac+bd)+(be-ad)\

c+dic2-(Ji)2c2+d2

2.集合

在学习有理数一章时，在教材中出现了诸如“正数集合”“负数集合”“有理数集合”等概念，那么什么是"集合”

呢？

一般地，某些指定的对象汇集在一起就成为一个集合，集合中每一个对象叫做这个集合的元素，我们用大写字

母A,8,C…表示集合.

明确集合中元素的确定性、互异性.集合元素的确定性是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确

它是或不是某个集合的元素，两者必居其一,它是判断一组对象是否形成集合的标准；互异性是指给定的一个集合

的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一元素，这一点常被我们所忽略.

如图①，两个集合A和8的公共部分中的阴影部分叫做集合A和8的交集，记为AQ3,集合4和8合并到一

起得到的集合叫做集合A和8的并集（如图②中的阴影部分），记为AU8.

例如A={1,3,5,7},8={2,3,4,5}，则Afi8={3,5},4\JB={1,2,3,4,5,7}.

—2—

例题引路

例1请你根据虚单位的性质,计算：

(1)i4,,+l；(2)i4,,+2；(3)i4,,+3；(4)(l±i)2；

答案(1)i；(2)-1；(3)-i；(4)±2i；(5)0；(6)-1.

例2请解下列问题

(1)已知,A=｛3,5,6,9｝,8=｛2,6,7,9｝或An8,AU8.

(2)已知,A=｛直角三角形｝,6=｛等腰三角形｝，求

(3)已知,A=｛锐角三角形｝,8=｛钝角三角形｝，求AU8.

(4)下列各组对象中不能构成集合的是()

A.高一(1)班全体女生

B.高一(1)班全体学生家长

C.高一(1)班开设的所有课程

D.高一(1)班身高较高的男同学

(5)若以集合5=｛。,Ac｝中的三个元素为边长可构成一个三角形，那么这个三角形一定不是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

答案(1)An3=｛6,9｝,AU8=｛2,3,5,6,7,9｝;(2)AnB=｛等腰直角三角形｝;

(3)AUB={斜三角形};(4)D;(5)D

巩固练习

2.已知2(Vx+Jy-1+Jz-2)=x+y+z,求x,y,z的值.

3.计算:晅=(l+2if

2-i3-4i

4.设A={x|x<5},B={x|x20},tJ=).

5.设A=｛xlx是平行四边形｝乃二｛x|x是矩形｝，则AU8=次仅是｝.

第二讲整式与分式

接前训练

1.若f—4=0,则代数式Q+1)2一x(Y+x)_x_7的值为.

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2.已知0<a<],则代数式a—b,a+匕,a+〃，合+匕中,对任意。力对应代数式的值最大的是.

3.分解因式:x“-16=；xy1-2xy+x=.

.已知求(—^~~——

4x2+*-6=0,2+x14-x力的值•

U-4x+4Ix-x1)2x

初高衔接

1.乘法公式

我们已经学过了一些乘法公式：

平方差公式：34-b)(a-b)=a2-b\

完全平方公式;(a±bY==a2±2ab+b2；

常用变形：。2+h2=(a±h)2+2ab;

(。++(tz—b)"—2CT+2b2;

(〃+b)2-(a-b)2=4ab.

现在我们来计算(a+力(/-瑟+〃)等于多少？

由多项式与多项式相乘的法则，有

33

(a+b)(cr一〃/7+〃)=/一〃%+。〃2+。％-加+/?=a+h

即3+b)32—ab+〃)="+/,此公式称为立方和公式.类似地，我们还可以得出一些常用的公式：

立方差公式:(a-b)(a2+曲+/)=/一从

完全立方公式:(〃+。)3=6?+3//?+3/2+//,(。一。)3=_3a2/?+-b3

三数和平方公式:(〃+b+c)2=。2+Z?2+/+lab+2hc+2ac

2.分解因式

我们学过的因式分解主要方法有:提公因式法、公式法，现在我们介绍分组分解法，十字相乘法、求根公式法.

