山东省烟台市2023届高三年级上册期末学业水平诊断数学

2022〜2023学年度高三第一学期期末学业水平诊断

数学试卷

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区

书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

1,若集合3={小2…2<0},则45=()

A.1x|O<x<ljB.1x|0<x<l}

C.|x|0<x<2}D,{x|0<x<2j

【答案】D

【详解】A=Hi=g=[O,+e),

—x—2Vo(x+l)(x—2)v0,/.—1<x<2

故8={巾2-x-2<o}=(-l,2),

AcB={x|0<x<2}.

故选：D.

2.已知。，beR,则““>b”的一个充分不必要条件为()

A.a2>b2B.\na>\nb

11,

C.->-D.T>2b

ba

【答案】B

【详解】选项A：取a=—2,b=\,满足/>〃，但a>b不成立，A错误；

选项B：由对数函数的定义域和单调性可知若lna>lnb,则。>6；若a>6,Ina,In匕可能无意义，所以

lna>ln人是。>6的充分不必要条件，B正确；

选项C：取a=-2,h=\,满足，>•!■,但”>b不成立，C错误；

ba

选项D：由指数函数的单调性可得若2">2"，则。>6；若则2">2"，所以2">2”是。>人的充要

条件，D错误；

故选：B

3.过点（0,3）且与曲线y=d-2x+l相切的直线方程为（）

A.x-y-3=0B.x-y+3=0

C.x+y+3=0D.x+y-3=Q

【答案】B

【详解】由y=d—2x+l,贝|」y=3/一2，

设切点坐标为（面，%3-2x0+l）,则切线的斜率々=3/2—2,切线方程为

32

y-（x0-2x0+1）=（3x0-2）（x-x0）,

由切线过点（0,3）,代入切线方程解得升=-1,则切线方程y—2=x+l,即x-y+3=0.

故选：B

4.米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、

粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为30cm、

20cm,侧棱长为5"lcm，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重0.8

千克，则该米斗盛装大米约（）

A.6.6千克B.6.8千克

C.7.6千克D.7.8千克

【答案】C

【详解】设该正棱台为ABC。—AAG2,其中上底面为正方形A8CD,取截面A4CC，如下图所示:

易知四边形441G。为等腰梯形，且AC=30夜，AG=2O0,A4=CG=5"T，

分别过点4、G在平面A4CC内作A|EJ_AC,QFA.AC,垂足分别为点E、F,

由等腰梯形的几何性质可得M=CC,,又因为ZA.AE=NCQF,NAE4,=ZCFC）=90,

所以，RtAA^E^RtACQF,所以，AE=CF,

因为A£//AC,易知NEAG=/4所=NEFG=NAG尸=90,

lAC-EFr-

故四边形4£比为矩形，则瓦'=AG=20血，.•.AE=CF=—^—=5叵,

2

所以，AtE=slA^-AE=15,故该正四棱台的高为15cm,

所以，V=1x(202+302+V202x302)x15=9500cm3,

所以，该米斗所盛大米的质量为9.5x0.8=7.6kg.

故选：C.

22

5.设AB分别为椭圆C:5+A1（a〉。>0）的左顶点和上顶点，F为C的右焦点，若F到直线AB的

a2b2

距离为b,则该椭圆的离心率为（）

A.B.6-1C.2/IzlD.&-1

22

【答案】A

【详解】由题意可得A（-a,0）,8（0,。）,尸（c,0）,

所以直线AB的方程/为上心=士上，整理得ay-笈一"=0,

Q-b-a-Q

\-ch-ab\ch+ab

=b,所以①，

所以尸到直线AB的距离d=j2+（点~~J《+/c+a=G7K

又因为桶圆中/=/+°2②，e=£③，

a

所以联立①②③得2e2+2e—1=0,解得e=："声

2

又因为e>0,所以e=1二L

2

故选：A

6.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作

一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知A8=2，P为

弧AC上的点且NP8C=45°,则8PCP的值为（）

A.4-72B.4+72

C.4-272D.4+2血

【答案】C

以B为坐标原点，为X轴，垂直于3c方向为y,建立平面直角坐标系，

因为NPBC=45°,PB=2,所以P（2cos45,2sin45）,即尸（0,0）,

且B（0,0）,C（2,0）,所以3尸=（夜,夜）,CP=（四—2,垃），

所以BP・CP=2—2&+2=4-2夜，

故选:C.

7.过直线2x-y+l=0上一点尸作圆（x-2『+y2=4的两条切线帖,PB,若PAPB=O,则点P的

横坐标为（）

A.OB.-C.±-D.

55-5

【答案】D

【详解】如下图，过直线2x-y+l=0上一点p作圆（x-2y+y2=4的两条切线Q4,PB,

设圆心C（2,0）,连接AC,C6,PA±AC,PB±BC,

可得=PAPB=Q）则ZAPC=NBPC=45°,

所以|P4|=|Aq=2,所以|PC|=JF万=2&,

因为点P在直线2x-y+l=0上，

所以设P（a,2a+1）,C（2,0）,

|PC\=^（a-2）2+（2a+l）2=272，解得：。=±孚.

—8sinx,----<x<0

为偶函数，且〃x）=|2;函数

H-f（X-7T）,X>0

乃

g(x)=lgx+],则当xc[-4乃,3旬时，函数y="x)-g(x)的所有零点之和为()

A.-7%B.—6〃C.---D.—3〃

2

【答案】A

【详解】因为/(X-]]为偶函数，所以/(X)关于％=对称,

所以当xe（-办0）时，/（x）=—8sinx,

当％£（0,4）时，％-%£（一巴0）,/（x）=^-[-8sin（1-"）]=4sinx,

当了£（冗,2兀）时，了一万£（0,4）,/（x）=^-[4sin（x-^-）]=-2sinx,

当x£（2»,3%）时，x-兀£（兀,2兀）,/（%）=^•[-2sin（x-zr）]=sinx,

当xe(—4,0)时，x+乃e(0,乃)，/(x)=；・[-8sin(x+»)]=4sinx,

函数g(x)=lgx+g为y=怆国的图象向左平移3个单位,

2

〃x),g(x)的图象如下图所示,

/(x),g(x)均关于彳=-］对称，/(x),g(x)有14个交点，

所以函数y=〃x)—g(x)的所有零点之和为：7卜、x2)=—7万.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中()

A.A.BHC.DB.45//平面AC。

C.与C4所成角为60°

D.4B与平面AB。所成角的正弦值为且

3

【答案】BC

［详解】将展开图合成空间图形如下图并连接AR,CD,,AC,8,0,,

AD}//AD,AQ=AD,AD//BC,AD=BC,

：.ADJ/BC，ADI=BC,四边形4BCD,为平行四边形，A\B//CD\,

若A8〃G。，则CD|〃G。，显然不成立，故A错误,

AB//CD],CQ|U平面ACD1,48<2平面4。。|,

.•.43〃平面4。9，故B正确,

设正方体棱长为1,则£>c=eg=耳°=血，故BQ为正三角形,

故NB|C£)|=60°,而.•.AB与C4所成角为60°，故C正确,

以。为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为1,

则A(l,0,0),C(0,1,0),4(1,1,1),4(1,0,1),30,1,0),

则AC=(T,l,0),A4=(0,1,1),AB=(O,l,T),

AC-m=0

设平面A4c的一个方向量〃2=(x,y,z),则<

AjB-m=0

—X4~V=0

即《*八，令y=l,则x=l,z=-l,则加=。」,一1),

y+z=0

设48与平面ABC所成角为a，

m-AjB

则sina=cos,77,43)2一g,故D错误.

WIIIAJBA/3X5/2

故选：BC.

10.已知函数/(x)=sinx-acosx(aeR)的图象关于直线x=-5对称，则()

6

A./(x)的最小正周期为2兀

■TTJT

B.“X)在一上单调递增

C./(力的图象关于点。,0卜称

2几

D.若/&)+/(』)=0,且/'(%)在(石/2)上无零点，则归+引的最小值为W

【答案】ACD

【详解】因为函数/(x)=sinx-acosx(aeR)的图象关于直线》=一;对称，

所以/(0)=/(一])，即一a=sin[-1)-acos(-]),解得a=,

/(x)=sinx-V3cosx=2gsinx一等cosx=

对于A,T=2五,故A正确；

兀7T7C2兀27r7T

对于B,xG—,所以工一可£—~-,0,因为y=sinx在入£——,—~,上单调递减，在

xe,0上单调递增，故B错误;

2

对于C,7[；J=2sin[；-•!)=(),故C正确；

对于D,若于(％)+/(电)=0,则25始1-三)=一2§1“九2-三)=2$|-赴+三)，

[I]I

可得不————%2+Q+k"Jl或者X]————X>+—4-7T+kit,%£Z,

27t._„57t..