(I)分组分解法

把式子(a+Z?)(c+d)=ac+ad+be+bd反过来，我们有：

ac+ad+be+bd=(a+b)(c+d)

这就是说,我们将多项式公+〃+历+儿/进行了分解因式，这个过程我们可以看成是如下的操作：

ac+ad+bc+bd

=(ac++(he+切)(将原来的四项分成两组)

=a(c+d)+b(c+d)(分别提公因式)

=(c+d)(a+b)[提公因式(c+d)]

这样利用分组来分解因式的方法称为分组分解法.

(II)十字相乘法

我们来讨论%2+(。+b)x+ab这类二次三项式的因式分解

—4—

我们注意到：在该多项式中，二次项Y可以分解成两个X的积(如图中左边的两个X),而。人又可以分解成。

与b的积(如图中右边的两个数。与匕)，再分别将左上方的X与右下方的。、左下方的X与右上方的。之间用线

段下连并相乘，就得到了关于X的一次项“龙与人X,它们的和也就是原多项式的中间一项(a+b)x

事实上：

x2+(a+b)x+ab

=x2+ax+hx+ah

=x(x+a)+/?(x+。)

=(x+a)(x+b)

因此f+3+b)x+a力=(x+a)(x+b)

像上述这种方法，我们称为十字相乘法.

由上可知，在利用十字相乘法来分解关于X的二次多项式时，可仿照上图，将X的二次项分解成两个一次项的

乘积，写成两行(上下对齐)，再将不含X的项分解成两个数(或式)的乘积，在X的两个一次项的右边写成两行,

并将左上与右下、左下与右上用线段相连，使得它们乘积的和等于工的一次项.

(III)求根公式法

若关于X的一元二次方程ax?+bx+c=O(a/0)的两个实数根为A%则二次三项式62+bx+c(〃wO)可分

解为。*一大)(工一工2)•

1

即ax+hx+c=a(x—x,)(x—x2).

3.繁分式

aa-^-b+c

像-这样，分子或分母中又含有分式的式子叫做繁分式，在化简繁分式时，通常利用分式的基本性

c+db+c

质，在分式的分子、分母中，同乘分子、分母的最简公分母.如

x\+xX

------•-------=-------

1+x2+x2+x

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例题引路

例1计算：

(1)(y-3)(y?+3y+9)；(2)(1一〃)(1+。)(/+。+1)(。2-a+1)；(3)(a-h+c)2；

(4)已知”+力=3,次>=—1,求I+作的值.

答案(1)y3-27；(2)1一。6；(3)a1+b1+c2-2ab-2bc+lac；(4)36.

例2分解因式：

(1)a2-ab+ac-be；(2)x2-y2+ax+ay；

(3)-n2+2mn,(4)4/-12"+处?-25.

例3分解因式：

(1)d-5x+6；(2)X2+4X-\2；

(3)(x2+x+l)(x2+x+2)-12；(4)xy+x-y-\.

例4在实数范围内分解因式：

(1)x2+2x—l；(2)x2-4xy-4y2

解析(1)令x2+2x-l=0,解为斗=-1+3,玉=-1-应，

则/+2*_]=[*_(_[+夜)][工_(-[_及)]

=(x+l-V2)(x+i+>/2).

(2)令犬-4孙-4y2=0(视为关于X的一元二次方程)，

解为％=(2+20)》,刍=(2-2立)y

则X2—4xy—Ay2=[x-(2+2\[2)y\[x—(2—2y[2)y]

=(x-2y-2五y)(x—2y+2夜)y

点评：1.若一次项系数与二次项系数最简比为偶数，则还可用配方法实施因式分解，不妨一试；

2.对于两变元x,y同时出现时，常用“主元法”视其一变元为主元，另一元视为“常数”，注意其根有这个“常数”.