X+"2=—或玉+/=,%£Z,

且/'(x)=2cos[x-T的半周期为兀，在(玉,々)上无零点，则氏+马|的最小值为会，故D正确.

故选：ACD.

11.已知。>0,b>0,且Q+2/?=1,贝IJ()

,111—

A.ab<—B.—H----->4

8a+l

C.sin6/2+2/?<1D.in。一e-"v-l

【答案】ACD

【详解】a>0,b>0,且a+2b=l,

所以"竺]=-,故选项A正确；

2212J8

(1]]]+2b+J[a+(2"1)]2b+1a6,

-+----=---------乙-----------=1+-----+----+1>2<2+2=4

\a2b+\)2a2b+1

故选项B正确；

要证sin/+2b<l>

证sina2<1-2/7>

即证sina2<a，

由a>0,b>0,且a+»=1,知0<a<i,

所以/(a)=a-sina2>a2-sina2>0,

故选项C正确；

要证lna-e-2"<-l,

即证lna+1<e"T，

因为lnx〈x-l<x<x+l〈e*，

所以lna+lWa4ea-1，

前后取得等号条件分别是a=0和a=1,

所以不同时取得等号，故D选项正确；

故选：ACD.

12.已知过抛物线Uy?=4x焦点F的直线/交C于A3两点，交C的准线于点M,其中8点在线段

AML,。为坐标原点，设直线/的斜率为左，则()

A.当k=1时，|AB|=8B.当k=2万时，忸M=

C,存在〃使得NAOB=90D.存在上使得乙4OB=120°

【答案】ABD

【详解】对于选项A.当k=l吐过抛物线y2=4x的焦点"1,0)的直线方程为：y=x-l,设该直线

与抛物线交于A(x，yJ,8(看,必)两点，

y=x—1

联立方程组42,，整理可得：——6x+l=0,则玉+々=6,

y=4x

由抛物线的定义：|AB|=X|+X2+p=6+2=8,故A正确.

对于选项B.当k=26时，过抛物线V=4x的焦点尸(1,0)的直线方程为：y=2及(x-l),设该

直线与抛物线交于A(%,X),3(/,%)两点，

联立方程组['=2夜"-1)整理可得：2/一5%+2=0,则为=2,工2=1，则%+电=1，

y=4x22

所以A(2,20),8(；,—0),由抛物线的定义:|48|=%+占+。=|+2=|,

又因为直线丁=2&“一1)与抛物线的准线x=-l交于点M(-1,-4V2),

则怛=1—J+(T忘+血)2=|,即IBM|=|故B正确.

对于选项C.设过抛物线y2=4x的焦点厂(L0)的直线方程为：y=Hx-l)与抛物线交于

两点，联立方程组yy2_4x，整理可得：

Kx~—(2々~+4)x+&~=0,则%+/=2H—Xj%2=1,

=炉(七-1)(/_1)=公[5工2一(西+/)+1]=k[l_2-'+l)=-4,

所以玉々+乂必=1-4=一3.若ZAOB=90,则。4・03=%％+乂％=0,故不存在左，使得

ZAOB=90，故C不正确.

对于选项D.设过抛物线y2=4x的焦点F(l,0)的直线方程为：y=k(x-l)与抛物线交于

人（石,乂）,3（孙％）两点，

联立方程组《,整理可得：及2X2一（2《+4）》+公=0,则%+/=2+记,玉/=1，

X%=公（％-1）（%,-1）=E一（%+^2）+1]=^[1-2—^+1U-4,

OA-OB1一一.

若ZAOB=120°,因为+=一3，cosNAOB=^j^pj^^=-5,即|。4|-|。8|=6,

则（再2+才）（,+父）=36,即:（片+4%乂4+4巧）=36,可得:石/（石+4）（马+4）=36,

即：xlx2[xlx2+4（^+x,）+16]=36,IJIIJlx[l+8+[+16）=36,解得：公=与,解得：

k=±-----•

11

故存在人使得4408=120°,故D正确;

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知2"=3"=6，则‘+'=.

ab

【答案】1

【详解】由2"=3"=6可知a=log26,b=log,6,

所以1+：=log62+log63=log66=L

ab

故答案为：1

14.已知向量a=（sin6,cos8）,力=（3,1）,若a〃b,则sin?6+sin26的值为.