3.对于五+bx+c=a(x-X1)(x-X2),注意不忘掉a，如下问题:若3,-2是一元二次方程4犬+for+c=0的两根,

则二次三项式4x2+bx+c=4(x+2)(x-3)(不需求"c)

例5化简

3-x32一专

(1)

2x-4

a2-3a

(2)c厂—6a+9

a2-5a

x-35

解:(1)原式=-

2(X-2)

-6-

x-3(x+3)(九-3)

2(x—2)x—2

x-3x-2

-_2(x-2)(x+3)(x-3)

1

=------.

2x+6

(2)原式=.二一3)3+5)(。_6)=上

(。一3)2。(。-5)a-3

点评：分式运算综合因式分解,除与乘的转化，分式基本性质的综合应用，约分与通分交叉应用，达到化简目的.

巩固练习

1.计算(。+2)3-2)(/-2a+4)(/+2a+4)=

2.因式分解:-2/+3x2-x=

/+3/+3a+9=；

x2-4xy-4+4y2=；

2X2-8X+5=_______________

x2+x-3ABC

3.已知----------------------F----------1----------

(x—l)(x—2)(x—3)x—\x-2x-3

求AB,c的值.

4.若小)=三,求/㈤的值.

第三讲根式

接前训练

1.分母有理化：/广4一9。

x/10+V72+36一

2.计算：(1)厂1厂]

\Ja+ylh4a+&

112

(3)---+-----^+-r=——

1-V31+73V3+1

(_[ZX

(4)—?岸-(7-473)4-(84-476)=________.

(2+庖

初高衔接

我们把形如&(a20)的式子叫做二次根式，把形如心(当〃为偶数时aNO)的式子叫做〃次根式.

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二次根式的性质及运算法则

(\[a)2=a(a>0)；=\a\;

a&±b\fc=(a±b)4c{c>0)；

4a-\[b=>0,b>0)；

以?(〃20,6>0)

访=

(Va)2=\[a^(a>0).

重要的概念有:最简二次根式,同类二次根式，互为有理化因式、分子有理化，分母有理化.

分数指数鬲

我们看下面的例子：

10__12

=a2=a5(a>0),=a4=a3(a>0).

这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,要式可以写成分数指数事的形式.

当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可写成分数指数累的形式，例如：

_21

\Ja^=a3(a>0),\fa=a2(a>0)

m

一般地，我们规定加=痂(a>0,机,〃是正整数,且〃>1).

正数的负分数指数幕的意义与负整数指数基的意义相仿，我们规定

-1"]*

an=——(a>0,w,neN，且〃>1)

0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.

规定了分数指数需的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数指数.

整数指数幕的运算性质，对于有理指数基也同样适用.

例题引路

例1求值：

11-3--

(1)短；(2)I00'1;(3)；(4)偌)，

解析(1)8^=(23r=2^=2'=2.

-1111

(2)1002=—^-=—!—=—

11in

1002(102)2

(3)=(2-2)-3=2(-2)x(_3)=26=64.

—8—

，人(16寸⑶唱)f2Y327

⑷周七J迫=¥­

例2用分数指数幕的形式表示下列各式(式中〃?>0)：

(1)m2-4m；(2)/n3'\[tr^；(3)yjtrhjm.

解析(1)tn--j~m=trrtn2=m%=而；

(2)m3-=m^=m§=；

----l2313

(3)yJm\Jm=(m-m2)2=(m2)2=m4.

例3计算(后-尼卜⑹

解析(疡-+行.

23

=(5155)+5彳

2£3|

=53+5，一53子5]

213_|

=534-5^

55

=5/-5*

=1疗-疗

=|匠-5返

巩固练习

2

(2)2752=；(3)传了~~=

1.求下列各式的值：(1)芯=

33

2春+涓=3,则含考

—.>/3—'Ji\[?>+\p2I,,yxjjL,i-t；

3.已知x="厂,)'=广广，求2+丁的值.

A^+V2V3-V2x2V

4.化简〃+2G+“-2"

5.已知a=」^,求上「-竺空口的值.

2+，3a+\a--a

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第三章方程与不等式

第四讲方程与方程组

接前训练

1.方程x(x+3)=x+3的解是()

A.x=lB.x,=0,x2=-3C.玉=1,々=3D.xt=l,x2=-3

2.一元二次方程5Y-7x+5=0的根的情况是()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数D.没有实数根

3.已知|x-2y+3|+(y—g)=0,贝!I_y=.

4.关于x的方程，一=1的解是负数，则a的取值范围是.

5.方程与主+之二L。的解为________.

x2-lx-1

初高衔接

§4.1含有字母系数的一元一次方程

关于X的方程以二以。力为常数,aw0),冗是未知数,。/是用字母表示的已知数，。为X的系数，这个方程是

含有字母系数的一元一次方程.

一般地，在含字母系数的方程中用a,b,c表示已知数，用x,y,z表示未知数.

含字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须注意，在方程两边同乘(或

除以)一个含有字母的式子时,这个式子的值不能等于零.

例题引路

例解方程ax+从=人工+储伍工与

解：ax-bx=a2-b1

(a-h)x=(a-h)(a+b)

,/a^b9a-b手2,

(a-b)(a+h),

x=---------------=a+b.

a-b

—10—

巩固练习

解关于x的方程上心=2-二m+bwo)

ab

§4.2一元二次方程

1.根的判别式

运用配方法可将一元二次方程加+云+c=0("0)变形为：

(x+2丫=匕孚①由a/0,得〃2>0,于是

(2a)

(1)当62-4—>0时,方程①的右端为正数，故原方程有两个不相等的实数根占，=一'±，'-4"；

2a

(2)当加-4〃c=0时，方程①的右端为零，故原方程有两个相等的实数根％=x,=-2；

2a

(3)当。2—4ac<0时，方程①的右端是一个负数，故原方程没有实数根.

由此可知,从-4〃,可以判定一元二次方程ax2+bx+c=0(。+0)的根的情况，通常记“△=从-4ac

综上所述,一元二次方程or?+bx+c=O(a*O),

当△>0时，方程有两个不相等的实数根；

当△=0时,方程有两个相等的实数根：

当A<0时，方程没有实数根.

上述结论,反过来也成立，即如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么△>()；如果有两个相等的实数根,

那△=()；如果没有实数根，那么A<0.

例题引路

例1判断下列方程根的情况(不解方程)

(1)d+3x-4=9：(2)16y2+9=24y；(3)5(x2+l)-7x=0.

注意：判断时的前提是标准形式ax2+bx+c=O(a^0)的形式.

例2人取何值时，方程/-(女_1*+后+2=0有两个相等的实数根,并求上方程的两根.

解：△=[-(&-l)『-4(k+2)=公一6%-7,

由题△=&2一64-7=0,即攵=7或％=-1时,方程有两个相等的实数根.

当女=7时，原方程为x2—6x+9=0,对应用=泡=3；

当上=一1时，原方程为9+2*+1=0,对应芭=x2=-1.

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巩固练习

1.不解方程,判断下列关于X的方程根的情况，若方程有实根,写出方程的实数根.

（1）尤2—3x+4=0；（2）%?—twc-1=0；（3）x2—2x+。=0.

2.已知关于X的方程2/一（4&+1求+2公-1=0,则攵取何值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有

两个相等的实数根；（3）方程没有实数根.