3

【答案】-

2

【详解】已知向量a=（sinacos9）,/?=（3,1）,若。〃占，则有sin6=3cose,

sin29+2sinecos69cos26+6cos2。153

/.sin2+sin26=

sin2<9+cos209cos2<9+cos20To2

3

故答案为：—■

2

15.“0,1数列”是每一项均为。或1的数列，在通信技术中应用广泛•设A是一个“0,1数列''，定义数列/(A)：

数列A中每个0都变为“1,0,1”,A中每个1都变为“0,1,0”，所得到的新数列.例如数列A：1,0,

则数列/(A)：0,1,0,1,0,1.已知数列A：1,0,1,0,1,记数列4+i=/(4)，k=l,2,3,

则数列A,的所有项之和为.

【答案】67

【详解】依题意，可知经过一次变换Af/(A),每个1变成3项，其中2个0,1个1；每个0变成3

项，其中2个1,1个0,

因为数列A：1,0,1,0,1,共有5项，3个1,2个0,

所以&=/(4)有5x3项，3个1变为6个0,3个1；2个。变为4个1,2个0；故数列&中有7个1,

8个0；

A=〃4)有5x32项，7个1变为14个0,7个1；8个。变为16个1,8个0；故数列A3中有23个1,

22个0；

4=/(4)有5x33项，23个1变为46个0,23个1；22个0变为44个1,22个0；故数列中有67

个1,68个0；

所以数列A的所有项之和为67.

故答案为：67.

16.在直四棱柱ABCD-A耳GR中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A4,=2,M为侧棱8片的

中点，N在侧面矩形内(异于点R),则三棱锥N-MC。体积的最大值为.

【答案】4##0-5

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

C(O,1,O),M(1,1,1),/),(O,O,2),7V(x,O,z)(0<x<l,0<z<2),

且x=0和z=2不同时成立，

CM=(1,0,1),CD,=(0,-1,2),MR=(-l,-l,l)

因为EM=V2,|cr>,|=网叫|=百,

所以有CM2+MD：=CD：,

所以..MC。是直角三角形，于是S=

MCLJ)22

设平面MCQ的法向量为〃=(%,%,zj,

nCM=0[x.+z,=0

因此有<=>{'c，

z?CD,=0Lx+2Z|=0

取X|=-l,则x=2,Z1=l,则”=(-1,2,1)

NDt=(-x,0,2-z),设点N到平面MCA的距离为d，

尸一

三棱锥N—MCQ体积为V=+'W述=k—z+2],

3n26

因为0WxWl,0WzW2,

所以当x=l,z=0时，丫有最大值，显然满足x=0和z=2不同时成立，

即v=LM=1,

max62

故答案为：g

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在上A3C中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,月.acosC+csinA=〃.

(1)求A；

(2)若43=2。己，80=3,求.ABC面积的最大值.

JT

【答案】(1)A=一

⑵27（及+1）

8

【小问1详解】

由正弦定理可得sinAcosC+sinAsinC=sin5,

因为A+3+C=zr,所以sinACOSC+sinAsinC=sin（A+C）,

即sinAcosC+sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

整理得：sinAsinC=cosAsinC,

因为OVCVTI,所以sinCwO,所以tanA=l,

71

因为0<A<7i,所以A=—.

4

【小问2详解】

在△ABO中，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2ABADcosA

即9=AB2+AD2-CABAD>（2-^2）ABAD,

整理得,46ADW9（2+C），当且仅当AB=4）时，等号成立・

2

所以SA",>=,A3.A°sinP=在A3.A£）M^t^^，

2444

因为4。=2。。，所以s<27（，+1）,

“△A6C-2△AfiD—g

所以ABC面积的最大值为27（、反+1）

8

18.己知数列｛4｝和也｝的各项均不为零，S,是数列｛《,｝的前〃项和，且伪=2%=2,ana„+l=2S„,

九”“=〃"+“，用,〃eN*.

（1）求数列｛4｝和也｝的通项公式；

（2）设c.=anbn,求数列｛c.｝的前”项和T„.

【答案】（1）a„=n,b„=2"

（2）（=（〃-l）x2”“+2

【小问1详解】

因为64+1=25"（"eN*）,所以an_｝an=2Sn_^n>2）,

两式相减得an（4+i-％）=2a“（n>2）.

又因为a“wO,所以见+]—。”_]=2（"N2）,

所以数列｛4,T｝和｛4”｝都是以2为公差的等差数列.

因为4=1,所以在a,""+[=2S“中，令〃=1,得%=2,

所以%a=1+2（〃-1）=2〃-1,02n=2+（〃一l）x2=2〃，

所以4=〃.

b

对于数列出｝,因为2+1=4也,=2。“，且女尸0,所以十^Z^eN*),

un

所以数列｛a｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以勿=2".