2.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

大家知道,一元二次方程以2+法+C=0（。工0）有两个实根为

-b+b"-4ac-b-\lb^-4ac士

石=--------------，X2=---------------，则有：

2a2a

—b+y/h2—4ac-h—\Jh2-4ac2bb

x.+x)=--------------------------F------------------------=—=——

2a2a2aa

2222

-b+\]h-4ac-b-\/h-4ach-(b-4ac)_4QC_c

x.-x=-----------------------------------------=--------------------

122a4a24/a

即一元二次方程ox?+bx+c=0（〃/0）根A4与系数存在下列关系:

hc

%+马二一2,西.+&=上（大前提△=从一4〃・20），也称韦达定理.

aa

引申1：二次项系数为1的一元二次方程f+〃工+4=0则易得

XX

X1+X2=-p,•入2=q，故P=一（芭+工2），4=12•

引申2：以m,々为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：

2

X一（玉+X2）X+XtX2=0.

引申3:由韦达定理易得2=一（％+刍）,£=不》,,故

aa

ax2++c=a（x2+—x+-）

aa

2

=a[x-（玉4-x2）x++x2]

=a（x-x1）（x-x2）.

ax2+灰+。=。0-%）（不一次2）,其中用,工2的方程加+加+。=0两根.

例题引路

例1已知方程5丁+履—6=0的一个根是2,求它的另一根及火的值.

解：设方程另一根为则由根与系数的关系可为：

—12—

故方程的另一根为的值为—7,（也可先代2入方程）.

例2利用根与系数的关系，求一元二次2x?+5x+3=0两根和々的下列代数式的值:

(1)|%|-；(2)]+与；(3)父+考

%X2

53

=

解：x],x2为方程+5%+3=0的两根，则%+x2=--^^2,

222

(1)r=|%)-x21(/>0),z=(Xj-x2)=x,—2^X2=($+/)?-4AM

2325乙1日nII1

—A4­—=---6=—，即％—Xy\=—

24411~'2

25_3

x；+x;(%+%)—-A*2425-1213

⑵丁丁(gfa%y99=~9

4

(3)x；+E=(%+x2)(xf+x；—XjX2)

2

=(玉+x2)[(Xj+x2)-3XJX2]

=一沁|)2-3x|]

35

8

-b+db2-4ac-b-yjb2-4ac“2-4a。_VA

点评I,_司=

2a2a同I小

a

2.细心地注意到％=-1,^=-1,此题另有解法.

例3求一个一元二次方程，使其两根是-3-,2-.

32

例4已知两个数的和为8,积为9,求这两个数.

解：由根与系数的关系己知，此两数即为方程Y-8x+9=0的两根，解此方程易得芭=4+夕,占=4-近（可

用配方法）.

故此两个数为4+5,4-e.

巩固练习

1.若-5是方程5f+法-10=0的一个根，求方程另一根及b的值.

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2.设西是方程2d-7x+3=0的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值(1)(2)

---)(---(■々)•

9斗

3.求一个一元二次方程,使它的两根是

(1)2,-1；(2)

22

4.已知两个数的和为夜，积为-工,求这两个数.

4

5.已知方程/一2》-1=0,利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的根是原方程各根的平方.

§4.3简单高次方程

在复数范围内，〃次代数方程有n个根(含重根)，有些高次方程，我们可以通过因式分解达到降次目的,求出其

解，特别地可根据方程特征借整体思想用换元法辅助因式分解.

例题引路

例1解方程V-5/_6x=0

解：方程左端可因式分解为x(d-5x-6)=x(x+l)(x-6)

故x(x+l)(x-6)=0,得再=0,x2=-1,x3=6.

例2解方程/-2*2-15=0

解：方程左端可因式分解为，-5)(/+3)

故(%2-5)(炉+3)=0,设。=5或％2=-3(不合舍去).

X、=非，x?=一岳

例3解方程(6/-7x)2-2(6/-7x)-3=0

解：视6*-7x为一个整体，因式分解为

(6X2-7X+1)(6X2-7X-3)=0

(fix-l)(x-l)(2x-3)(3%+1)=0

1।31

.•.玉=工，X,=1,x,=-,X

OZJ4

巩固练习

解下列方程：

(I)3X3=4X；(2)/-4_?+3犬=0；

(3)X4-10X2+24=0；(4)(x2-5x)2-2x(x-5)-24=0.

—14—

§4.4分式方程和无理方程

我们知道，分母含有未知数的方程叫做分式方程；同样，被开方数含有未知数的方程叫做无理方程.

应用转化化归思想处理分式方程、无理方程的根求解问题，分式方程通过去分母法或换元法转化为整式方程;

无理方程通过两边平方法或换元法转化为有理方程，换元法后面有专题，此处暂不讲述,它们均有验根的重要一环,

分式方程可查最简公分母是否为零，无理方程则代入原方程左、右是否有意义且相等.

例题引路

例1解方程竺。-七w=i+f-

X+1X—1x~—1

解：最简公分母为(x+l)(x-1),去分母为：

(3x—l)(x—1)+(x-2)(x+1)=(x+D(x—1)+2

化为x2-3x+2=0,%=1,々=2.

检验x=1时，最简公分母x2-l=0,x=l为增根，舍去，易得x=2的原方程的根，

故原方程的根为x=2(为什么产生增根,在哪步上产生增根？).

例2解方程J4x+1-2x+l=0

解：移项(为什么移，怎样移？)得,4x+l=2x-l(隐含2x-l“)

两边平方:4x+l=(2x-l)2,4/-8x=0.苦=0,x,=2

代芭=0,迎=2入原方程检验得西=0为增根,々=2成立.

故原方程的解为x=2,(为什么产生增根，在哪环节上产生增根？).

巩固练习

1.解方程：

(1)—1=(2)Jl-3x-l=x；(3)^/3x+2-^/^：8=3^/2.

X2-42-X

2.若方程Jx?+2,，=x-2,*有一根为x=1，求实数的值.

3.解方程组「二="'

[vx+6+y=2.

启航一一初高中衔接教程数学

§4.5二元二次方程组

含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数是2的方程组叫做二元二次方程组.

二元二次方程组的解法：

二元一次方程

(1)，采用代入消元法;

二元二次方程

二元二次方程

(2)，其中至少一个可因式分解，则转化为

二元二次方程

二元一次方程二元一次方程

两个或四个，求解，集中体现转化解思想.

二元二次方程二元一次方程

例题引路

2

x-5xy+6y2=0①

例1解方程组

x2+/+x-lly-2=0②

x2-5x)'+6y2=0fx-2y=0[x-3y=0

—s或<

+y2+x-lly-2=0[x2+j2+x-]lj-2=0[x2+y2+x-1ly-2=0.

23

=>卜=3；%一.七一

lx=i(%=2

11

Ur

x2+2xy+=9①

例2解方程组

(x-y)2-7(x-y)+10=0②

x2+2xy+y2=9,J(x+y+3)(x+y-3)=0,

(x-y)2-7(x-y)+10=0.^1(^->1-2)(x-y-5)=0.

x+y+3=0或[x+y+3=0或1x+y-3=0戈[x+y-3=0

x-y-2=Q[x-j-5=0jx-y-2=0[%-y-5=0

_5

2/T，1%=4,

=><

5为~4「%1.

2

巩固练习

,2:2=5x2-5x-y2-5y=0,

1.解方程组（1）1・(2)

xy=2;/+孙+y2=49

—16-

/-4x-2y+l=0有两组不相等的实数解

2"为什么实数时，方程组

y=kx+2

3.已知方程组有两组不相等的实数解.

[y=kx+\

(1)求左的取值范围；

(2)记两组解为["=芭和厂=々，是否存在实数左，使设司+%,+占％=1,若存在,求出左的值;若不存在,说明

理由.

第五讲不等式与不等式组

接前训练

1.不等式1+士1>生1的非负整数解为_________.

23

f—1<Y—Z7<9

2.已知不等式组，的解集为3vxvo+2,则a的取值范围是________.