【小问2详解】

由2”，

有7；=1x2+2x2?+3x23+...+〃x2",

27；,=1X22+2X23+3X24+.+(n-l)x2n+HX2,,+1,

两式相减得，一[=2+22++2〃一〃*2'-=2；2；一”2'm=一2—(〃—1)-2'向，

所以7；=(/1—1*2向+2.

19.如图，&ABC是以为斜边的等腰直角三角形，△BCD是等边三角形，BC=2,AD=S.

(1)求证：BC1AD；

(2)求平面说与平面8C。夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵返.

31

【小问1详解】

取3c中点0,连接Q4,0D,

因为一ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，所以。4_13c.

因为△88是等边三角形，所以±BC.

OA~OD^O,Q4u平面AOD,ODu平面AOD,

所以8c1平面A8.

因为ADu平面AOD，故BC_LAO.

【小问2详解】

在△A0£＞中，40=1,OD=g，AD"，由余弦定理可得,

cosZAOD=--,故ZAOD=150°

2

如图，以Q4,0B及过。点垂直于平面ABC的方向为x,V,z轴的正方向建立空间直角坐标系。一孙z,

(3⑸UULl

可得。＞0,--,所以8。j3㈤,CB=(0,2,0),A8=(-1,1,0),

[22J

设"=(X],X,4)为平面ABD的一个法向量,

x

n-AB=0~\+X=o

则《,即《3_'

n•BD-0--xy-y\+—zi=on

令x=6可得〃=(6,6,5).

设/W=(%2，y2，Z2)为平面8CQ的一个法向量,

2%=。

mCB=0

则《，即《

3工6_n

m•BD=0~~x2~yi+~zz=0

令兀2=6，可得加=(6,0,3).

3+0+153A/93

所以COS(/V力=

731x712-31

故平面他与平面BCD夹角的余弦值为孑叵.

31

20.某工厂拟建造如图所示容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形,

该容器的体积为詈三立方米，且/26八假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的

建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为〃?（加>2.25）千元.设该容

器的建造费用为〉千元.

（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域;

（2）求该容器的建造费用最小时的厂.

【答案】（1）y=3万（/〃-1）,+-----,o<r<2（2）见解析

【小问1详解】

2

设该容器的体积为V,则丫=万//+一万/,

3

…，160,,1602

又丫=---4，所cr以/=-Z--r

33/3

因为/26r,所以0<rW2.

9

-

所以建造费用y4—rx—+3^r2m,

3)4

,,,c/八2240万入

因此y=3万（而一1）厂+-----,0<r<2.

【小问2详解】

不,,/八240万6乃（机—1）（340、八

由（1）得y=6万（加一1）「----=————-Ir-------I,0＜r＜2.

由于机＞2

所以加一1＞0,

4

、

若借＜2,…当40当,2时,y>（）,

3,时，/＜0,y(r)为减函数，当3,

m-1m-17,

y(r)为增函数，此时r=J也为函数兴厂)的极小值点，也是最小值点.

Vm—1

若：422,即2〈机W6,当re(O,2］时，/＜0,y(r)为减函数，此时r=2是火厂)的最小值点.

V721-14

940

综上所述，当一＜相工6时，建造费用最小时〃=2；当初＞6时，建造费用最小时〃——

4Vm-1

21.已知双曲线C:=—与=1(。＞0力＞0)的焦距为26，A,B为C的左、右顶点，点P为C上异

a"h~

于A,B的任意一点，满足人心

(1)求双曲线C的方程；

(2)过C的右焦点尸且斜率不为0的直线/交C于两点M,N,在x轴上是否存在一定点。，使得

DM-DN为定值?若存在，求定点。的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由.

r2

【答案】(1)--/=1

4

(2)存在定点。--,0，使得DM•ON为定值一”

I8)64

【小问1详解】

设4(一a,0),8(a,0),P(XQJ,则左”左如=%,

X+ax]-ax]-a4

又因为点P（x，x）在双曲线上，所以工一与=1.

ab

于是才=；片一号=与不；一/，对任意王。0恒成立,

b21

所以-7-=—，即〃2=4b2.

a4

222

又因为c=逐，c=a+b,

可得/=4，〃=1，所以双曲线C的方程为三—y2=]

4

【小问2详解】

设直线/的方程为：x=ty+s/5,N（%4，”），由题意可知，W±2,

Z_2T

联立（4）,消X可得，92-4）/+2不）+1=0,

x-ty+V5

m"七