[3<x<5

3.方程组20的解*'y都是正数，则整数k=-

4

4.已知m,n为实数，若不等式(2〃?-+3,”-4〃<0的解集为x>—，则不等式(m-4n)x+2m-3n>0的解集

为.

初高衔接

§5.1含参一元一次不等式的解法

解不等式的根据是不等式的基本性质：

\.a>h^>a±c>b±c；

2.a>h,c>0=>ac>he；

3.a>b,c<0=>ac<bc.

例题引路

例1解关于冗的不等式-2工>2-3机-如.

解：原不等式可化为(6-2)x>2-3加,以下分类讨论：

(1)m—2>0=>m>2时，—―；

m-2

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（2），〃-2<0=zn<2时,~~—；

m-2

（3）帆一2=0n〃z=2时,O-x>T恒成立,x取全体实数.

巩固练习

解关于x的不等式3-1）彳一（/-1）>0.

§5.2一元二次不等式的解法

大家知道，对一元二次方程ov2+6x+c=o（ay：0）与一元二次不等式5Z+bx+c>。（或<0）（aw。），均可

通过二次函数y+6x+c（ax0）来研究，研究函数往往可以借助于函数图像直观显现其变化趋势和规律.

l.a,"c,A=Z?2-4ac对抛物线、=以2+fer+c（awO）的决定作用.

（1）a决定抛物线开口方向:a>0,抛物线开口向上;a<0,抛物线开口向下.

（2）c决定抛物线与y轴交点（0,c）的位置;。>0,交点位于y轴正半轴上;c=0,交点即在原点;c<0,交点

在y轴负半轴上.

（3）b与。联合决定抛物线对称轴的位置：

2a

a,b同号，对称轴位于y轴左侧且平行于y轴；。=0,抛物线关于y轴即直线x=0对称；a,b异号，对称轴位

于y轴右侧，简言之“同左异右

（4）小二片-4ac决定抛物线与x轴交点个数（方程ar?+fex+c=y=0的个数）△>0,交X轴于两个不同点；

△=0,切x轴于一个顶点；△<0,与工轴无交点.

综上四点，一条抛物线大致图象可以勾画出来了.

2.如何利用图象来解不等式

显然，不等式依2+法+。>0（4N0）,相应于抛物线y=依2+法+式〃工0）中y>0,图象上的点P（x,y）,纵坐标

为正,对应图象位于X轴上方的部分，查出相应自变量x的取值范围，即解得一元二次不等式的解集.

不妨设一元二次方程62+法+,=0（a20）（即丁=0）的两根和々且芯抛物线与x轴交点的横坐标），

则不等式的解的各种情况如下表：（根据图象，不等式大于零看上方,小于零看下方，相应地写出解集，归纳分“两根之

外”或“两根之内”）.

A>0A=0A<0

y=ax2+bx+cy^^+bx+cy=ax1+bx+c

二次函数

y=ax2+〃x+c(a>0)

的图象甘£卫

一元二次方程

有两相异实根有两相等实根无实根

ax2+Z?x+c=0(a>0)

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的根

2(b

%,工为<X2)x.=x=—

22a

ax2+/?x+c>0(a>0)

{x[x<X]或X>无2R

的解集计可｝

ax2+bx+c<0(a>0)

{x\x]<x<x^空集0空集0

的解集

例题引路

例解不等式：(1)3X2-6X+2>0；(2)2X2-3X+2>0；

(3)4X2-4X+1>0；(4)-X2+2X-3>0.

巩固练习

解不等式：(I)2X2-3X-2>0；(2)-2X2+6X>2；

(3)X2-2X+1<0；(4)2X2+2X>3.

§5.3绝对值不等式

我们知道，数轴上两点的距离可概述为:若A8是数轴上的两点，它们表示的数分别是和马，则A8之间的距

离表示为卜却="-王|，利用这个结论来解答绝对值的问题.

口..fx>0_^[x<0[x>0_^fx<0

另一方面,|x|>a(a>0)=《